(a-b)2 = a2-2ab+b2

[mary.shostakov]

Décrivez la figure géométrique illustrant l'équation (a-b)2 = a2+2ab-b2

La description doit permettre de tracer la figure sans équivoque.
Toute faute de français est éliminatoire.
-----

[martini_bird]

Salut,

tu es sûr de ton égalité ?

[invitef7e7f363]

Oh, une nouvelle identité remarquable

[nico2685]

A mon avis celle-la va poser beaucoup plus de problèmes... En effet, démontrer que

(a-b)2 = a2+2ab-b2

me paraît plus qu'ardu !!!

EDIT : pas assez rapide !!! trop forts ces modo...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amethyste]

et elle est particulièrement remarquable!

si b=0 par exemple elle devient juste.
La figure est alors un carré?

[invitee137b823]

Il me semble que l'on obtient un parallelogramme...
2 cas :
- b=0, a quelconque
- 2a-b=0

[nico2685]

Mais que cela ne nous empeche pas de reflechir à l'illustration de la vraie égalité remarquable... rien de bien compliqué cependant, c'est presque le meme principe que le précédent.

[piwi]

Y a pas un petit souci dans l'énoncé?
Parce que pour moi, en l'état, la figure géométrique qui illustre ca c'est le néant.

Cordialement,
piwi

[dédé29]

Moi je vois:

 Cliquez pour afficher

Deux droites b=0 et b=2+a

[dédé29]

correction

 Cliquez pour afficher

b=0 et b=2*a

[mary.shostakov]

Quelle c***e !

Ça m'apprendra à taper au clavier et à faire du copier-coller en parlant au téléphone !
Je vais me teindre en blonde, tenez !

Mais Dieu du ciel que font les modérateurs ?!
Ils ne peuvent pas rectifier cette stupidité, non ?

Bon, repartons à zéro :

Décrivez la figure géométrique illustrant l'équation (a-b)2 = a2-2ab+b2

La description doit permettre de tracer la figure sans équivoque.
Toute faute de français est éliminatoire.

Et toute faute d'énoncé de problème sera dorénavant punie de mort.

[GillesH38a]

ça?

bah, moi je tracerais un carré de coté a ABCD, en traçant un segment EF parallèle à AB, a l'intérieur du carré, qui définit un rectangle ABFE de largeur b et de longueur a , puis une deuxième bande perpendiculairement à la précédente, egalement de longueur a et de largeur b, mais qui démarrerait sur la ligne EF et qui dépasserait donc du carré initial par un petit carré de coté b.

La réunion de tout ça forme donc deux carrés accolés de surface a2 et b2, si on enleve les deux bandes de surface ab, on a un carré intérieur de surface (a-b)2 = a2 +b2-2ab.

je ne suis pas sur d'avoir été assez clair

[mary.shostakov]

ça?

bah, moi je tracerais un carré de coté a ABCD, en traçant un segment EF parallèle à AB, a l'intérieur du carré, qui définit un rectangle ABFE de largeur b et de longueur a , puis une deuxième bande perpendiculairement à la précédente, egalement de longueur a et de largeur b, mais qui démarrerait sur la ligne EF et qui dépasserait donc du carré initial par un petit carré de coté b.

La réunion de tout ça forme donc deux carrés accolés de surface a2 et b2, si on enleve les deux bandes de surface ab, on a un carré intérieur de surface (a-b)2 = a2 +b2-2ab.

je ne suis pas sur d'avoir été assez clair

Vous avez décrit une progression pendant laquelle une partie est ôtée hors de la surface traitée et se trouve donc hors concours. De plus, la partie gauche de l'équation est seule à être représentée à la fin et la partie droite a disparu de la représentation géométrique.
Sorry...

[Philou67]

Y a pas un petit souci dans l'énoncé?
Parce que pour moi, en l'état, la figure géométrique qui illustre ca c'est le néant.

Cordialement,
piwi

En considérant le nouvel énoncé, et en posant que a et b sont des coordonnées d'un espace à 2 dimensions, je dirais que c'est le tout.

[GillesH38a]

Vous avez décrit une progression pendant laquelle une partie est ôtée hors de la surface traitée et se trouve donc hors concours. De plus, la partie gauche de l'équation est seule à être représentée à la fin et la partie droite a disparu de la représentation géométrique.
Sorry...

j'ai rien compris à la critique, surtout que l'énoncé initial ne précisait rien de particulier sur la construction : tous les termes de l''équation sont bien apparents sur ma figure !

[mary.shostakov]

En considérant le nouvel énoncé, et en posant que a et b sont des coordonnées d'un espace à 2 dimensions, je dirais que c'est le tout.

Pas plus ?

[mary.shostakov]

j'ai rien compris à la critique, surtout que l'énoncé initial ne précisait rien de particulier sur la construction : tous les termes de l''équation sont bien apparents sur ma figure !

Si vous enlevez les deux bandes de surface ab, vous obtenez bien un carré, mais ce carré est seul et ne témoigne pas de l’opération que vous avez effectuée, qui par ailleurs est exacte.

L’énoncé précise bien que la figure doit décrire l’équation. Elle doit donc décrire toute l’équation et pas seulement le résultat de l’action décrite pour obtenir un de ses termes à partir de l’autre. Votre figure ne correspond qu’à la partie gauche de l’équation puisqu’elle ne représente qu’un carré. La valeur du côté du carré est par ailleurs disparue à la fin de l’opération. On ne sait plus que ce côté est égal à a-b puisque toutes les références à a et b sont disparues avec la suppression des deux bandes de surface ab.

Avec l’équation (a+b)2 = a2+2ab+b2 du jeu précédent, il était facile de représenter les additions sur la figure même, mais avec l’équation (a-b)2 = a2-2ab+b2 du jeu actuel, c’est plus difficile, car il faut représenter l’addition mais aussi la soustraction. Il faut que cette soustraction soit bien visible sur la figure terminée, ce qui permet d’ailleurs de bien voir la valeur du côté du carré exprimé par le terme gauche de l’équation.

Et lorsqu'on a fini de tracer la figure, il faut rédiger une description qui permette de la tracer sans ambiguïté, ce qui est peut-être le plus difficile...

Ah ! Mais ! On ne rigole pas ici !

[GillesH38a]

Si vous enlevez les deux bandes de surface ab, vous obtenez bien un carré, mais ce carré est seul et ne témoigne pas de l’opération que vous avez effectuée, qui par ailleurs est exacte.

hum, quand je disais "enlever", je laisse quand meme la trace du carré initial, mais bon faisons-le à l'envers alors.

On trace un carré de coté (a-b), on accole une bande rectangulaire de largeur b, et de longueur a sur un des cotés de façon qu'une des largeurs b prolonge un coté du carré (la longueur a dépasse donc d'une longueur b de l'autre coté), puis un accole une deuxième bande de même dimension, image de la précédente par une rotation de 90 ° par rapport au centre du carré, qui dépasse elle aussi d'un petit carré b2 du premier carré.

L'ensemble de la construction revient à un carré de coté a + le petit carré qui dépasse de coté b, et a donc une surface a2+b2. Si on enleve les deux bandes rectangulaires de surface ab, on retrouve le carré initial (a-b)2, donc (a-b)2 = a2+b2-2ab....

[mary.shostakov]

Je suis tentée d’approuver, ne serait-ce que pour votre ténacité, mais là encore, il y a « Si on enlève », qui rend compte d’une action par une description verbale mais pas par une représentation géométrique.

Le problème posé n’est plus celui de la formule mathématique, mais de la géométrie totale de la totalité de cette formule. Il y a également un problème de communication de taille.

J’ajouterais comme indice que cet exercice comprend un piège énorme.

Énorme !

[invite986312212]

j'ai construit cette figure, que j'ai la flemme de décrire. Les deux grands carrés "d'aplomb" ont pour côté a+b, le petit carré au centre de la figure a pour côté a-b (je suppose b<a) et les deux carrés de guingois sont censés être des carrés égaux. Le carré du haut contient deux carrés plus petits: l'un de côté a, l'autre (le tout petit) de côté b. En principe tout est sur la figure.

il doit y avoir plus simple...

[martini_bird]

Salut,

il y a « Si on enlève », qui rend compte d’une action par une description verbale mais pas par une représentation géométrique.

Il est permis de colorier certaines régions ?

Cordialement.

[mary.shostakov]

j'ai construit cette figure, que j'ai la flemme de décrire. Les deux grands carrés "d'aplomb" ont pour côté a+b, le petit carré au centre de la figure a pour côté a-b (je suppose b<a) et les deux carrés de guingois sont censés être des carrés égaux. Le carré du haut contient deux carrés plus petits: l'un de côté a, l'autre (le tout petit) de côté b. En principe tout est sur la figure.

il doit y avoir plus simple...

Malheureusement, la figure ne montre qu'une addition de carrés et de triangles.

Merci et bravo pour la figure , qui me porte à amender de façon suivante le règlement en vertu de tous les pouvoirs qui me sont conférés :

Les veinards qui ont la possibilité de produire un dessin sont dispensés d'explication verbale.

[mary.shostakov]

Salut,

Il est permis de colorier certaines régions ?

Cordialement.

Le piège est presque éventé.

[invite986312212]

Malheureusement, la figure ne montre qu'une addition de carrés et de triangles.

oui mais les triangles, quand on les groupe par deux, ça fait des rectangles (i.e. des produits)

non, ça marche, mais je reconnais qu'il doit y avoir plus simple.

[mary.shostakov]

oui mais les triangles, quand on les groupe par deux, ça fait des rectangles (i.e. des produits)

À ce moment, nous avons l'addition de carrés, de triangles et de rectangles, mais la soustraction reste absente de la figure.

je reconnais qu'il doit y avoir plus simple.

Ce n'est pas sûr...

[invite986312212]

tu as tort, je pars du carré central, dont le côté est (a-b) donc il n'y a pas de soustraction à faire.

mais voici une autre figure, plus simple. elle part d'un carré de côté a+b, qui est découpé en 1 carré de côté (a-b), 4 carrés de côté b et 4 rectangles de côtés (a-b) et b. en les regorupant différemment, on a l'expression de (a-b)^2+2ab = a^2+b^2.

mais je préfère la première construction...

[mary.shostakov]

tu as tort, je pars du carré central, dont le côté est (a-b) donc il n'y a pas de soustraction à faire.

Dans ce cas, où se trouve le signe moins du terme -a ?

Petite remarque d'ordre général, comme le problème risque de déboucher sur des solutions portant au litige à cause de sa simplicité apparente, qui cache une complexité bien réelle, je ferais appel aux mathématiciens du forum à des fins d'arbitrage, s'ils le veulent bien ...

[invite986312212]

j'ai l'impression que tu parles en fait de la construction de la longueur a-b, à partir de la donnée de a et b, c'est bien ça? mais ça c'est trivial.
une fois qu'on a la longueur (a-b) on sait construire le carré de côté (a-b) et alors il n'y a pas à effectuer de soustraction.

bon, je prends la peine de décrire ma première figure. Je pars d'un carré de côté (a-b): c'est le carré qui se trouve au centre de la figure, appelons-le ABCD. Je prolonge le côté AB jusqu'à E, de sorte que B soit entre A et E et que la longueur BE soit égale à b. La longueur AE est donc égale à (a-b)+b=a.
je construis de même les points F,G,H.
j'affirme que EFGH est un carré. Je ne développe pas ici mais c'est parce que les triangles BEF, CFG, etc. sont égaux.
Le carré EFGH a un côté que je ne connais pas (il y a une racine carrée) mais je sais que sa surface est la somme de (b-a)^2 et 4 fois la surface du triangle BEF, qui est égale à ab/2. donc EFGH=(b-a)^2+2ab.
Je construis maintenant le point I en prolongeant AE d'une longueur b. La longueur AI est donc (a-b)+b+b=a+b. Je construis les points J et K de sorte que AIJK soit un carré.
bon, j'abrège un peu, mais je découpe ce carré en a^2+b^2+2ab, comme on voit.
Je construis maintenant le point L en prolongeant CG d'une longueur b. Et je construis les points M et N de sorte que CLMN soit une carré de côté (a+b). Ce carré est découpé comme on voit en cuinq pièces: un carré (GFOP) qui est égal au carré EFGH, et quatre triangles, toujours égaux à BEF, dont la surface totale est donc 2ab. Donc GFOP = EFGH = (a-b)^2+2ab = (a+b)^2-2ab = a^2+b^2. CQFD

[Médiat]

En remarquant que a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b², la réponse est évidente (Je n’aime pas dessiner et la description verbale ne tient pas sur un haïku, ma forme d'expression préférée…)

[wolfgangouille]

www.membres.lycos.fr/wolfgangouille/hein.JPG
j'ai peut être rien pigé mais pour moi ces deux figures ont exactement la même aire.