Prouver le théorème de Jensen

[invite4b31cbd7]

Bonjour,

Je cherche à prouver le théorème de Jensen tel qu'énnoncé dans la question en image attaché. En utilisant l'indice du bouquin, j'arrive à deux impasses : Premièrement en considérant mettons les pôles, j'arrive à deux intégrales, qui contiennet le terme ln(z) : comment traiter ces intégrales ? ln(z) possédant un singularité essentielle en z=0.
Deuxièmement, même avec l'indice j'ai de la difficulté à voir comme transformer la fonction lnz*f'/f en lnz ...

Quelqu'un peut m'aider ?
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[invite9cf21bce]

Salut, tu as avancé sur ton problème ?

Sinon, voilà le plan que j'ai suivi :

1. commencer par le cas où f est holomorphe sans zéro dans le disque (ce qui entraîne en particulier que f'/f a un logarithme). L'indication m'a permis d'aboutir, mais en intégrant sur <voir image attachée>.

2. pour le cas général, il suffit d'écrire f sous forme d'un produit et d'appliquer le cas 1. (pas besoin de l'indication dans ce cas).

Il y a sans doute une astuce permettant de traiter directement le cas général, mais je ne l'ai pas trouvée...

Taar.

[invite9cf21bce]

(ce qui entraîne en particulier que f'/f a un logarithme).

Pardon, je voulais dire "f a un logarithme" (ce qui donne une primitive pour f'/f).

Taar.