Enigme des prisonniers

[drwriggles]

A la fin de mon année de terminale, en philo, alors que nous n'étions plus qu'une dixaine en cours( ), notre prof nous a donné cette enigme que nous avons mis 1h1/2 à résourdre.

Un directeur de prison convoque 3 prisonniers à perpétuité.
Il leur propose une épreuve:
-il leurs montre 5 jetons: 2 blancs et 3 noirs.
Il leurs attache un jeton à chacun dans le dos et les enfermes dans une piece. Chaque prisonnier ne voit QUE les jetons des 2 autres prisonniers.
Le directeur leurs a mis 1 jeton noir à chacun
Le premier qui trouvera avec certitude la couleur de son jeton sera libéré...
Dans la salle, c'est chacun pour soit: les prisonniers ne parlent pas ntre eux !!!

Il éxiste une metode qui permet à un prisonnier de savoir avec certitude la couleur de son jeton en sachant qu'il voit 2 jetons noirs. Laquelle???

AIDE: Le raisonnement est CERTAIN mais si tot qu'un prisonier sort: Le raisonement s'écroule!!!!!!!!!!
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[magmatic_rock]

Un des prisonnier tue un autre prisonnier alors il en reste plus qu'un et lui dit tu vois ce que je viens de faire alors dit moi ma couleur sinon il t'arrivera la meme chose!
le prisonnier ayant trop peur lui dit qu'elle est la couleur de son jeton!!

[invite37a56d45]

Avec un peu de chance l'un d'eux est contorsioniste, ou bien il y a des miroirs dans la salle, ou bien ...j'en sais rien ?
C'est quoi ?

Déjà, chaque prisonnier sait le nombre de chance qu'il a d'avoir chaque couleur:
2 chances d'avoir un blanc et une d'avoir un noir ...ça avance pas à grand chose mais bon.

[yat]

Une chose qui est certaine, c'est qu'un prisonnier qui voit deux jetons blancs va savoir que son jeton est noir.

Du coup, si un prisonnier A voit un jeton blanc sur un prisonnier B et un jeton noir sur un prisonnier C, alors il sait que C voit soit deux blancs soit un blanc et un noir. Dans le premier cas, C s'empressera donc de dire qu'il porte un jeton noir et gagnera. Si au bout de quelques secondes (à évaluer en fonction de la vivacité d'esprit présumée de C), C n'a toujours rien dit, A saura qu'il porte un jeton noir.
Mais il devra répondre vite quand même, parce que dans ce cas, C est dans la même situation que lui. A devra donc laisser le temps à C de se rendre compte que s'il voit deux jetons blancs il porte un noir, mais pas suffisamment de temps pour faire son propre raisonnement.

Plaçons nous enfin dans la situation d'un prisonnier qui voit deux jetons noirs. Il y a donc deux possibilités : Dans le premier cas il porte un jeton blanc, et il se trouve dans la situation de B du paragraphe précédent. Au bout d'un temps de réflexion minimum, l'un des deux autres va donc parler.
Dans le deuxième cas, il porte un jeton noir. Dans la solution que je te soupçonne d'attendre, on va donc supposer qu'au bout d'un certain temps, si les deux autres n'ont pas parlé, il saura qu'on n'est pas dans la situation du paragraphe précédent, et pourra donc affirmer qu'il a un jeton noir.

Le problème, c'est que c'est la même chose pour tout le monde. Le tout ici est une question d'attente et il faut juger le temps de réflexion des deux autres joueurs. Si tu vois deux jetons noirs, tant que personne n'a rien dit, ça peut très bien vouloir dire que les deux autres joueurs sont trop benêts pour avoir eu le temps de faire le raisonnement du deuxième paragraphe. Et si l'un des deux autres n'est pas si benêt que ça, il peut très bien te devancer.

En gros, ma conclusion est que le seul moyen de connaitre avec certitude la couleur de son jeton, c'est d'attendre qu'un autre joueur parle, et encore...

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Non ! C'a y'est, je pense que j'ai trouvé quand même !

La stratégie est de se mettre face au mur et de fermer les yeux ! On prive alors les deux autres prisonniers d'une information cruciale. Si tout le monde a un jeton noir, chacun des deux autres prisonniers voit deux jetons noirs, mais le seul moyen qu'il aurait pour savoir si lui-même porte un jeton blanc, ça serait de se baser sur le raisonnement de mon précédent post. Mais comme on ne voit pas les autres jetons, on ne peut pas parler, et donc pas éliminer l'hypothèse des 2 blancs + 1 noir.

Du coup, on peut tranquillement attendre une heure le temps que les deux benêts aient eu le temps de faire leurs raisonnements, et plus on leur laisse de temps, plus on peut être sur que notre pion est noir.

Hum... mais là encore, rien n'empêche un autre prisonnier de faire de même.

[inviteed589665]

ou alors on demande juste à un des 2 autres si notre jeton est de la même couleur que le troisième et on peut tout de suite deviner. Qu'en pensez-vous?

[BioBen]

ou alors on demande juste à un des 2 autres si notre jeton est de la même couleur que le troisième et on peut tout de suite deviner. Qu'en pensez-vous?

Moi je pense que t'as mal lu l'énoncé :

Dans la salle, c'est chacun pour soit: les prisonniers ne parlent pas ntre eux !!!

[invitef812291e]

AIDE: Le raisonnement est CERTAIN mais si tot qu'un prisonier sort: Le raisonement s'écroule!!!!!!!!!!

Sa veut dire que la technique ne peut pas marcher pour deux prisonnier ?

[invite9c7f9ec6]

bha si les prisonniers se regarde mutuellement, chaqun voyant un jeton noir, il ont forcement la trouille de se tromper, alors ils se regarde bien, et l'un va forcement s'apercevoir que ya un truc louche si ils on tous peur, qu'ils ont tous le meme jeton,
et voila c t pas dur.

Donne nous le reponse steu plai

[yat]

Sa veut dire que la technique ne peut pas marcher pour deux prisonnier ?

Bah de toutes façons, dans la mesure ou tout le monde a la même couleur, un raisonnement qui fonctionne pour un des prisonniers fonctionnera aussi pour les deux autres. Donc y a pas de secret, une fois le bon raisonnement effectué, il faut être plus rapide que les deux autres. Et il faut aussi espérer que les deux autres ne soient pas trop stupides (sans quoi ils peuvent très bien se taire alors qu'on a un jeton blanc).

[invite0d2922ee]

Un des prisonnier tue un autre prisonnier alors il en reste plus qu'un et lui dit tu vois ce que je viens de faire alors dit moi ma couleur sinon il t'arrivera la meme chose!

Ouais sa peut marcher.
Mais si le gars menacé est un peu malin, il dit à l'autre que son jeton est blanc, l'autre s'en va ,sur de lui comme un caïde arrogant et... boum c'est l'autre qui est libéré !
Mouahaha c'est trop bien cette énigme...j'y arrive pas quand même...

[invite9c7f9ec6]

La reponse se fait attendre, c'est dommage, c'est une enigme interressante.

[drwriggles]

La "bonne réponse" a été donnée par Yat (3e message).... mais je vous rappelle que cette enigme avait été étudiée en philo.... donc on a eu un cours d'une heure dessu apres...

En effet on ne peut nier que la solution est sure à 100% mais elle dépend des autre.... comment une soltion certaine peut elle dépendre de quelque chose???

voila... à vous d'en débatre...

[drwriggles]

Je remet le solution au cas ou...

Le prisonnier 1 voit 2 jetons noirs.

Il se dit que si il avait un jeton blanc, le prisonnier 2 verrai un jeton blanc et un noir.

Donc le prisonnier 2 penserai que si il (le prisonnier 2) avait un jeton blanc , alors le prisonnier 3 verrai 2 blanc et sortirai car il saurrai qu'il a un jeton blanc (il y a 2jeton blancs et 3 noirs)

Donc le prisonnier 1 sait que il a un noir car le P2 et le P3 ne sont pas sortis.

[invite48c8c396]

Je remet le solution au cas ou...

Le prisonnier 1 voit 2 jetons noirs.

Il se dit que si il avait un jeton blanc, le prisonnier 2 verrai un jeton blanc et un noir.

Donc le prisonnier 2 penserai que si il (le prisonnier 2) avait un jeton blanc , alors le prisonnier 3 verrai 2 blanc et sortirai car il saurrai qu'il a un jeton noir (il y a 2jeton blancs et 3 noirs)

Donc le prisonnier 1 sait que il a un noir car le P2 et le P3 ne sont pas sortis.

Je corrige !
Bon, c'est tordu quand même ...

[inviteca91c546]

soit P3 voit N et N, donc il n'est pas sur et ne sort pas
soit P3 voit N et B, donc il n'est pas sur et ne sort pas

Comme P3 ne sort pas, P3 voit soit N et N, soit N et B (sur P1 et P2)
C'est ce que P1 et P2 savent...

Or P2 à un N, donc P1 à soit N soit B (proba. de 0.5)

P2 voit donc soit B et N ou N et N (puisqu'il ne sort pas...) P1 (soit N ou B) et P3 (soit N soit B), or P1 voit voit que P3 à N, donc P1 pourrai avoir soit N soir B... (on a pas avancé...)


Où est le problème?

[illouca]

la solution par l'absurde d'après drwriggles


Le prisonnier 1 voit 2 jetons noirs.

Il se dit que si il avait un jeton blanc, le prisonnier 2 verrai un jeton blanc et un noir.

Donc le prisonnier 2 penserai que si il (le prisonnier 2) avait un jeton blanc , alors le prisonnier 3 verrai 2 blanc et sortirai car il saurrai qu'il a un jeton noir (il y a 2jeton blancs et 3 noirs)

Donc le prisonnier 1 sait que il a un noir car le P2 et le P3 ne sont pas sortis.

mais si chaque prisonnier suppose que les 2 autres prisonniers font ce même raisonnement, en même temps, que se passe-t-il ?
je dis qu'il se regarderait droit dans les yeux et auraient des doutes sur leur propre raisonnement..

Impossible d'être sûr de son raisonnement par un autre raisonnement, faut négliger, nier ces erreurs pour obtenir la certitude.

[Evil.Saien]

Il se peut aussi qu'un des prisoniers feinte les autres !
Imaginons le cas ou il y a 2 blancs et 1 noir... Ceux qui ont les blancs ne peuvent pas savoir ce qu'ils ont tant que celui qui a le noir n'a rien manifesté, ou alors pensent avoir un noir, ce qui est faux !
Or, il est bien spécifié que c'est le premier qui trouve la couleur de son jeton qui est libéré, et non le premier qui parle ! Peut etre que le 3ème prisonier veut faire durer le plaisir (et par la meme la peine de ses collègues)

[invitec31373f9]

Est ce qu'il n'existerait pas de lumière dans cette salle????lool

Moi je dit qu'il n'y a pas de solutions et les 3 prisonniers resteront en prison..car en effet comment une solution CERTAINE peut elle dépendre de quelque chose??Ce serait la un paradoxe si je peut dire ainsi..
La seule solution qui serait teangible serai t d'un point de vue psychologique, se sera le prisonnier le plus patient et le plus observateur qui trouvera la couleur de son jeton.

A partir d'un certain moment les prisonniers n'en pouvant plus tentent la corruption..Il suffit de les denoncer et pour cet acte vous sortez (autre solution) mdr..

ou alors le prisonnier retire le jeton de son dos et le regarde...

Aller vraiment donnez moi la vrai solution
Merci

[invité576543]

Bonsoir,

Le premier qui trouvera avec certitude la couleur de son jeton sera libéré...

Un premier point est ce critère est impossible à mettre en pratique. Il n'y a aucune manière pour le directeur de prison de savoir si un prisonnier qui propose une réponse le fait avec certitude. Au mieux, il peut fixer des cas a priori.

Donc il suffit seulement de donner la bonne réponse pour être libéré, la certitude n'a rien à faire dans l'histoire!

Un deuxième point est qu'il n'est pas indiqué ce qu'il se passe en cas de mauvaise réponse, ou pour ceux qui n'ont pas proposé de réponse lors qu'un des autres réussit.

Selon que un seul est libéré, ou tous ceux qui répondent correctement ou même tous libérés si premier répond correctement, la stratégie n'est pas la même.

Prenons un cas extrême, seul le premier qui répond peut être libéré, et cela uniquement s'il répond correctement; s'il répond incorrectement, statu quo. Alors la meilleure stratégie est de répondre immédiatement "je sais", que l'on sache ou non!

Cas plus vicieux, la peine est augmentée si on répond incorrectement, ou si on répond correctement mais dans un cas où le directeur considère qu'il n'y a pas certitude (à définir, par exemple il accepte seulement (N)BB, (N)NN et (N)BN entre parenthèse la réponse du prisonnier). Dans ce cas il faut pondérer le risque, s'il est faible répondre "je sais" tout de suite (et dire Noir!), s'il est trop élevé répondre uniquement en cas de BB.

La véritable clé du problème est le comportement supposé d'un prisonnier voyant blanc et blanc. Le raisonnement simpliste est que la meilleure stratégie est de donner la réponse tout de suite. Que nenni! Ce n'est pas nécessairement le cas s'il aura le loisir de répondre même si un autre a répondu avant.

Si tous les prisonniers répondant correctement sont libérés, un prisonnier qui voit blanc et blanc ne peut pas perdre. Il va donc choisir le moment de répondre selon d'autres critères, coopération ou non, en particulier.

Si seul le prisonnier répondant correctement le premier est libéré, alors la stratégie consistant à ce qu'un autre prisonnier réponde avant n'est perdante que s'il répond juste. Or, si celui qui voit BB attend, un autre prisonnier choisissant de répondre va vraisemblablement dire Noir, et perdre. Un prisonnier non coopératif voyant BB peut considérer cela comme un gain.

Moralité 1: la notion de certitude est invérifiable, parce que l'information clé est la stratégie des autres et qu'il est impossible d'avoir une quelconque certitude sur ce qu'ils vont faire.

Moralité 2: C'est essentiellement un problème de stratégie, simple ou un de coopération/non coopération, selon les enjeux exacts, qui ne sont pas donnés dans l'énoncé.

Moralité 3: Se triturer la gamberge sur la notion de "certitude" est moins efficace que de raisonner en termes de décision et de théorie des jeux...

J'aurais été intéressé à comprendre ce que le prof de philo attendait comme "résolution" du problème...

Cordialement,

[invite56e904f7]

puisque ils sont condamnés à perpituité il ne sortiront pas