Pavage du plan

[invite2220c077]

Est-il possible de recouvrir le plan par des cercles de sorte que par tout point passent exactement 1988 de ces cercles ?
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[invité576543]

Oui, l'ensemble de cercles indexé par (Z/1988Z, R+) tel que le cercle d'index (n, r) soit ait pour centre O et pour rayon r.

En d'autres termes, l'énoncé n'est peut-être pas bien retranscrit

Cordialement,

[invite2220c077]

Bah, je l'ai recopié tel quel Cet exo est tiré du Tournoi des Villes 1988

[invité576543]

OK, alors ajoutons "cercles distincts" pour éviter les réponses comme la mienne...

Si c'est le tournoi des villes, la réponse ne doit pas demander des outils mathématique de très gros calibre...

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Ah oui d'accord.

La solution que j'ai devant mes yeux est en effet très élémentaire, donc oui, peu d'outils sont nécessaires.

Bon courage.

[invite35452583]

Une solution tout aussi triviale est :
on considère 1988 points distincts O_i et les 1988 familles des cercles de rayon dans R⁺ centrés en ces points.
Si on élimine les cercles non réduits à un point ça doit être plus cocasse.

[invité576543]

Si on exclut les cercles de rayon nul, peut-on paver le plan avec des cercles disjoints? Il me semble que non. (Les intérieurs des disques sont nécessairement ordonnables par l'inclusion, et l'intersection de ces intérieurs est non vide, qq chose comme ça... Mais c'est de l'artillerie trop lourde pour le tournoi des villes de toute manière.)

La question n'est peut-être qu'un cas particulier de la question de paver le plan avec des cercles de rayon non nul de manière à qu'en tout point passent un nombre constant de cercles.

La démo m'échappe, et ça m'agace!

Cordialement,

[Médiat]

Si on exclut les cercles de rayon nul, peut-on paver le plan avec des cercles disjoints?

Déjà posté sur un autre fil :

Admettons qu'une telle famille de cercles existe, soit l'un d'entre eux de centre et de rayon , comme ce cercle n'est pas de rayon 0, il ne passe pas par son centre, il existe donc un autre cercle de la même famille passant par et entièrement inclus dans , de centre et de rayon (etc.). Il me semble que le point limite de (facile de montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy) n'est pas atteint sauf par un cercle dont le rayon ne peut être que 0 (la limite des ), ce qui est exlus par l'énoncé.