La marche de la fourmi

[invite89cd7585]

J'ai pas tout suivi à la simulation informatique, mais j'ai cru comprendre qu'elles sont fausses. Du coup, je propose ma solution, basée sur ce que je sais des marches aléatoires (diffusion). Désolé, je maitrise pas l'écriture formelle...
J'appelle XN le vecteur position de la fourmi après le N-ieme pas. Selon l'axe x (horizontal), la coordonnée vaut somme de 1 à N des cos(Oi) où Oi désigne l'angle pris par la fourmi au i-ème pas. Selon y, c'est somme de 1 à N des sin(Oi).
Calculons X²=(Xx)²+(Xy)². En développant, on obtient :
X²=somme de 1 à N de cos(Oi)²+sin(Oi)²+somme des termes croisés.
On calcule <X²>, la valeur moyenne de X². Comme les pas sont indépendants (la fourmi n'a pas de mémoire) et que cos et sin sont de moyenne nulle, eh bah <termes croisés>=0. D'autre part, cos²+sin²=1.
D'où <X²>=N. On retrouve une relation habituelle de diffusion avec un coefficient de diffusion égal à 1 dans les unités choisies.
Du coup, l'éloignement moyen à l'origine après N pas vaut racine de N.
Au bout de combien de pas a t'on parcouru 1,5 m en moyenne? Au bout de (1,5)² pas. Soit 2,25 pas.
Je suis assez convaincu par mon raisonnement. Et vous?
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[invite7553e94d]

Ton calcul tien la route il me semble.
Mais pour ma part, je m'intéressait plutôt à la probabilité pour qu'au n-ième pas, la fourmi sorte du disque pour la première fois, calcul que j'ai finalement abandonné :/
Si tu peux nous en dire plus ...

[invite89cd7585]

J'aurais tendance à penser que c'est la même chose, mais je sais pas comment le montrer. J'ai assez peu de notions mathématiques en probabilités.
Mais en gros, ce que mon calcul veut dire, c'est que la probabilité de présence de la fourmi diffuse à partir de l'origine.
Du coup, tu dois pouvoir utiliser la formule concentration en fonction du temps pour l'équation de diffusion de la concentration, en considérant que la concentration est la densité de probabilité de présence et que le temps est le nombre moyen de pas, puis intégrer. Mais cette formule étant fausse pour les pas petits, ça doit te donner seulement une approximation du temps.

[invite35452583]

J'ai pas tout suivi à la simulation informatique, mais j'ai cru comprendre qu'elles sont fausses.

Celles que j'ai proposées concordent entre simulations "directes" et approximation de la densité de répartition de la fourmi à chaque étape (cf partie "résultats en %"), sauf preuve du contraire.
Ce qui n'a pas encore été réussie c'est un calcul exact, sauf pour le taux de sortie en deux pas pour laquelle les simulations concordent.
Pour moi tu fais la même erreur que j'ai reprochée à prgasp77, ton calcul est faussée par le fait que la fourmi une fois sortie le processus est fini. Ceci implique quoi comme différence entre le problème initial et ton calcul de <X²>, à partir du 2ème pas tu tiens encore compte de tous les cas où la fourmi est à une distance>1,5 ce qui augmente artificiellement <X²>.
Ensuite on a éloignement après n pas = On doit donc intégrer ceci et éloignement moyen est de la forme ce qui tout d'un coup devient .
Ensuite je ne vois aucun lien direct (forte influence oui : si les pas ont une longueur de 0,1 au lieu de 1 ça va prendre plus de temps c'est sûr) entre un éloignement moyen et l'étape moyenne de la 1ère sortie.

[invite89cd7585]

Autant le dire tout de suite, je n'ai rien compris (j'ai été bien trop effrayé) aux simulations numériques. Si tu me dis qu'elles sont correctes et qu'en plus elles ne sont pas d'accord avec ce que je trouve, bah je suis tout déçu, mais j'ai moins confiance en mon calcul qu'en ton expérience.
Néanmoins, juste pour me défendre un peu : mon calcul te donne l'écart type de la distribution de distance à l'origine, en faisant une moyenne sur tous les chemins possibles de N pas (ce n'est donc pas l'éloignement moyen, mais plutôt un éloignement typique, au temps pour moi, d'où ton indignation sur l'intégrale et la racine). Et il est correct. Mais vu tes résultats, mon interprétation doit être fausse.
Le lien que je vois entre éloignement moyen (plutôt typique comme je l'ai admis) et étape moyenne de la 1ère sortie est le suivant : l'éloignement typique S est la distance pour laquelle t'as autant de poids statistique pour les positions supérieures à S qu'inférieures. Les positions supérieures à S contribuant à des pas inférieurs au pas moyen et celles supérieures à S à des pas supérieurs au pas moyen. Du coup, le nombre de pas moyen pour dépasser une certaine position (ce qu'on cherche) est le nombre de pas nécessaire pour amener l'éloignement typique à cette position (ce que j'ai calculé).
Mais comme je n'arrive pas à le formaliser...

[invite35452583]

mon calcul te donne l'écart type de la distribution de distance à l'origine, en faisant une moyenne sur tous les chemins possibles de N pas (ce n'est donc pas l'éloignement moyen, mais plutôt un éloignement typique

Oui, c'est un éloignement typique.

Le lien que je vois entre éloignement moyen (plutôt typique comme je l'ai admis) et étape moyenne de la 1ère sortie est le suivant : l'éloignement typique S est la distance pour laquelle t'as autant de poids statistique pour les positions supérieures à S qu'inférieures. Les positions supérieures à S contribuant à des pas inférieurs au pas moyen et celles supérieures à S à des pas supérieurs au pas moyen.

C'est pour cela que j'ai parlé de "forte influence", intuitivement on sent que l'ordre de grandeur sera respecté. Si en prenant des trajets de fourmi de 0,1 au lieu de 1, le calcul en X² donne 150²=22500 si un autre calcul donnait par exemple 6124 ou 77236, une énorme méfiance devrait alors lui être portée.

[invite89cd7585]

Ah ah!! Mon auto-estime vient de remonter d'un cran! Effectivement, l'éloignement typique est UN éloignement typique, mais en utilisant le théorème dit "théorème Pi", on voit que toutes les autres distances lui sont proportionnelles.
De même, tous les nombres de pas que tu peux construire sont proportionnels au nombre de pas que j'ai trouvé. Du coup, le vrai nombre de pas moyen que l'on cherche est proportionnel au rayon du cercle au carré.
Or, si le rayon valait 1m, le nombre de pas moyen nécessaire à sortir serait 1. Donc le coefficient de proportionnalité vaut 1.
Du coup, il faut bien 2,25 pas en moyenne pour sortir.

[Médiat]

Du coup, il faut bien 2,25 pas en moyenne pour sortir.

Quelques remarques :

1. Ce n'est pas conforme à la simulation numérique.
2. Cela voudrait dire que le retour dans le cercle n'aurait aucun impact sur le calcul, ce qui me paraît impossible.
3. Avec un rayon de 1.1 tu trouverais 1, 21 pas, alors que le bon résultat est forcément supérieur à 2.

[invite89cd7585]

Quelques réponses du coup:
-les simulations numériques sur des marches aléatoires ont tendance à converger très lentement. Comme je suis une feignasse, j'aurais tendance à espérer que c'est le cas pour les résultats qui me contredisent
-je vois rien à répondre, ça doit être pour ça que je suis forcé de faire la remarque d'après...
-fichtre, j'aurais quand même pu avoir le courage d'essayer cette limite... Je suis bien triste du coup. Si quelqu'un voit où je me suis planté dans mon raisonnement je lui en serai bien reconnaissant. Et il manque un smiley qui pleure.

[Médiat]

Si quelqu'un voit où je me suis planté dans mon raisonnement je lui en serai bien reconnaissant. Et il manque un smiley qui pleure.

Le problème est bien celui évoqué par homotopie, une fois sorti du cercle, on n'y revient pas.

[invite89cd7585]

Surement, mais il n'y a pas que ça. Si ce n'était que ça, mon calcul surestimerait le nombre de pas moyen en prenant en compte des valeurs de pas trop grandes du au fait que c'est la seconde fois qu'il passe le cercle.
Or, pour un rayon allant de 1 à racine de 2 (au moins), je sous-estime le nombre de pas moyen. Il doit y avoir un problème de non-discrétisation dans mon calcul. Mais je vois pas où.

[invite986312212]

bonsoir.

ce sujet aurait peut-être sa place dans la section maths.

je pense que le calcul d'espérance de Tizoo est correct, mais que la conclusion qu'il en tire l'est moins. Pas tant à cause de l'inversion entre racine carrée et intégrale. Dire que la distance est plus grande que 1.5 ou bien que le carré de ladite distance est plus grand que le carré de 1.5 c'est kif kif. Le problème c'est que l'événement étudié n'est pas ||Sn||>1.5 (si Sn est la position de la fourmi au pas n) mais bien max||Sn||>1.5 où le maximum est à prendre entre S1,S2,...,Sn. C'est donc la loi de max||Sn|| qu'il faut calculer.

[invite89cd7585]

Mince, si je m'étais rendu compte que c'était des maths, je me serais abstenu

[invite35452583]

Surement, mais il n'y a pas que ça. Si ce n'était que ça, mon calcul surestimerait le nombre de pas moyen en prenant en compte des valeurs de pas trop grandes du au fait que c'est la seconde fois qu'il passe le cercle.

Quelles sont les différences entre le calcul de l'éloignement moyen et le calcul du pas de 1ère sortie :
1) dans le calcul d'éloignement moyen on tient compte des fourmis qui ont fait marche arrière malgré une sortie (elles ont donc diminuer à un moment leur éloignement)
2) on tient compte entièrement de l'éloignement des fourmis sorties et non du seul critère >1,5
Qui influe le plus ?
A remarquer qu'à chaque moment les fourmis ont une plus grande probabilité d'augmenter leur éloignement que le diminuer. En effet, plaçons nous en un point A et traçons la perpendiculaire au rayon (celle-ci coupe en 2 le cercle unité autour de A). Maintenant, les points sur le cercle unité qui diminuent l'éloignement sont ceux qui sont dans le cercle centré à l'origine et passant par A, ceux-ci sont tous dans une même moitié du cercle (sans occuper toute la place de cette moitié). Au plus on est éloigné au plus cet écart se réduit, il est vrai (à l'infini c'est même équiprobable).
C'est donc le 2) qui est prépondérant et donc la vitesse moyenne surestime le temps de sortie.
Reprenons l'exemple de Médiat en modifiant un peu : la fourmi est considérée comme sorti si l'éloignement est >1 (égal ne suffit pas). Pratique car les premiers pas sont faciles à "voir".
1er pas : toutes les fourmis sont à une distance=1
2ème pas : elles ont toutes sur un cercle unité autour de leur deuxième point, moyenne calculée par Pythagore (les fourmis se répartissent symétriquement autour de la perpendiculaire au rayon) ou ta méthode, éloignement moyen=
Maintenant, on a 1/3 à l'intérieur et 2/3 sortis. L'éloignement moyen a augmenté entre les pas 1 et 2 mais la probabilité de sortie des fourmis encore dans le disque, les seules qui nous intéressent désormais, a diminuée (leur éloignement ayant diminué).
De manière plus figurée, on ne peut pas appliquer la vitesse moyenne du "troupeau" aux plus lentes (à s'éloigner). La vitesse d'une troupe d'un enclos ne se calcule pas en tenant compte des plus pressés à se dégourdir les jambes mais en fonction des plus récalcitrants à sortir. Qu'un membre de la troupe ait déjà galopé 3 kilomètres dans une direction n'influe pas sur la "volonté" de sortir des autres.