A dormir debout!!!

[invité576543]

Bonjour,

Je pense que le total est la somme de 4 termes assez indépendants, termes correspondants d'une part à l'orientation de l'hypothénuse (parallèle ou à 45° de l'hypothénuse du grand triangle) et d'autre part à l'orientation de la pointe.

Prenons les triangles de même orientation que le grand:



Facile d'inférer la formule générale...

Les triangles d'hypothénuse parallèle mais d'orientation opposée:


Pas beaucoup plus dur... Mais on voit apparaître une distinction entre pair et impair. C'est la modification à apporter à l'approche de Sunnysky.

Les triangles d'hypothénuse parallèle au côté, pointe vers l'hypothénuse du grand (la moitié, par symétrie il y en a autant dans une orientation que dans l'autre)



Enfin, les triangles d'hypothénuse parallèle au côté, pointe opposé à l'hypothénuse du grand (la moitié encore, par symétrie il y en a autant dans une orientation que dans l'autre)



Yapluka exprimer les 4 séries et en faire la somme (avec le facteur 2 pour les deux dernières...)

Cordialement,
-----

[invité576543]

Re-bjr,

J'ai oublié les cas hypothénuse perpendiculaire à l'hypothénuse du grand, ce qui rajoute un cinquième terme...

Et le dernier tableau du message précédent est incorrect... Ca a l'air d'être le moins simple, en fait...

Cordialement,

[invité576543]

Reprenons les triangles d'hypothénuse parallèle au côté, pointe opposé à l'hypothénuse du grand



En continuant, on se rend compte que cela fait intervenir le modulo 3. En effet, pour qu'un triangle d'hypothénuse parallèle au côté, d'hypothénuse de longueur k et pointe vers le côté, tienne dans un triangle de taille n, il faut que 3k inférieur ou égal à 2n.

La colonne correspondant à la taille k fois rac(2)/2 (hypothénuse k) est toujours 1 3 6 10 ... (les nombres triangulaires) mais commence au premier n tel que 3k inférieur ou égal à 2n.

----

Au final, on a des termes ne dépendant d'aucun modulo, des termes dépendant du modulo 2 et un terme dépendant du modulo 3. Donc le total dépend du modulo 6. Pas étonnant qu'il soit difficile d'inférer une loi pour le total à partir des premiers termes...

Cordialement,

[invitef34185c4]

4308 non ?

[invite36e4dbaa]

Bonjour,
Félicitations à ceux qui calculent, j'admire.
Mais de grâce voulez-vous bien écrire hypoténuse et non pas "thé".
Je sais,c'est petit par rapport au sujet, mais quel dommage de voir les gros cerveaux du site faire cette erreur.

L'étude étymologique des termes comme hypothèse ou hypoténuse est d'ailleurs des plus intéressantes.

[invite421bc1da]

Lol c'est si génant?

[invité576543]

Bonjour,
Félicitations à ceux qui calculent, j'admire.
Mais de grâce voulez-vous bien écrire hypoténuse et non pas "thé".
Je sais,c'est petit par rapport au sujet, mais quel dommage de voir les gros cerveaux du site faire cette erreur.

L'étude étymologique des termes comme hypothèse ou hypoténuse est d'ailleurs des plus intéressantes.

J'essaierai de m'en souvenir! L'orthographe n'est pas mon fort (et son respect me coûte une partie significative du temps sur FS!), et le mot n'est pas dans le correcteur orthographique que j'utilise, ...

Cordialement,

[invitef34185c4]

4308.
Again !

Il faut :
Calculer le nombre de demi-case possible pour chaque largeur de case.
Par exemple pour une largeur de 9 ça donne :
(8*9)/2=36 semi-case
Ce qui donne respectivement pour des coté de 1 à 16, la suite suivante :
136,120,105,91,78,66,55,45,36, 28,21,15,10,6,3,1


Calculer le nombre de carrés complets dans l'aire de la figure pour chaque largeur de carré égale ou inférieure à 16/2 (car supérieur à 9, ça rentre pas)
Par exemple pour 7 ça donne :
(16+1)-(7*2)=3
3 est le nombre de case de 7 possible en largeur, avant de buter contre le diagonale.

Nombre de case de largeur 7:
(3*4)/2=6
Donc 6 cases de coté 7 possibles dans une aire de 16
Ce qui donne la suite suivante pour des coté de 1 à 8
120,91,66,45,28,15,6,1

En multipliant cette suite par 8 on obtient déjà le nombre d'isocèle pour chaque taille de case entrant dans l'air.
Reste à y ajouter les demi-case de la diagonale, pour ça on se sert du nombre de demi-case totale caculé plus haut.

nombre de demi case - nombre de case complete = demi-case de la diagonale
Pour 5 par exemple :
78-28=50
Ce qui donne pour les cases de coté 1 à 8 (au-delà on a déjà le nombre de demi-case totale et il n'y a pas de case complète):
16,29,39,46,50,51,49,44
et donc
36,28,21,15,10,6,3,1 demi-case pour 9 à 16

Ne reste plus qu'a multiplié le nombre de cases completes par 8
et le nombre de demi-case par 3
ce qui donne 4308

Je ne sais pas si c'est ce que tu attendais Saladin.
Je pense que mon résultat est juste.
J'ai pas les compétence pour en faire ue formule applicable a des variable, mais ça semble possible.
Avec peut être un problème pour un isocèle de base ayant pour unité un chiffre impaire.

[invite8a80e525]

Bonjour,

je trouve 4314

on peut considérer que c'est presque comme Partage!

j'ai fait les formules suivantes.
x est la longueur du grand triangle (ici on a 16)

Pour les triangles dont l'hypoténuse est horizontale

soit la longueur de l'hypoténuse des triangles considérés
soit le nombre de triangles dont la pointe est vers le haut et dont la longueur de l'hypoténuse est


là ça se complique:
si est impair


si est pair


Le nombre total de triangles à hypoténuse horizontale est




Pour les triangles à l'hypoténuse oblique

soit la longueur des cotés adjacents des triangles considérés

j'ai pas de petit dessin de triangles, donc

L\ correspond à 1
_
\l correspond à 2
_
l/ correspond à 3







et bien sûr



j'ai appliqué ces formules et trouvé 4314
je vous met après mon application numérique...

[invité576543]

J'obtiens un nombre différent. J'ai très bien pu me tromper quelque part...


Somme des n premiers triangulaires non nuls: S_n = n(n+1)(n+2)/6


a) Même orientation que le grand:

1+3+6+10+ ... + 120 = S₁₆ = 816

b) Hypoténuse // à celle du grand, orientation opposée

1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 = 252

(un triangulaire sur 2)

c) hypoténuse parallèle au côté, pointe vers l'hypoténuse du grand

2S₁₅ = 2 x 680

d) hypothénuse perpendiculaire à l'hypothénuse du grand

2 x 252

(un triangulaire sur 2)

e) hypoténuse parallèle au côté, pointe opposé à l'hypoténuse du grand

2( 3 + 6 + 15 + 21 + 36 + 45 + 66 + 78 + 105) = 2 x 375

(2 triangulaires sur 3)

----------

Soit au total

816 + 252 + 1360 + 504 + 750 = 3682


Cordialement,

[invite8a80e525]

voilà mon application numérique:








(j'ai posé et pour faire les impairs et pairs)

[invite8a80e525]

Partage,

j'ai regardé ta méthode,
en gros c'est la même que moi,

je pense qu'on peut se débrouiller pour tomber sur le même résultat
(j'ai peut être fait une erreur, faut que je regarde....)

[invitef34185c4]

Impressionantes vos formules.

Si vous les testez avec des triangles de 2, 4, 6 ou 8 unités par exemple, qu'obtenez vous ?

De mon coté j'ai bricolé une usine à gaz avec excell 8)
Ca ne marche pas avec les impairs, mais ça me renvoit :
2 unités => 17 triangles
4 unités => 95 triangles
6 unités => 278 triangles
8 unités => 610 triangles
etc...
80 unités => 482980 triangles.

Facile de vérifier pour les 17.

[invité576543]

Je ne pense pas que les formules de Forhaia puissent être correctes, parce qu'elles ne font pas intervenir le modulo 3 (il y a bien la parité, par contre).

Or j'ai beau regardé en tout sens (et j'en ai indiqué la raison profonde), le décompte des triangles d'hypoténuse parallèle à un côté du grand et pointant vers ledit côté fait intervenir un modulo 3.

On pourrait peut-être concentrer la discussions juste sur ces triangles-là? Pour les petits nombres, on a, d'après moi:

1: 0
2: 1
3: 3 + 1
4: 6 + 3
5: 10 + 6 + 1
6: 15 + 10 + 3 + 1
7: 21 + 15 + 6 + 3

(on prend deux triangulaires sur trois, avec une phase dépendant du modulo 3 de la taille totale)

Bien regarder les cas 4 et 7 pour comprendre ce qu'il se passe, en particulier pourquoi pour ces valeurs (et plus généralement pour les tailles en 3n+1) il y a trois et non pas un sous-triangle de taille max orienté comme indiqué.

Cordialement,

[invite421bc1da]

Ce qui donne 4308. Je ne sais pas si c'est ce que tu attendais Saladin.

Je ne connaît pas la réponse

[invitef34185c4]

Y'a effectivement plus simple.

Nous avons besoin de :

a) Même orientation que le grand:
1+3+6+10+ ... + 120 = S₁₆ = 816

816 orienté comme le grand.
A multiplier par 3, car chacun de ceux là contient 2 triangle avec hyp// a un des cotés du grand, pointe opposée.
816*3 = 2448 triangles

Maintenant avec :

e)hypoténuse parallèle au côté, pointe opposé à l'hypoténuse du grand

2( 3 + 6 + 15 + 21 + 36 + 45 + 66 + 78 + 105) = 2 x 375

Ce qui est en fait le nombre de 'cases' non rognée.
La série est elle égale à :
c = unité du coté de la case
L = unité totale du coté du grand triangle
et pour
x = (L-2c)(L+1-2c)
Ce qui fait pour les coté:
1,2,3,4,5,6,7,8 (à partir de 9 : 2c>L)
La suite :
120,91,66,45,28,15,6,1

Et non 15,6,3...

120+91+66+45+28+15+6+1 : 372 cases non rognées.
Nous avons déjà compté 3 triangles de ces cases plus haut.
Il en reste donc 5
372*5 = 1860
+ les 2448 autres
=> 4308

[YBaCuO]

Bonjour,

J'ai trouvé 4554.

Je suis parti du postulat que tous les triangles pouvaient être générés par homothétie à partir de deux familles de triangles d'hypoténuse un et racine de deux (en considérant que le grand triangle a une hypoténuse de racine de 2 fois 16).

J'ai dénombré tous ces triangles par ordinateur.
Le résultat sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur dans mon code:

Nombre de triangles d'hypotenuse 1 : 512
Nombre de triangles d'hypotenuse 2 : 450
Nombre de triangles d'hypotenuse 3 : 366
Nombre de triangles d'hypotenuse 4 : 314
Nombre de triangles d'hypotenuse 5 : 246
Nombre de triangles d'hypotenuse 6 : 204
Nombre de triangles d'hypotenuse 7 : 152
Nombre de triangles d'hypotenuse 8 : 120
Nombre de triangles d'hypotenuse 9 : 84
Nombre de triangles d'hypotenuse 10 : 62
Nombre de triangles d'hypotenuse 11 : 42
Nombre de triangles d'hypotenuse 12 : 30
Nombre de triangles d'hypotenuse 13 : 20
Nombre de triangles d'hypotenuse 14 : 12
Nombre de triangles d'hypotenuse 15 : 6
Nombre de triangles d'hypotenuse 16 : 2
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 1 : 496
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 2 : 393
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 3 : 303
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 4 : 226
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 5 : 162
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 6 : 111
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 7 : 73
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 8 : 48
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 9 : 36
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 10 : 28
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 11 : 21
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 12 : 15
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 13 : 10
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 14 : 6
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 15 : 3
Nombre de triangles d'hypotenuse racine de 2 fois 16 : 1
Nombre total de triangles : 4554

[invitef34185c4]

erreur <snip>

[invitef34185c4]

Petite coquille, il faut lire :
x = ((L-2c)(L+1-2c))/2

[invite8a80e525]

j'ai compris pourquoi je ne vois pas de modulo 3 (et je l'ai cherché!)

quand j'augmente de 1 à ma façon de compter, cela revient à augmenter de 3 selon ta façon mmy.
Donc normal que j'ai pas de modulo 3 qui apparaisse.
(et aussi normal que j'ai par contre du modulo 2)

donc j'ai quand même peut être pas tout faux!

[invite2896c078]

fastoche: pour les petits triangles 512 y suffis de les comptés
pour les autres triangles, là,

[invitef34185c4]

Pour finir.

Ca se passe en deux étapes.

1/
Avec l'aide de la suite :
n(x) = (x(x+1))/2
pour
x = 1,2,3,4,5,6...
n = 1,3,6,10,15,21,28...

Calcul de :
triangles orientés comme le grand
+ triangles hyp//aux cotés du grand et pointes opposées.

Pour largeur grand triangle = L = 16
3*(n1+n2+n3+... +n(L))=
3*(1+3+6+10+15+21+28+...+120) = 3*816 = 2448

2/

Deux cas de figures.
L est pair => (a)
L est impair => (b)

a)Cas pair
On utilise la suite :
n(x) = (2x²-2x)/2
pour
x = 1,2,3,4,5,6...
n = 1,6,15,28,45...

Calcul du reste...

5*(n1+n2+n3+n4+...+n(L/2))
5*(1+6+15+28+45...+120) = 5*372 = 1860

b)Cas impair
On utilise la suite :
n(x) = (2x²+2x)/2
pour
x = 1,2,3,4,5,6
n = 3,10,21,36,55...

Calcul du reste : z

5*(n1+n2+n3+n4+...+n((L-1)/2)= z
5*(3+10+21+36+..)= z

Mon écriture n'est surement pa conventionnelle, mais ça fonctionne comme ça.
Je vous laisse paufiner ça avec de belles formules.

[invite8a80e525]

je m'aperçois aussi d'une erreur,

dans mon application numérique, j'ai commencé les impairs à k=1,
or il faut aussi prendre k=0 (pour quand le triangle est d'une unité)

mon nouveau résultat est 4554, toujours différent de toi partage...

[invitef34185c4]

Salut Forhaia,
Que donne ta formule si tu la teste sur des grand triangle de
1,2,3,4 et 5 (au lieu du 16 proposé) ?

Pour moi ça donne
1=> 3 triangles
2=> 17 "
3=> 35 "
4=> 95 "
5=> 170 "

L'avantage c'est que c'est facilement vérifiable (un crayon, un papier et hop)
Je tombe juste.
Ou alors je me plante en beauté ?

[invite8a80e525]

partage,

je crois que j'ai trouvé,
à mon avis, tu oublie des triangles, ceux qui ont l'hypoténuse horizontale ou verticale, la pointe à l'opposé de l'hypoténuse du grand triangle et qui sont trop proche du bas (hypoténuse horizontale) ou de la gauche (hypoténuse verticale):
en effet, certains ne rentent pas dans tes carrés.

Par exemple, ceux formés de 4 petits triangles et qui sont sur la ligne de carrés tout en bas.

Je compte combien il t'en manque pour voir si ça fait comme moi...

[invite8a80e525]

j'ai compté les triangles du type que tu a oublié, il y en a 246,

ce qui ajouté à tes 4308 précédents nous fait....... 4554 !!!!!!!

je pense que le bon résultat est 4554.

Ca m'aura bien occupé ces triangles,
je vais me coucher,
bonne nuit

[invitef34185c4]

Je les avait pas vu ceux-là.

Félicitation !!

[_Goel_]

En tout cas félicitations pour la colle !

C'est la première fois que je vois autant d'acharnement pour une question si simple ! (et encore, est-on arrivé au but ?)

[invite36e4dbaa]

Lol c'est si génant?

Le mot a été écrit pas mal de fois tout de même.
Et il n'a pas de synonyme ayant une graphie plus simple (pas de synonyme du tout d'ailleurs).

Bon sujet, ces triangles isorectangles !

[invité576543]

(...)

Je suis d'accord avec dgidgi que c'est gênant, et le remercie pour sa remarque.

Cordialement,