Nouveau (??) petit probleme d'horlogerie

[nico2685]

Bonjour à tous,

Dans la lignée d'un autre problème deja étudié dans ce forum, sur le nombre de fois ou les 2 aiguilles d'une horloge sont superposées, je vous propose celui-ci :

Quand on lit l'heure sur une montre a 2 aiguilles, on utilise la longueur des aiguilles pour savoir laquelle donne l'heure (la plus courte), et laquelle donne les minutes (la plus longue). Mais cette information (longueur des aiguilles) me parait superflue (la plpart du temps du moins...)...

En effet, lorsque par exemple on a une aiguille sur le 12 et une sur le 6 il pourrait y avoir ambiguité entre 6h et 0h30... Mais non, car si à 0h30 on a bien l'aiguille des minutes sur le 6, l'autre n'est pas sur le 12, mais au milieu entre le 12 et le 1 On pourrait donc connaire l'heure (6h pile) sans connaitre la taille des aiguilles.
Ma question est donc la suivante : Existe-t-il des cas où ils est impossible de déterminer l'heure sans l'information "longueur des aiguilles", et si oui combien de fois en 12h cela se produit-il ?
J'espere avoir été clair dans l'énoncé… Même si je n'ai pas trop réfléchi au problème, j'ai pensé que cela pourrait peut-être vous distraire quelques minutes !!! En effet j'ai peur que la réponse soit assez simple, mais bon… A vous de jouer
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[ClaudeH]

Bonjour..

J'ai l'impression que tu donnes simplement une explication
concernant la superposition des aiguilles d'une montre à un moment donné.
A moins que quelque chose m'échappe dans ton énoncé.
Je dirais 11 fois.
Cordialement

[Médiat]

Ma question est donc la suivante : Existe-t-il des cas où ils est impossible de déterminer l'heure sans l'information "longueur des aiguilles", et si oui combien de fois en 12h cela se produit-il ?

Ma proposition : Si l'aiguille des minutes bouge par "saut" de 1 mn, aucune confusion possible, si le mouvement de l'aiguille des minutes est continu, une infinité de cas.

La démonstration consiste à écrire la position des aiguilles en fonction de l'heure et des minutes, si je ne me suis pas trompé, c'est tout simple.
(Je compte en degrés pour ne pas avoir à écrire "pi", x entre 0 et 11, y dans [0 ; 60[)
Aiguille des heures à x:y = 30x + (y/60) *30
Aiguille des minutes à x:y = (y/60)*360

il y a deux équations à quatre inconnues à écrire ...

[nico2685]

Pas tout à fait...
En effet les cas de superposition répondent bien au problème, mais pas seulement... à 0h05 par exemple, les aiguilles snt exactement inversées par rapport à 1h00... c'est un autre cas qui convient.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jean_Luc]

Salut,

Pas tout à fait...
En effet les cas de superposition répondent bien au problème, mais pas seulement... à 0h05 par exemple, les aiguilles snt exactement inversées par rapport à 1h00... c'est un autre cas qui convient.

Je ne suis pas d'accord, à 0h05 l'aiguille des heures n'est pas pile sur le 12...
Et pour le cas ou les aiguilles sont superposées, il n'y a pas d'ambiguité...

[nico2685]

Exact !!
Mea culpa, honte à moi !!!
N'yaurait-il comme solution que les cas ou les aiguilles se superposent ? Car oui elle sont bien solutions enfin en partie... Il n'y a effectivement pas ambiguité sur l'heure, mais il est alors impossible sans connaitre leur longueur de dire laquelle donne l'heure et laquelle donne les minutes...

[Jean_Luc]

Voici le résultat d'une simulation numérique (Résolution 1milliSec). L'algorithme consiste à calculer la position des 2 aiguilles pour une heure donnée et a vérifier que la position inverse reste cohérente. Il semble donc qu'il y ait une ambiguité chaque ~5min2sec (sauf en cas d'égalité) mais je ne saurais pas le montrer de manière plus formelle.

00:00:00 00:00:00=
00:05:02 01:00:25
00:10:04 02:00:50
00:15:06 03:01:15
00:20:08 04:01:40
00:25:10 05:02:05
00:30:12 06:02:31
00:35:14 07:02:56
00:40:16 08:03:21
00:45:18 09:03:46
00:50:20 10:04:11
00:55:23 11:04:36
01:00:25 00:05:02
01:05:27 01:05:27=
01:10:29 02:05:52
01:15:31 03:06:17
01:20:33 04:06:42
01:25:35 05:07:07
01:30:37 06:07:33
01:35:39 07:07:58
01:40:41 08:08:23
01:45:44 09:08:48
01:50:46 10:09:13
01:55:48 11:09:39
02:00:50 00:10:04
02:05:52 01:10:29
02:10:54 02:10:54=
02:15:56 03:11:19
02:20:58 04:11:44
02:26:00 05:12:10
02:31:02 06:12:35
02:36:05 07:13:00
02:41:07 08:13:25
02:46:09 09:13:50
02:51:11 10:14:15
02:56:13 11:14:41
03:01:15 00:15:06
03:06:17 01:15:31
03:11:19 02:15:56
03:16:21 03:16:21=
03:21:23 04:16:46
03:26:26 05:17:12
03:31:28 06:17:37
03:36:30 07:18:02
03:41:32 08:18:27
03:46:34 09:18:52
03:51:36 10:19:18
03:56:38 11:19:43
04:01:40 00:20:08
04:06:42 01:20:33
04:11:44 02:20:58
04:16:46 03:21:23
04:21:49 04:21:49=
04:26:51 05:22:14
04:31:53 06:22:39
04:36:55 07:23:04
04:41:57 08:23:29
04:46:59 09:23:54
04:52:01 10:24:20
04:57:03 11:24:45
05:02:05 00:25:10
05:07:07 01:25:35
05:12:10 02:26:00
05:17:12 03:26:26
05:22:14 04:26:51
05:27:16 05:27:16=
05:32:18 06:27:41
05:37:20 07:28:06
05:42:22 08:28:31
05:47:24 09:28:57
05:52:26 10:29:22
05:57:28 11:29:47
06:02:31 00:30:12
06:07:33 01:30:37
06:12:35 02:31:02
06:17:37 03:31:28
06:22:39 04:31:53
06:27:41 05:32:18
06:32:43 06:32:43=
06:37:45 07:33:08
06:42:47 08:33:33
06:47:49 09:33:59
06:52:52 10:34:24
06:57:54 11:34:49
07:02:56 00:35:14
07:07:58 01:35:39
07:13:00 02:36:05
07:18:02 03:36:30
07:23:04 04:36:55
07:28:06 05:37:20
07:33:08 06:37:45
07:38:10 07:38:10=
07:43:13 08:38:36
07:48:15 09:39:01
07:53:17 10:39:26
07:58:19 11:39:51
08:03:21 00:40:16
08:08:23 01:40:41
08:08:23 01:40:41
08:13:25 02:41:07
08:18:27 03:41:32
08:23:29 04:41:57
08:28:31 05:42:22
08:33:33 06:42:47
08:38:36 07:43:13
08:43:38 08:43:38=
08:48:40 09:44:03
08:53:42 10:44:28
08:58:44 11:44:53
09:03:46 00:45:18
09:08:48 01:45:44
09:13:50 02:46:09
09:18:52 03:46:34
09:23:54 04:46:59
09:28:57 05:47:24
09:33:59 06:47:49
09:39:01 07:48:15
09:44:03 08:48:40
09:49:05 09:49:05=
09:54:07 10:49:30
09:59:09 11:49:55
10:04:11 00:50:20
10:09:13 01:50:46
10:14:15 02:51:11
10:19:18 03:51:36
10:24:20 04:52:01
10:29:22 05:52:26
10:34:24 06:52:52
10:39:26 07:53:17
10:44:28 08:53:42
10:49:30 09:54:07
10:54:32 10:54:32=
10:59:34 11:54:57
11:04:36 00:55:23
11:09:39 01:55:48
11:14:41 02:56:13
11:19:43 03:56:38
11:24:45 04:57:03
11:29:47 05:57:28
11:34:49 06:57:54
11:39:51 07:58:19
11:44:53 08:58:44
11:49:55 09:59:09
11:54:57 10:59:34

[nico2685]

Merci Jean-Luc !!
Moi j'ai fait la meme chose hier soir, bon sur excel, et bien moins optimisé que toi en terme de temps de calcul... resultat, en considérant que l'aiguille fait des "bonds" de 1min, un seul cas d'ambiguité... 2h36 et 7h13 si je me souviens bien... Le seul cas ou les secondes n'interviennent pas...
J'avais fait ensuite en considérant des bonds de 1°, avec beaucoup plus de résultats... mais pas autant que toi !!!

[Médiat]

resultat, en considérant que l'aiguille fait des "bonds" de 1min, un seul cas d'ambiguité... 2h36 et 7h13

A 2h36 les aiguilles sont à 78° et 216°
à 7h13 elles sont à 216,5° et 78°

(c'est sans doute imperceptible à l'oeil, mais ce n'est pas la même chose)

[yat]

Une autre approche :

En partant du principe que le mouvement des aiguilles est continu, et en prenant pour unité le degré, à H:m, la position de l'aiguille des minutes est 6m, et la position de l'aiguille des heures est 30H+m/2 (c'est les formules données par Médiat).

Les heures qui posent problème sont les heures a:b telles qu'il existe une heure c:d (avec a<>c et b<>d) pour laquelle la position de l'aiguille des heures à a:b est la même que celle des minutes à c:d, et réciproquement.

En d'autres termes :

6b=30c+d/2
6d=30a+b/2

Les contraintes sont que a et c sont des entiers compris entre 0 et 11, et que b et d sont des réels compris entre 0 et 60. On a deux équations à quatre inconnues, il suffit d'en fixer 2 pour avoir quelque chose de soluble. Je choisis a et c, puisque ce sont des entiers et que ça ne nous laisse que 144 combinaisons. On aboutit à :

b=(720c+60a)/143
d=(720a+60c)/143

avec a et c compris entre 0 et 11, ça nous donne des b et d compris entre 0 et 60, ce qui nous arrange bien. Les 144 combinaisons de a et b possibles vérifient donc le système, les 12 où a et b sont égaux sont les cas particuliers où les deux aiguilles sont confondues.

En essayant avec des valeurs au hasard, je retrouve bien les valeurs dans le tableau de Jean-Luc, qui compte également 144 entrées.

[nico2685]

A 2h36 les aiguilles sont à 78° et 216°
à 7h13 elles sont à 216,5° et 78°

(c'est sans doute imperceptible à l'oeil, mais ce n'est pas la même chose)

Euh... tout à fait exact...
Mais j'ai raisonné avec des bonds d'une minutes, ça fait une résolution de... 6°... donc dans mon calcul c'est pas 216,5° mais bien 216°... bon ok c'est une approximation, mais bon pas plus ridicule qu'une autre... sinon toutes les solutions trouvées s'avèrent peut etre fausses également si on passe à une résolution de 100 pas/°, voire plus...

[Médiat]

Mais j'ai raisonné avec des bonds d'une minutes, ça fait une résolution de... 6°...

Bond d'une minute pour l'aiguille des minutes, c'est justifié, mais pas pour l'aiguille des heures... .

Il va de soi que toutes les suppositions sur la discrétisation des mouvements sont acceptables...

[nico2685]

Mouais... dans ce cas-la pour rester cohérent, il faudrait faire faire à l'aiguille des heures des bonds de 1 heure...

[Médiat]

Mouais... dans ce cas-la pour rester cohérent, il faudrait faire faire à l'aiguille des heures des bonds de 1 heure...

Ce qui me paraît cohérent c'est que l'aiguille des heures bouge comme l'aiguille des minutes : par bond de 1 minute, c'est à dire 6° pour l'aiguille des minutes et 0,5° pour l'aiguille des heures (c'est pourquoi je considère que 216° est différent de 216,5°)

[Jean_Luc]

Une autre approche :

avec a et c compris entre 0 et 11, ça nous donne des b et d compris entre 0 et 60, ce qui nous arrange bien. Les 144 combinaisons de a et b possibles vérifient donc le système, les 12 où a et b sont égaux sont les cas particuliers où les deux aiguilles sont confondues.

En essayant avec des valeurs au hasard, je retrouve bien les valeurs dans le tableau de Jean-Luc, qui compte également 144 entrées.

Juste un petit détail, en fait il n'y a pas 144 solutions mais 143 (13*11), les aiguilles ne sont superposées que 11 fois durant les 12 heures. En fait avec ta méthode tu trouves 2 fois la meme solution.
pour (a,c) = (11,11) et (a,c) = (0,0)

Enfin c'est quand meme bien trouvé. Joli !

De mon coté j'avais une seule équation a une seule inconnue mais que je ne sais pas résoudre

t1/43200 - frac(frac(t1/3600)*12) = 0

[Jean_Luc]

En essayant avec des valeurs au hasard, je retrouve bien les valeurs dans le tableau de Jean-Luc, qui compte également 144 entrées.

Dans mon tableau, une solution est doublée, j'avais pas vu !!!

08:08:23 01:40:41
08:08:23 01:40:41

Desolé...

C'etait bien sympa cette enigme.

[yat]

Dans mon tableau, une solution est doublée, j'avais pas vu !!!

08:08:23 01:40:41
08:08:23 01:40:41

Ce qui en fait 143 au lieu de 144. Mais il n'en manque pas, c'est moi qui en ai compté une de trop : la solution avec a=0 et c=0 donne la même chose que la solution avec a=11 et c=11.

EDIT : croisement avec le post 15... je l'avais pas vu.

[nico2685]

C'etait bien sympa cette enigme.

Merci !!

Surtout content d'en avoir trouvé une originale !!! J'espere en avoir d'autres comme ça

Mediat oui tu as raison c'est comme ça que c'est le plus cohérent, avec des bonds de 1 min pour les 2 aiguilles... Moi j'étais plutot parti avec des graduations identiques pour les 2 aiguilles...