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Casse-tête.



  1. #1
    ClaudeH

    Casse-tête.


    ------

    Bonjour
    Encore un casse-tête, je m'y attaque mais n'ai pas la solution.

    Un homme dit à ses deux fils Eric et Daniel:

    - Deux personnes ont plus de 2 ans et moins de 100 ans.
    Cet homme écrit sur une feuille le produit des âges des deux personnes qu'il donne à Eric
    et écrit sur une autre feuille la somme des ages des deux personnes, qu'il donne à Daniel.
    Pouvez-vous me donner l'âge respectif de ces deux personnes leur demande t-il.?
    Effectivement les deux fils ne se communiquent pas le résultat que leur père leur a donné.
    Alors ils alors engagent une discution.
    - Eric dit à son frère: Non, je ne peux pas trouver la solution.
    - Daniel répond: Moi non plus, et je savais pertinemment que tu n'avais pas la réponse
    - C'est bon, maintenant j'ai la solution reprend Eric.
    - Et ben moi aussi rétorque Daniel.

    Pourriez-vous trouver l'âge de ces deux personnes.?

    Cordialement.

    -----

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  3. #2
    manimal

    Re : Casse-tête.

    Bonsoir ,
    J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
    Pour la deuxième je continue le calcul.
    Cordialement.
    Manimal.

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par manimal Voir le message
    Bonsoir ,
    J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
    Pour la deuxième je continue le calcul.
    Cordialement.
    Manimal.
    C'est un problème "classique" (il doit bien être quelque part sur les forums FS!), très intéressant (en particulier parce que la borne de 100 ne semble pas nécessaire pour l'unicité de la solution, mais je crois que c'est un problème ouvert). La résolution n'est pas simple, elle demande pas mal de calculs.

    De mémoire il n'y a pas 3 dans la solution.

    Cordialement,

  5. #4
    mx6

    Re : Casse-tête.

    Bonjour,
    Je voudrais savoir est ce qu'il y a un jeu de mot dans l'énoncé surtout au niveau du dialogue ?

    Posté par manimal Voir le message
    Bonsoir ,
    J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
    Pour la deuxième je continue le calcul.
    Cordialement.
    Manimal.
    Peux tu m'envoyer la démarche que t'as suivi pour trouver ce resultat, car ca me parrait assez louche de trouver l'age d'une seule personne sans savoir l'autre.

    Merci;

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Casse-tête.

    mmy a raison, on l'a déjà eu deux fois :
    posé la 1ère fois par Matthias ici
    résolu informatiquement,
    puis relancée ici par Matthias (post#11) avec
    la résolution à la main au post#36.
    je spolie la réponse pour ceux qu'ils veulent chercher (bon courage, à dans 15 jours) :
     Cliquez pour afficher

  8. #6
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
     Cliquez pour afficher
    Quelque chose doit m'échapper : est-ce que plus grand que 2 veut dire > 2 ou >= 2 ???

     Cliquez pour afficher
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    Fab63

    Re : Casse-tête.

    Sans vouloir trop m'avancer, si l'on dit de Marcel qu'il est plus grand qu'Octave qui mesure lui-même 2m, cela veut obligatoirement dire que Marcel ne mesure pas 2m mais plus, non ?

    Amicalement

  11. #8
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Fab63 Voir le message
    Sans vouloir trop m'avancer, si l'on dit de Marcel qu'il est plus grand qu'Octave qui mesure lui-même 2m, cela veut obligatoirement dire que Marcel ne mesure pas 2m mais plus, non ?
    C'est bien comme cela que j'avais compris les choses, d'autant plus que en acceptant 2 il y a d'autres solutions (ou alors je n'ai pas compris l'énoncé, c'est sans doute cela l'explication) :
     Cliquez pour afficher
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    il y a d'autres solutions (ou alors je n'ai pas compris l'énoncé, c'est sans doute cela l'explication) :
    A ma connaissance, il n'y a qu'une solution. Mais il faut faire attention, toutes les 4 conditions doivent être remplies.

    - ambiguité du produit: il a au moins trois facteurs
    - ambiguité de la somme: tout les (s-a)a ont trois facteurs au moins
    - unicité du produit: une seule des sommes est ambigue
    - unicité de la somme: un seul des (s-a)a est tel qu'une seule des sommes x+y avec xy=s(s-a) est ambigue

    (sf erreur, ...)

    Cordialement,

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    En prenant 3 et 8, la somme vaut 11

    11 = 9+2, 8+3, 7+4, 6+5

    Le produit est ambigu, la somme aussi. Mais faut vérifier les deux autres conditions, et ça c'est un peu plus compliqué!

    8+3, les produits sont 2+12=14, 3+8=11, 4+6=10

    14 = 3+11 non ambigu
    10 = 3+7 non ambigu

    la troisième condition est remplie

    reste à vérifier la 4ème, je le laisse faire

    Cordialement,

  14. #11
    ClaudeH

    Re : Casse-tête.

    Bonjour.

    Effectivement Matthias avait déja posé ce problème avec un énoncé différent, mais cela revient au même.

    La personne qui m'a posé ce problème a un résultat différent.
    Je vous le soumet.

    Quand Eric dit je ne peux pas trouver: C'est que le produit ne peux se décomposer d'une seule manière. Alors logiquement ce n'est pas le produit de deux nombres premiers.

    Quand Daniel répond: moi non plus.
    Donc la somme également ne peut se décomposer que d'une manière unique. Cette somme est donc comprise entre 8 et 196 inclus.
    6 = 6 + 3,
    7= 4 + 3
    197 = 98 + 99
    198 = 99 + 99
    Pour l'instant ça me semble logique. Non.?

    Et quand Daniel rajoute: je savais pertinement que tu n'avais pas la réponse.
    C'est qu'il sait que cette somme ne peux s'ecrire comme celle de deux nombres premiers. Il y aurait alors 79 valeurs possibles pour la somme.

    Quand Eric lui réponds: j'ai trouvé
    Il pense que parmi les paires de facteurs possibles du produit, une seule a une somme ne pouvant pas s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cela donne 1070 valeurs possibles pour le produit


    Daniel peux répondre à son tour: moi aussi j'ai trouvé.
    Car parmi les paires de composantes possibles de la somme, une seule a un produit dont les possibles facteurs ont une seule somme ne pouvant pas s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cela donne une seule solution satisfaisante: une somme de 29 et un produit de 208.

    Alors le résultat serait 13 et 16.?
    Cordialement.

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par ClaudeH Voir le message
    Alors le résultat serait 13 et 16.?
    27 = 8+19 = 16 + 13

    Donc le produit peut être aussi bien 13 fois 16 que 8 fois 19, la dernière condition ("moi aussi j'ai trouvé") n'est pas vérifiée.

    Cordialement,

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  17. #13
    Le_gabe

    Re : Casse-tête.

    16+13 = 29 et pas 27...

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Le_gabe Voir le message
    16+13 = 29 et pas 27...
    C'est bien vrai, ça!

    Bon, mais la 4me condition n'est pas remplie à cause de 29=27+2.

    En effet (2, 27):

    - remplit la première condition, puisque 54 est le produit de 4 facteurs
    - remplit la deuxième, parce que 29 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux premiers
    - remplit la troisième, parce que le produit donne les sommes 2+27, 6+9=13+2, 18+3=19+2; seule 29 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux premiers

    Cordialement,

  19. #15
    homotopie

    Re : Casse-tête.

    Dans les réflexions précédentes, il manque invariablement la considération suivante : Eric et Daniel savent que ces deux nombres sont entre 2 et 100 et savent que l'autre le sait aussi.
    Comment utiliser ceci ?
    Ainsi :
    1) la somme est inférieure à 54, toute somme supérieure à 55 ne vérifie pas la 2nde condition
    en effet d'abord sur un exemple si on donne à Daniel la somme 59, Daniel voit comme décomposition possible 53+6 et réfléchit Eric a donc 59x6=108x3=177x2=324x1, les trois dernières sont exclues par la condition nombres inférieurs à 100 (le français est inclusif), la dernière étant aussi exclue par la condition "supérieur à 2".
    Ainsi Daniel ne peut dire qu'il savait qu'Eric ne pouvait trouver (2ème condition l'exclut).
    Il en est de même de toute somme égale à 53+truc>=2.
    Si truc est premier, c'est une somme de deux premiers
    si truc n'est pas premier, toute recomposition du produit est de la forme 53xtruc=(53a).b avec 53a>=53x2>100. Eric pour cette décomposition sait donc que cela ne peut être que 53 et truc, et Daniel ne peut affirmer en 1ère réponse "je savais que tu ne pouvais trouver".
    Autre manière : montrer que 51 ne vérifie pas
    2) toute somme paire est exclue (accélération de la vérif grace à la "condition de borne") et ne vérifie pas la seconde condition
    37 est premier, tout nombre pair >=40 est de la forme 43xtruc avec truc impair.
    37xtruc=(37a)xb ne vérifie la condition de borne que si a=1 car sinon a étant impair comme tout diviseur d'un impair (truc) a>=3 et 37a>=111>100.
    Si un nombre pair 10<=N<=40 n'est pas somme de deux premiers alors N-3, N-5 et N-7 sont non premiers (car 3, 5 et 7 le sont). Or si 10<=N<=40, on a 3<=N-7,N-5,N-3<=37<49=7² donc ces nombres ne sont pas premiers si et seulement si ils ne sont pas divisibles par 3 et 5, or parmi N-, N-5=(N-7)+2, N-3=(N-7)+4 un seul est un multiple de 3 et au plus un est multiple de 5. Donc tous ces N sont somme de deux premiers.
    les décompositions en termes premiers 4=2+2, 6=3+3, 8=5+5 terminent de montrer le point 2.

    La somme est donc impaire non égale à 2+premier (ne vérifie pas la seconde condition) mais le point 2 va permettre de montrer en plus ceci :
    3) si les deux nombres sont de la forme m>1 et p premier impair alors Eric trouve après la 1ère réponse de Daniel (si cette décomposition vérifie la 2nde condition)
    En effet, Eric hésite entre plusieurs décompositions (m>1) mais seules (2^m ; p) et (2^mp ;1) ne donnent pas une somme paire (exclue d'après le point 2) et la seconde décomposition ne vérifie pas la condition de borne (1 est exclu des nombres possibles)
    Ex : 37=8+29=32+5 n'est pas solution (même si la borne était plus grande ou les nombres étaient données sans bornes)

    4) P,4xtruc vérifie la 3ème condition (si elle vérifie la 2nde condition) si P est premier>=17
    en effet on a Px2^mxi (i impair, m>=2), les seules recompositions donnant une somme impaire sont Pix(2^m) et ix(2^mP) la somme est supérieure dans les 2 cas à 3P+3>=54 et est impaire donc >=55 le point 1 les exclut. Il n'y a qu'une décomposition pouvant satisfaire la 2nde condition.
    17, 29 sont congrus modulo 4 donc à partir de 33 les sommes S congrus à 1 modulo 4 sont exclues car soit ils ne vérifient pas la 2nde condition, soit la vérifient mais alors il y a ambiguïté pour Daniel au moins entre N=17+(N-17) et N=29+(N-29) (de plus le produit associé à 29=17+12 est un produit vérifiant la 2nde condition, 21=2+19, 25=2+23 ne vérifient pas la seconde condition)
    19 et 23 sont congrus donc aucune solution donnant une somme congrue à 3 modulo 4 >=27.
    Les impairs non somme de 2 premiers <=33 sont : 2+9=11, 2+15=17, 2+21=23, 2+25=27 (déjà exclu), 2+27=29
    11=8+3=7+4 exclu
    23=4+19=16+7 exclu
    29=16+13=17+12(cf ci-dessus) exclu.
    Il ne reste que 17, 17=4+13 on a un candidat pour la décomposition, il ne reste plus qu'à montrer que c'est le seul mais je m'arrêterai là (plus long à rédiger qu'à faire au brouillon)

  20. #16
    homotopie

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Quelque chose doit m'échapper : est-ce que plus grand que 2 veut dire > 2 ou >= 2 ???
    On peut reformuler ainsi () :
    un homme dît à ses deux fils Eric et Daniel:
    - Deux personnes ont plus de 2 ans et moins de 100 ans.
    Cet homme écrit sur une feuille le produit des âges des deux personnes qu'il donne à Eric
    et écrit sur une autre feuille la somme des ages des deux personnes, qu'il donne à Daniel.
    Pouvez-vous me donner l'âge respectif de ces deux personnes leur demande t-il.?
    Effectivement les deux fils ne se communiquent pas le résultat que leur père leur a donné.
    Alors ils alors engagent une discussiion.
    - Eric dit à son frère: Non, je ne peux pas trouver la solution.
    - Daniel répond: Moi non plus, et je savais pertinemment que tu n'avais pas la réponse
    - C'est bon, maintenant j'ai la solution reprend Eric.
    - Et ben moi aussi rétorque Daniel.
    Pouvez-vous trouver l'âge de ces deux personnes.?
    Non pas encore remarque quelqu'un car j'aimeraiss que l'on précise "plus de deux ans signifie-t-il au moins deux ans ou strictement plus de deux ans ?"
    OK, dans ce cas je ne le précise pas mais retrouver quand même un des deux ages.

  21. #17
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Non pas encore remarque quelqu'un car j'aimeraiss que l'on précise "plus de deux ans signifie-t-il au moins deux ans ou strictement plus de deux ans ?"
    OK, dans ce cas je ne le précise pas mais retrouver quand même un des deux ages.
    Le "problème" (le souci plutôt) c'est que prenant les mots en leur sens habituel en français, j'ai passé pas mal de temps à chercher des solutions avec des âges strictement plus grands que 2, pour rien puisque dans ce cas il n'y a pas de solution, donc quand j'ai appris qu'il fallait comprendre plus grand ou égal, je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête (cela m'a rappelé quelqu'un )...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    homotopie

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Le "problème" (le souci plutôt) c'est que prenant les mots en leur sens habituel en français, j'ai passé pas mal de temps à chercher des solutions avec des âges strictement plus grands que 2, pour rien puisque dans ce cas il n'y a pas de solution, donc quand j'ai appris qu'il fallait comprendre plus grand ou égal, je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête (cela m'a rappelé quelqu'un )...
    Moi, j'obtiens une solution pour le cas ">2" qui n'est évidemment pas (4,13).
     Cliquez pour afficher

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  24. #19
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Moi, j'obtiens une solution pour le cas ">2" qui n'est évidemment pas (4,13).
    T'as gagné, je suis écoeuré .

    Je dois te faire un aveu : je n'avais pas penser à une majoration de la somme aussi brutale
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Je dois avouer que je ne comprend pas trop le débat. L'énigme est vieille de pas mal d'années (je me la suis coltinée il y a peut-être 10 ans ou plus, merci O.M. qui se reconnaîtra peut-être, qui sait). Dès le début de ce fil il a été dit qu'elle était déjà apparue sur FS, et il suffisait de regarder ces discussions pour voir que 2 est inclus.

    Ensuite, quand on me l'a posée il y a longtemps, il n'était pas question d'âge, et la majoration était 180 ou quelque chose comme ça. Je crois me rappeler avoir lu bien après qu'il est conjecturé qu'il n'y a qu'une seule solution quelle que soit la majoration (avec 2 inclus).

    Ceci dit, l'extension avec une borne inférieure différente est intéressante. Mais alors autant pousser le bouchon, et regarder le nombre de solutions pour tout encadrement (n, m) les bornes étant incluses.

    Cordialement,

  26. #21
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je dois avouer que je ne comprend pas trop le débat.
    C'est pas grave.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Dès le début de ce fil il a été dit qu'elle était déjà apparue sur FS, et il suffisait de regarder ces discussions pour voir que 2 est inclus.
    C'est toujours plus simple de trouver la réponse quand on sait qu'il y a une question.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est toujours plus simple de trouver la réponse quand on sait qu'il y a une question.
    Je ne te suis pas, là. L'une des premières choses que j'essaye d'enseigner à mes jeunes est que tout énoncé (y compris en mathématiques) est ambigu, et que la première tâche avant de résoudre un exo est de choisir la bonne interprétation de l'énoncé. Ce choix se fait par tous les moyens du bord, et ici l'un des moyens était d'aller voir les autres discussions. Et ce choix n'est pas de nature mathématique, mais de nature humaine: il prend en compte le fait que c'est un humain qui a écrit l'énoncé, le cadre social dans lequel l'énoncé l'a été, etc.

    Cordialement,

  28. #23
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par mmy
    Je ne te suis pas, là
    C'est pas grave.

    En français "plus grand" n'est pas ambigu, en tout cas moins que 100 n'est ambigu (en base 2, 6 ou 2549845 : ce n'est pas précisé).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En français "plus grand" n'est pas ambigu.
    C'est une vision de matheux, ça. L'autre vision est: en français, tout est ambigu!

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    Médiat

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    C'est une vision de matheux, ça.
    Après la condescendance, voila le mépris, c’est quoi la prochaine étape : l’insulte ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Après la condescendance, voila le mépris, c’est quoi la prochaine étape : l’insulte ?
    Eh cool... Il n'y avait aucune intention de quoi que soit dans le genre.

    Des énigmes discutées sur ce forum, il y a eu des tas. Discuter des ambigüités des énoncés se fait presque toujours en élargissant l'énoncé. C'est les réflexions comme "je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête" que je ne comprend pas.

    Je ne comprend pas l'intérêt de discuter le français alors qu'il est intéressant de distinguer l'énigme avec un bornage (3,100) en plus de l'étudier avec un bornage (2, 100). Si tu as cherché le cas (3, 100) et trouvé un résultat, c'est intéressant en soi-même, sans s'occuper de l'énoncé initial.

    Cordialement,

  33. #27
    invité576543
    Invité

    Re : Casse-tête.

    Une remarque, à titre d'excuse. Quand j'écris "Je ne comprend pas", il ne s'agit pas de rhétorique, comme les "c'est pas grave" peuvent laisser penser que c'est pris, mais d'information au premier degré. Je ne comprend pas tes réactions dans cette discussion, et la preuve même que je ne les comprend pas est que cela m'a amené à faire un impair, à écrire quelque chose dont je ne m'attendais pas à ce que ce soit mal pris.

    Cordialement,

  34. #28
    Saladin le Grand

    Re : Casse-tête.

    Je comprend rien...
    War doesn't determine who is right, only who is left...

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