Casse-tête.

[ClaudeH]

Bonjour
Encore un casse-tête, je m'y attaque mais n'ai pas la solution.

Un homme dit à ses deux fils Eric et Daniel:

- Deux personnes ont plus de 2 ans et moins de 100 ans.
Cet homme écrit sur une feuille le produit des âges des deux personnes qu'il donne à Eric
et écrit sur une autre feuille la somme des ages des deux personnes, qu'il donne à Daniel.
Pouvez-vous me donner l'âge respectif de ces deux personnes leur demande t-il.?
Effectivement les deux fils ne se communiquent pas le résultat que leur père leur a donné.
Alors ils alors engagent une discution.
- Eric dit à son frère: Non, je ne peux pas trouver la solution.
- Daniel répond: Moi non plus, et je savais pertinemment que tu n'avais pas la réponse
- C'est bon, maintenant j'ai la solution reprend Eric.
- Et ben moi aussi rétorque Daniel.

Pourriez-vous trouver l'âge de ces deux personnes.?

Cordialement.
-----

[manimal]

Bonsoir ,
J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
Pour la deuxième je continue le calcul.
Cordialement.
Manimal.

[invité576543]

Bonsoir ,
J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
Pour la deuxième je continue le calcul.
Cordialement.
Manimal.

C'est un problème "classique" (il doit bien être quelque part sur les forums FS!), très intéressant (en particulier parce que la borne de 100 ne semble pas nécessaire pour l'unicité de la solution, mais je crois que c'est un problème ouvert). La résolution n'est pas simple, elle demande pas mal de calculs.

De mémoire il n'y a pas 3 dans la solution.

Cordialement,

[mx6]

Bonjour,
Je voudrais savoir est ce qu'il y a un jeu de mot dans l'énoncé surtout au niveau du dialogue ?

Posté par manimal Voir le message
Bonsoir ,
J ai trouvé l age de la première personne : elle a trois ans
Pour la deuxième je continue le calcul.
Cordialement.
Manimal.

Peux tu m'envoyer la démarche que t'as suivi pour trouver ce resultat, car ca me parrait assez louche de trouver l'age d'une seule personne sans savoir l'autre.

Merci;

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

mmy a raison, on l'a déjà eu deux fois :
posé la 1ère fois par Matthias ici
résolu informatiquement,
puis relancée ici par Matthias (post#11) avec
la résolution à la main au post#36.
je spolie la réponse pour ceux qu'ils veulent chercher (bon courage, à dans 15 jours) :

 Cliquez pour afficher

4 et 13

[Médiat]

 Cliquez pour afficher

4 et 13

Quelque chose doit m'échapper : est-ce que plus grand que 2 veut dire > 2 ou >= 2 ???

 Cliquez pour afficher

avec 4 et 13 Eric sait que le produit est 52 qui, dans le premier cas, ne se décompose que d'une seule façon 4 x 13, et il connaît donc la réponse dés le début...

[Fab63]

Sans vouloir trop m'avancer, si l'on dit de Marcel qu'il est plus grand qu'Octave qui mesure lui-même 2m, cela veut obligatoirement dire que Marcel ne mesure pas 2m mais plus, non ?

Amicalement

[Médiat]

Sans vouloir trop m'avancer, si l'on dit de Marcel qu'il est plus grand qu'Octave qui mesure lui-même 2m, cela veut obligatoirement dire que Marcel ne mesure pas 2m mais plus, non ?

C'est bien comme cela que j'avais compris les choses, d'autant plus que en acceptant 2 il y a d'autres solutions (ou alors je n'ai pas compris l'énoncé, c'est sans doute cela l'explication) :

 Cliquez pour afficher

3 et 8, par exemple

[invité576543]

il y a d'autres solutions (ou alors je n'ai pas compris l'énoncé, c'est sans doute cela l'explication) :

A ma connaissance, il n'y a qu'une solution. Mais il faut faire attention, toutes les 4 conditions doivent être remplies.

- ambiguité du produit: il a au moins trois facteurs
- ambiguité de la somme: tout les (s-a)a ont trois facteurs au moins
- unicité du produit: une seule des sommes est ambigue
- unicité de la somme: un seul des (s-a)a est tel qu'une seule des sommes x+y avec xy=s(s-a) est ambigue

(sf erreur, ...)

Cordialement,

[invité576543]

En prenant 3 et 8, la somme vaut 11

11 = 9+2, 8+3, 7+4, 6+5

Le produit est ambigu, la somme aussi. Mais faut vérifier les deux autres conditions, et ça c'est un peu plus compliqué!

8+3, les produits sont 2+12=14, 3+8=11, 4+6=10

14 = 3+11 non ambigu
10 = 3+7 non ambigu

la troisième condition est remplie

reste à vérifier la 4ème, je le laisse faire

Cordialement,

[ClaudeH]

Bonjour.

Effectivement Matthias avait déja posé ce problème avec un énoncé différent, mais cela revient au même.

La personne qui m'a posé ce problème a un résultat différent.
Je vous le soumet.

Quand Eric dit je ne peux pas trouver: C'est que le produit ne peux se décomposer d'une seule manière. Alors logiquement ce n'est pas le produit de deux nombres premiers.

Quand Daniel répond: moi non plus.
Donc la somme également ne peut se décomposer que d'une manière unique. Cette somme est donc comprise entre 8 et 196 inclus.
6 = 6 + 3,
7= 4 + 3
197 = 98 + 99
198 = 99 + 99
Pour l'instant ça me semble logique. Non.?

Et quand Daniel rajoute: je savais pertinement que tu n'avais pas la réponse.
C'est qu'il sait que cette somme ne peux s'ecrire comme celle de deux nombres premiers. Il y aurait alors 79 valeurs possibles pour la somme.

Quand Eric lui réponds: j'ai trouvé
Il pense que parmi les paires de facteurs possibles du produit, une seule a une somme ne pouvant pas s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cela donne 1070 valeurs possibles pour le produit


Daniel peux répondre à son tour: moi aussi j'ai trouvé.
Car parmi les paires de composantes possibles de la somme, une seule a un produit dont les possibles facteurs ont une seule somme ne pouvant pas s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cela donne une seule solution satisfaisante: une somme de 29 et un produit de 208.

Alors le résultat serait 13 et 16.?
Cordialement.

[invité576543]

Alors le résultat serait 13 et 16.?

27 = 8+19 = 16 + 13

Donc le produit peut être aussi bien 13 fois 16 que 8 fois 19, la dernière condition ("moi aussi j'ai trouvé") n'est pas vérifiée.

Cordialement,

[invite06413c42]

16+13 = 29 et pas 27...

[invité576543]

16+13 = 29 et pas 27...

C'est bien vrai, ça!

Bon, mais la 4me condition n'est pas remplie à cause de 29=27+2.

En effet (2, 27):

- remplit la première condition, puisque 54 est le produit de 4 facteurs
- remplit la deuxième, parce que 29 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux premiers
- remplit la troisième, parce que le produit donne les sommes 2+27, 6+9=13+2, 18+3=19+2; seule 29 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux premiers

Cordialement,

[invite35452583]

Dans les réflexions précédentes, il manque invariablement la considération suivante : Eric et Daniel savent que ces deux nombres sont entre 2 et 100 et savent que l'autre le sait aussi.
Comment utiliser ceci ?
Ainsi :
1) la somme est inférieure à 54, toute somme supérieure à 55 ne vérifie pas la 2nde condition
en effet d'abord sur un exemple si on donne à Daniel la somme 59, Daniel voit comme décomposition possible 53+6 et réfléchit Eric a donc 59x6=108x3=177x2=324x1, les trois dernières sont exclues par la condition nombres inférieurs à 100 (le français est inclusif), la dernière étant aussi exclue par la condition "supérieur à 2".
Ainsi Daniel ne peut dire qu'il savait qu'Eric ne pouvait trouver (2ème condition l'exclut).
Il en est de même de toute somme égale à 53+truc>=2.
Si truc est premier, c'est une somme de deux premiers
si truc n'est pas premier, toute recomposition du produit est de la forme 53xtruc=(53a).b avec 53a>=53x2>100. Eric pour cette décomposition sait donc que cela ne peut être que 53 et truc, et Daniel ne peut affirmer en 1ère réponse "je savais que tu ne pouvais trouver".
Autre manière : montrer que 51 ne vérifie pas
2) toute somme paire est exclue (accélération de la vérif grace à la "condition de borne") et ne vérifie pas la seconde condition
37 est premier, tout nombre pair >=40 est de la forme 43xtruc avec truc impair.
37xtruc=(37a)xb ne vérifie la condition de borne que si a=1 car sinon a étant impair comme tout diviseur d'un impair (truc) a>=3 et 37a>=111>100.
Si un nombre pair 10<=N<=40 n'est pas somme de deux premiers alors N-3, N-5 et N-7 sont non premiers (car 3, 5 et 7 le sont). Or si 10<=N<=40, on a 3<=N-7,N-5,N-3<=37<49=7² donc ces nombres ne sont pas premiers si et seulement si ils ne sont pas divisibles par 3 et 5, or parmi N-, N-5=(N-7)+2, N-3=(N-7)+4 un seul est un multiple de 3 et au plus un est multiple de 5. Donc tous ces N sont somme de deux premiers.
les décompositions en termes premiers 4=2+2, 6=3+3, 8=5+5 terminent de montrer le point 2.

La somme est donc impaire non égale à 2+premier (ne vérifie pas la seconde condition) mais le point 2 va permettre de montrer en plus ceci :
3) si les deux nombres sont de la forme m>1 et p premier impair alors Eric trouve après la 1ère réponse de Daniel (si cette décomposition vérifie la 2nde condition)
En effet, Eric hésite entre plusieurs décompositions (m>1) mais seules (2^m ; p) et (2^mp ;1) ne donnent pas une somme paire (exclue d'après le point 2) et la seconde décomposition ne vérifie pas la condition de borne (1 est exclu des nombres possibles)
Ex : 37=8+29=32+5 n'est pas solution (même si la borne était plus grande ou les nombres étaient données sans bornes)

4) P,4xtruc vérifie la 3ème condition (si elle vérifie la 2nde condition) si P est premier>=17
en effet on a Px2^mxi (i impair, m>=2), les seules recompositions donnant une somme impaire sont Pix(2^m) et ix(2^mP) la somme est supérieure dans les 2 cas à 3P+3>=54 et est impaire donc >=55 le point 1 les exclut. Il n'y a qu'une décomposition pouvant satisfaire la 2nde condition.
17, 29 sont congrus modulo 4 donc à partir de 33 les sommes S congrus à 1 modulo 4 sont exclues car soit ils ne vérifient pas la 2nde condition, soit la vérifient mais alors il y a ambiguïté pour Daniel au moins entre N=17+(N-17) et N=29+(N-29) (de plus le produit associé à 29=17+12 est un produit vérifiant la 2nde condition, 21=2+19, 25=2+23 ne vérifient pas la seconde condition)
19 et 23 sont congrus donc aucune solution donnant une somme congrue à 3 modulo 4 >=27.
Les impairs non somme de 2 premiers <=33 sont : 2+9=11, 2+15=17, 2+21=23, 2+25=27 (déjà exclu), 2+27=29
11=8+3=7+4 exclu
23=4+19=16+7 exclu
29=16+13=17+12(cf ci-dessus) exclu.
Il ne reste que 17, 17=4+13 on a un candidat pour la décomposition, il ne reste plus qu'à montrer que c'est le seul mais je m'arrêterai là (plus long à rédiger qu'à faire au brouillon)

[invite35452583]

Quelque chose doit m'échapper : est-ce que plus grand que 2 veut dire > 2 ou >= 2 ???

On peut reformuler ainsi () :
un homme dît à ses deux fils Eric et Daniel:
- Deux personnes ont plus de 2 ans et moins de 100 ans.
Cet homme écrit sur une feuille le produit des âges des deux personnes qu'il donne à Eric
et écrit sur une autre feuille la somme des ages des deux personnes, qu'il donne à Daniel.
Pouvez-vous me donner l'âge respectif de ces deux personnes leur demande t-il.?
Effectivement les deux fils ne se communiquent pas le résultat que leur père leur a donné.
Alors ils alors engagent une discussiion.
- Eric dit à son frère: Non, je ne peux pas trouver la solution.
- Daniel répond: Moi non plus, et je savais pertinemment que tu n'avais pas la réponse
- C'est bon, maintenant j'ai la solution reprend Eric.
- Et ben moi aussi rétorque Daniel.
Pouvez-vous trouver l'âge de ces deux personnes.?
Non pas encore remarque quelqu'un car j'aimeraiss que l'on précise "plus de deux ans signifie-t-il au moins deux ans ou strictement plus de deux ans ?"
OK, dans ce cas je ne le précise pas mais retrouver quand même un des deux ages.

[Médiat]

Non pas encore remarque quelqu'un car j'aimeraiss que l'on précise "plus de deux ans signifie-t-il au moins deux ans ou strictement plus de deux ans ?"
OK, dans ce cas je ne le précise pas mais retrouver quand même un des deux ages.

Le "problème" (le souci plutôt) c'est que prenant les mots en leur sens habituel en français, j'ai passé pas mal de temps à chercher des solutions avec des âges strictement plus grands que 2, pour rien puisque dans ce cas il n'y a pas de solution, donc quand j'ai appris qu'il fallait comprendre plus grand ou égal, je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête (cela m'a rappelé quelqu'un )...

[invite35452583]

Le "problème" (le souci plutôt) c'est que prenant les mots en leur sens habituel en français, j'ai passé pas mal de temps à chercher des solutions avec des âges strictement plus grands que 2, pour rien puisque dans ce cas il n'y a pas de solution, donc quand j'ai appris qu'il fallait comprendre plus grand ou égal, je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête (cela m'a rappelé quelqu'un )...

Moi, j'obtiens une solution pour le cas ">2" qui n'est évidemment pas (4,13).

 Cliquez pour afficher

1) Les sommes suivantes ne vérifient pas la seconde condition :
a) les nombres supérieures à 56, même argument avec 53+truc (55 est valide cette fois, l'obstruction 55=2+53 n'a plus lieu d'être)
b) les nombres pairs, le même argument est toujours valide
c) les nombres de la forme 4+premier, les seules recompositions arithmétiques du produit (4)(p) sont (2p)(2) et (1)(4p) qui ne sont pas admis ici
d) les nombres de la forme 3p avec p premier (à cause de 2p+p), (ce cas existait partiellement avant, si p²<100 une recomposition du produit (2p)p est possible)
2) tous les autres vérifent la seconde condition
Comme N est impair (car point b), les décompositions sont de la forme 2m+n avec n impair, , le produit (2m)n peut se recomposer en (2n)m sauf si 2n>99 (on a toujours 2n>2) (i) ou si m<3 (ii).
(i) on a alors n>=51 (n est impair) or 2m>=4 (car pair) et 2n+m<=55 (point a) il n'y a donc que le cas 55=2.2+51 (4)(51)=(12)(17) ce qui lève cet obstacle
(ii) pour une somme donnée, comme 2m>=3, il n'y a que m=2 càd il faut une décomposition pour (4)(N-4) autre que (2)(2(N-4)) càd N-4 doit être non premier, ce qui est le cas ici (point c)
Dans ce cas N-4=mn et 4(mn)=(4m)n. Il reste à vérifier les conditions de borne. Pour n, on a n impair, car mn=N-4 l'est, non égal à 1 donc n>=3, d'autre part n<N donc n<100. Pour 4m, on a m>=3 (même raison que n) donc 4m>2, maintenant si on prend le soin de prendre pour m le plus facteur premier de N-4, on a m²<=55 donc m<=7 et 4m<=28<100. La paire (4m;n) est distincte de (4,mn) 4m et 4 sont les pairs et sont distincts.
La paire (2n,m) est distincte de (2m,n) si m est distinct de n (2m est alors distinct de 2n et est toujours distinct de m).
Reste le cas où N=3p, si p=mn, avec m,n>2 (et même >=3 car sont impairs car N=3mn l'est) alors 3mn<=55 donc m²<=17 (si m=min(m,n)) m<=3 donc m=3. (2p)(p)=(2mn)(mn)=(2n)(m²n). On a 2n,m²n>=n>=m>=3>2 et 2n<=2mn<=N<=55, m²n=3mn+3p=N<=53 donc cette décomposition vérifie les conditions de borne. 2n est strictement plus petit que 2mn=6n et mn=3n donc les deux décompositions sont distinctes.
Ceci finit de caractériser les nombres vérifiant la seconde condition.

Maintenant, on cherche une somme S vérifiant la 2nde condition et telle que parmi les décompositions en somme S=m+n avec m,n>2 une et une seule vérifie que le produit associé mn n'a qu'une décomposition m'n'=mn telle que la somme associé m'+n' vérifie la seconde condition (celle-ci ne peut donc être que m,n).
Si une somme (sans nécessairement vérifier la 2nde condition) a au moins deux décompositions m+n telle que m'n'=mn, [m',n'} distinct de {m,n}=>m'+n' ne vérifie pas la seconde condition alors elle n'est pas solution.
Il en est ainsi des P+(2^n)ximpair (2^n>=4, P premier>=17), P<=17 sauf dans le cas 17+4x3 qui a une recomposition "impaire" en 17+3x4<=55) qui n'a que des recompositions "paires" (m' et n' paires donc m'+n' pair et ne vérifie pas la 2nde condition) et des recompositions du type Pxi'+(2^n)i" (avec i'>=3) qui vérifient Pxi'+(2^n)i">=17x3+4=55 (donc toutes >55 sauf celle évoquée).
Cela élimine les congrus à 1 modulo 4 dès 33 (17 et 29 sont premiers) et les congrus à 3 modulo 4 dès 27 (19 et 23 sont premiers).
Il en est aussi ainsi des (2^n)+p p premier car le produit (2^n)p n'admet qu'une seule décomposition (2^n, p) dont la somme associée est impaire.
Il reste possible à ce niveau les (4+impair non premier)<=30 : 4+9=13, 4+15=19, 4+21=25, 4+25=29,
13=8+5 (ce qui donne un premier produit possible) 13=10+3 (10x3=6x5 et c'est tout vu les conditions de borne, or 6+5=11=4+7 ne vérifie pas la 2nde condition) donc 13 est exclu.
19=16+3=8+11 donc 19 est exclu
25=8+17 25=6+19 (6x19=3x38 et c'est tout or 3+38=41=4+37 ne vérifie pas la 2nde condition) donc 25 est exclu.
Il ne reste plus que 29 qui est déjà égal à 16+13 dont on sait que c'est une solution possible. Il reste à montrer que c'est la seule, autrement dit que pour toutes les autres décompositions en somme de 29, le produit associé admet une autre décomposition en produit dont la somme associée vérifie la 2nde condition.
29=3+26 ; 3x26=6x13 6+13=19 (=4+15)
29=4+25 ; 4x25=20x5 20+5=25 (=4+21)
29=5+24 ; 5x24=3x40 3+40=43 (=4+39)
29=6+23 ; 6x23=3x46 3+46=49 (=4+45)
29=7+22 ; 7x22=11x14 11+14=25 (=4+21)
29=8+21 ; 8x21=7x24 7+24=31 (4+27)
29=9+20 ; 9x20=45x4 45+4=49 (=4+45)
29=10+19 ; 10x19=5x38 5+38=43 (=4+39)
29=11+18 ; 11x18=9x22 9+22=31 (=4+27)
29=12+17 ; 12x17=4x51 4+51=55 (=4+51)
29=13+16 solution
29=14+15 ; 14x15=7x30 7+30=37 (=4+33)

29 est donc l'unique solution, l'unique paire solution est {16,13}

Entre ce cas et l'autre, un nombre en commun : 13.

[Médiat]

Moi, j'obtiens une solution pour le cas ">2" qui n'est évidemment pas (4,13).

T'as gagné, je suis écoeuré .

Je dois te faire un aveu : je n'avais pas penser à une majoration de la somme aussi brutale

[invité576543]

Je dois avouer que je ne comprend pas trop le débat. L'énigme est vieille de pas mal d'années (je me la suis coltinée il y a peut-être 10 ans ou plus, merci O.M. qui se reconnaîtra peut-être, qui sait). Dès le début de ce fil il a été dit qu'elle était déjà apparue sur FS, et il suffisait de regarder ces discussions pour voir que 2 est inclus.

Ensuite, quand on me l'a posée il y a longtemps, il n'était pas question d'âge, et la majoration était 180 ou quelque chose comme ça. Je crois me rappeler avoir lu bien après qu'il est conjecturé qu'il n'y a qu'une seule solution quelle que soit la majoration (avec 2 inclus).

Ceci dit, l'extension avec une borne inférieure différente est intéressante. Mais alors autant pousser le bouchon, et regarder le nombre de solutions pour tout encadrement (n, m) les bornes étant incluses.

Cordialement,

[Médiat]

Je dois avouer que je ne comprend pas trop le débat.

C'est pas grave.

Dès le début de ce fil il a été dit qu'elle était déjà apparue sur FS, et il suffisait de regarder ces discussions pour voir que 2 est inclus.

C'est toujours plus simple de trouver la réponse quand on sait qu'il y a une question.

[invité576543]

C'est toujours plus simple de trouver la réponse quand on sait qu'il y a une question.

Je ne te suis pas, là. L'une des premières choses que j'essaye d'enseigner à mes jeunes est que tout énoncé (y compris en mathématiques) est ambigu, et que la première tâche avant de résoudre un exo est de choisir la bonne interprétation de l'énoncé. Ce choix se fait par tous les moyens du bord, et ici l'un des moyens était d'aller voir les autres discussions. Et ce choix n'est pas de nature mathématique, mais de nature humaine: il prend en compte le fait que c'est un humain qui a écrit l'énoncé, le cadre social dans lequel l'énoncé l'a été, etc.

Cordialement,

[Médiat]

Je ne te suis pas, là

C'est pas grave.

En français "plus grand" n'est pas ambigu, en tout cas moins que 100 n'est ambigu (en base 2, 6 ou 2549845 : ce n'est pas précisé).

[invité576543]

En français "plus grand" n'est pas ambigu.

C'est une vision de matheux, ça. L'autre vision est: en français, tout est ambigu!

Cordialement,

[Médiat]

C'est une vision de matheux, ça.

Après la condescendance, voila le mépris, c’est quoi la prochaine étape : l’insulte ?

[invité576543]

Après la condescendance, voila le mépris, c’est quoi la prochaine étape : l’insulte ?

Eh cool... Il n'y avait aucune intention de quoi que soit dans le genre.

Des énigmes discutées sur ce forum, il y a eu des tas. Discuter des ambigüités des énoncés se fait presque toujours en élargissant l'énoncé. C'est les réflexions comme "je n'étais plus motivé du tout sur ce casse-tête" que je ne comprend pas.

Je ne comprend pas l'intérêt de discuter le français alors qu'il est intéressant de distinguer l'énigme avec un bornage (3,100) en plus de l'étudier avec un bornage (2, 100). Si tu as cherché le cas (3, 100) et trouvé un résultat, c'est intéressant en soi-même, sans s'occuper de l'énoncé initial.

Cordialement,

[invité576543]

Une remarque, à titre d'excuse. Quand j'écris "Je ne comprend pas", il ne s'agit pas de rhétorique, comme les "c'est pas grave" peuvent laisser penser que c'est pris, mais d'information au premier degré. Je ne comprend pas tes réactions dans cette discussion, et la preuve même que je ne les comprend pas est que cela m'a amené à faire un impair, à écrire quelque chose dont je ne m'attendais pas à ce que ce soit mal pris.

Cordialement,

[invite421bc1da]

Je comprend rien...