Enigme : est-ce possible ?

[justine&coria]

Bonjour à tous,

Hier, ma soeur m'a donné une énigme dont elle ne connaissait pas la solution : donc, elle ne sait pas si c'est possible ou pas.

Il s'agit de l'énigme se trouvant sur cette page web : http://flr.free.fr/spip/article.php?id_article=51

Il faut dessiner une courbe passant une seule fois par tous les segments de la figure. Dans la version de ma soeur, la courbe n'était pas nécessairement fermée, donc ça fait une contrainte en moins (à moins que pour que ça marche, il faut que ce soit une boucle).
Mais malgré ça, j'y arrive pas.

Est-ce que vous arrivez à trouver la solution ? Ou est-ce impossible ?
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[kNz]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Ca nécessite une petite connaissance des graphes.
En fait cela revient à faire un graphe connexe avec :

nombre de sommets : S = 16
nombre d'arêtes : A = 15 (imposé par l'unicité du passage par un segment)
On note également F le nombre de faces.

On sait que la caractéristique d'Euler-Poincaré pour un graphe connexe est Khi = S - A + F = 2 donc on doit avoir F = 2 + A - S = 1 donc le graphe ne délimite qu'une seule face, ie il n'est pas fermé, et la contradiction avec l'hypothèse d'une boucle.

[justine&coria]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Ca nécessite une petite connaissance des graphes.
En fait cela revient à faire un graphe connexe avec :

nombre de sommets : S = 16
nombre d'arêtes : A = 15 (imposé par l'unicité du passage par un segment)
On note également F le nombre de faces.

On sait que la caractéristique d'Euler-Poincaré pour un graphe connexe est Khi = S - A + F = 2 donc on doit avoir F = 2 + A - S = 1 donc le graphe ne délimite qu'une seule face, ie il n'est pas fermé, et la contradiction avec l'hypothèse d'une boucle.

salut,
merci de ta réponse rapide. J'ai pas tout compris dans ce que tu m'as dit (normal, je ne sais pas grand chose sur les graphes) ; j'ai donc quelques questions :
- je compte 16 segments sur le dessin, est-ce que c'est pourquoi tu dis que S=16 ?
- deuxièmement, rien n'empêche de dessiner un trait (droit) qui coupe plusieurs segments en même temps, donc je vois pas pourquoi A est nécessairement égal à 15,
- et enfin, si on ne veut pas faire de boucle, est-ce que tu penses que c'est possible de passer par tous les segments ?

[azt]

Bonjour,
je ne sais pas si j'ai bien compris le problème :

 Cliquez pour afficher

prends le rectangle en bas à droite : il est décomposé en 5 segments.
Est-ce que tu peux faire passer une courbe fermée passant par ces 5 segments ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[_Goel_]

Salut !

En fait, pour faire plus simple, prenons un triangle [abc] simple et un carré [abcd] simple :

dans le carré : il à 4 points d'entrée : a,b,c,d.
donc si on veut satisfaire les conditions de l'énoncé, boucle fermée, il faut se fixer un point de départ, disons l'extérieur du carré et procéder au tracage de la boucle.

comme le seul moyen de passer, pour entrer dans un carré, selon l'énoncé est de passer par un segment, on peut voir ce dernier comme une "porte" d'accès à l'intérieur du carré.

une fois la première "porte" (segment) franchie, on se retrouve DANS le carré. forcément, la prochaine fois qu'on franchira un segment, on sortira du carré.
au final :
- on part de dehors
- on franchit la porte a, et on se retrouve à l'intérieur du carré.
- on franchit la porte b et on se retrouve à l'extérieur du carré.
- on franchit la porte c et on se retrouve à l'intérieur,
- il reste plus que la "porte" d à franchir, pour se retrouver à l'extérieur
- le point de départ étant à l'extérieur, on peut donc fermet la boucle.

Un petite analyse du problème nous fait remarquer que comme le nombre de côtés du carré est pair, le nombre d'entrée est égal au nombre de sorties : si on part de l'intérieur, on se retrouve à l'intérieur et vice versa.


Prenons maintenant le triangle,
il n'a plus que 3 "portes" (segments). donc si on part de l'extérieur, on va :
- entrer par la porte a
- sortir par la porte b
- rerentrer par la porte c
- et on se retrouve à l'intérieur...

Le fait qu'il y ait un nombre impair de portes fait que ne pas se retrouver à l'extérieur si on part de l'extérieur (et vice-versa)

donc si la figure a un nombre impair de sommet, elle ne satisfait pas les conditions de l'énoncé.

voilou pour une explications un peu moins mathématique !

[Jean-Guy]

Bonjour à tous et toutes

Bonjour _Goel_. Il y a un énoncé dans ton post avec lequel je ne suis pas d'accord ...pardonne!

voilou pour une explications un peu moins mathématique !

Pour moi c'est ÇA les vraies mathématiques. Peut-être parce que je ne suis pas mathématicien... Quiconque a déjà résolu un théorème, pour débutants ou avancé, sait que leur but est de rendre évident ce qui ne l'était pas au premier abord. N'est-ce pas la définition du mot "preuve"?

Einstein mentionne, dans son autobiographie (parue dans Albert Einstein, Philosopher Scientist, éditions Paul Arthur Schilpp) :

Un des événements qui ont marqué ma vocation comme scientifique fut d'apprendre mon premier théorème. Je fus fasciné de voir combien, par une suite de raisonnements évidents d'un à l'autre, on parvient à rendre évident ce qui ne l'était pas au départ.

Un maître, dans n'importe quel domaine (mathématiques inclues), n'est-ce pas quelqu'un qui comprend? Et, comprenant, il lui est facile de rendre ...facile la compréhension aux autres.

Mon post se résume donc en un mot : bravo!

A+

[invité576543]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une réponse bien plus simple que celles données par kNz ou Goel, mais je me trompe peut-être.

Quelle différence de principe y-a-t-il entre le problème et les ponts de Könisberg? Remplacez les segments par des bras de rivière et mettez un pont par segment...

Or il y a trois "îles" avec 5 ponts (sans même compter l'extérieur qui en a 9). Ca suffit largement pour conclure!

Et, si cette compréhension est la bonne, la condition de non-croisement est superfétatoire.

Me trompe-je?

Cordialement,

[Jean-Guy]

Bonjour à tous et toutes

Bonjour mmy. Selon moi, non tu ne te trompes pas...

A+

[_Goel_]

C'est bien le même pb (graphes), mais je voulais juste donner une petite explication du raisonnement.

Merci Jean-Guy pour tes Louanges ! (Mais dans le cadre des mathématiques, il aurait fallu exposer les choses différemment, transformer le problème en un problème de graphes, se placer en géométrie plane etc...). Je dirais que c'est plus une raisonnement logique que j'ai développé.

[invité576543]

C'est bien le même pb (graphes), mais je voulais juste donner une petite explication du raisonnement.

Mais la conclusion (nombre impair de sommets) ne me semble pas complète dans ta présentation, désolé.

Si toutes les "pièces" (ou "îles", y compris l'extéieur) ont un nombre pair de "portes" (ou "ponts") alors une boucle est possible.

Si deux pièces ont un nombre impair de portes, alors un chemin passant toutes les portes est possible, mais pas en boucle (il débute dans une des deux pièces et finit dans l'autre).

S'il y a plus de deux pièces ayant un nombre impair de portes, il n'existe pas de chemin passant par toutes les portes, que ce soit en boucle ou pas en boucle.

(Le cas une seule pièce avec un nombre impair de porte n'est pas possible, une porte ayant deux côtés... Je rappelle qu'on compte l'extérieur comme une pièce).

Ici il y a 4 pièces avec un nombre impair (3 avec 5 portes et l'extérieur avec 9), on est donc dans le dernier cas.

Cordialement,

[thepasboss]

Bonjour à vous, j'ai "pondu" un petit dessin pour tentrer de répondre à l'énigme mais vu que vous avez démontré (enfin à se que j'ai compris tt du moins) que le problème n'avait pas de solution, je me demande où est l'erreur dans ma proposition... Pourriez vous m'éclairez et m'indiquer mon erreur s'il vous plait ?

[thepasboss]

Désolé j'ai du rater un épisode et je n'ai pas envoyer l'image... désolé !! je réessaye...

Incha windows...

[invité576543]

Bonsoir,

Je comprend l'énoncé comme demandant de traverser les segments.

Or, pour les segments extérieurs par exemple, ça touche, mais ça ne traverse pas. Si on allonge un peu pour traverser, ça fait à chaque fois deux traversées, alors que je comprend l'énoncé comme en demandant un seul.

Avec ta méthode, en comptant deux traversées (deux "portes") pour les "rebonds" on a 18 portes vers l'extérieur, et les pièces ont 6 ou 8 portes. Toutes les valeurs sont pair, le chemin ne contredit pas la règle!

Maintenant, si on comprend l'énoncé comme demandant simplement un point en commun entre un segment et la trajectoire, ta solution est excellente

Cordialement,

[thepasboss]

Ok donc l'existence ou non d'une solution dépend de l'interprétation que l'on fait de la consigne "la courbe doit avoir un seul point d'intersection avec chaque segment".

Merci beaucoups ! Je me sens moins bête lol

[azt]

Désolé j'ai du rater un épisode et je n'ai pas envoyer l'image... désolé !! je réessaye...

Incha windows...

Allors là bravo thepasboss

[SunnySky]

Moi, je vote pour toi, thepasboss. Tel que je comprends l'énoncé dans sa forme actuelle, ta réponse me semble valide.

Mais j'avoue qu'à la première lecture, moi aussi, j'avais cru comprendre "traversé".

J'adore ce genre de solution. Ça fait voir les choses sous un angle différent. C'est créateur.

Et c'est courageux. Quand _Goel_ et mmy disent quelque chose, tu peux être sûr que je ne m'obstine pas...