Topologie

[polo974]

Je ne comprend pas (déjà comme j'essayais de l'expliquer, il n'y a pas de "toujours du même côté").

Dans les deux cas on passe de façon continue d'une longueur à l'autre. La différence est que sur le cylindre, on part d'un bord, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur l'autre bord. Alors que sur Möbius, ça se réduit continument puis ça augmente toujours continument et on finit sur le même bord (mais sur le point à 180° du poinr de départ). La variation continue de longueur est identique.

Cordialement,

Quand je parlais de "toujours du même côté", c'était dans le sens normale à la surface (des restes de synthèse d'image...), ce qui découle en fait de l'orientation même de la surface comme tu l'as décrit.

Si on coupe un anneau de Moebius // au bord à une distance autre que la moitié de la largeur, la longueur de coupe correspond à la longueur du bord.
Si on coupe l'anneau en suivant le milieu exact du ruban, la longueur de coupe est moitié de la longueur du bord, et on se retrouve orienté dans l'autre sens.
C'est de cette discontinuité dont je parlais (de longueur de coupe et d'inversion d'orientation).

Suis-je au même point de l'anneau, mais "tête en bas" ou suis-je ailleurs sur l'anneau mais physiquement (la découpe) au même endroit?

En gros:
Comment définit-on la position d'un point sur un anneau de moebius?
Y a-t'il une information d'orientation supplémentaire pour chaque point?

Maintenant, comme je ne connais pas l'exacte définition de l'anneau... je mélange peut-être la représentation et l'objet mathématique.

C'est rigolo quand on essaye d'y réfléchir à ces surfaces qui mélangent page et feuille ("normalement" une feuille, c'est 2 pages, mais là???)...

[invite986312212]

En gros:
Comment définit-on la position d'un point sur un anneau de moebius?

je pense qu'on peut donner un sens à l'expression "être d'un côté ou de l'autre de la surface" pour un ruban de Moebius. Considère un point du ruban et une petite sphère centrée en ce point. Le ruban sépare la sphère en deux parties qui sont proches de demi-sphères (il faut que la sphère soit assez petite pour ne pas couper le ruban plusieurs fois: hum! je me demande si cette phrase a un sens!). Si tu imagines une fourmi arpentant la surface, elle sera dans l'une ou l'autre des demi-sphères, demi-sphère qui se déplace avec la fourmi. Ce qui se passe avec le ruban de Moebius, c'est que pour certains parcours fermés de la fourmi, quand elle repasse en un point déjà visité, elle peut se trouver dans l'autre demi-sphère, chose qui ne peut pas arriver sur un cylindre par exemple.

il y a des difficultés mathématiques à formaliser cette image: par exemple avec une surface compliquée, il se pourrait que le diamètre d'une sphère coupée proprement par la surface tende vers zéro quand on se rapproche de certains points. J'imagine que c'est le cas avec ces surfaces à cornes entremêlées (?)

[invité576543]

je pense qu'on peut donner un sens à l'expression "être d'un côté ou de l'autre de la surface" pour un ruban de Moebius. Considère un point du ruban et une petite sphère centrée en ce point.

La notion de sphère est une notion 3D. La difficulté conceptuelle est la distinction entre la notion de surface par elle-même, et entre surface plongée dans un espace 3D orienté.

En tant que surface abstraite, un ruban de möbius peut "exister" aussi bien en tant que surface non plongée, que de surface plongée en 3D orienté ou non, ou en 4D orienté ou non, etc.

La notion de côté de la surface est parfaitement claire dans le cas surface plongée dans un espace 3D orienté, mais pas dans les autres cas!

Alors que la notion de variété orientée est indépendante du plongement.

Il faut décider de quoi on parle réellement, si c'est de la surface en elle-même, ou de la surface plongée dans l'espace euclidien 3D dont nous avons l'habitude. Le second est bien plus restrictif que le premier, mais à l'avantage d'être proche de l'expérience directe.

Histoire de montrer en quoi l'approche plongée est limitée, suffit de penser à la variété 3D dans laquelle nous vivons. Vu comme plongée en 4D, on pourrait parler d'un côté ou de l'autre de la variété. C'est conceptuellement extrêmement difficile, alors que l'orientation d'un trièdre est une notion claire.

(Note: en espace-temps Minkowskien il y a bien une notion de côté ou de l'autre, sous la forme par exemple de passé/futur. Mais visualiser ce que voudrait dire "arpenter un côté" n'est pas facile...)

Cordialement,

[invité576543]

A la question comme se repérer sur un möbius, il me semble que le support intuitif le plus simple est de voir un pavage d'une bande sur un plan eudiclien.

Prenons une telle bande, avec comme coordonnées le système orthogonal usuel du plan euclidien, contraint par |y|<1.

Une surface de möbius est mathématiquement obtenue en considérant les classes de points de la bande par la relation d'équivalence

(x,y) = (x', y') si (|y|=|y'| non nul et (x-x') + (y-1)/2y' entier ) ou (y=y'=0 et x-x' entier)

Cela montre immédiatement la discontinuité dont parle polo.

Il me semble qu'il y a une autre approche pour les coordonnées en voyant le ruban de möbius comme le plan projectif (bonnet croisé) avec un trou. A voir.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

La notion de côté de la surface est parfaitement claire dans le cas surface plongée dans un espace 3D orienté, mais pas dans les autres cas!

Alors que la notion de variété orientée est indépendante du plongement.

tu as raison mais on est dans la rubrique "science ludique" alors on peut en rester à des concepts simples. (bon d'accord, j'essaie de me récupérer comme je peux )


sur ces question, je recommande vivement la lecture du livre d'Anatoly Fomenko: "visual geometry and topology" où il aborde non seulement la classification des surfaces, mais aussi celle des variétés de dimension 3, qui est beaucoup plus mystérieuse (pour moi du moins)