A dormir debout!!!

[invitef34185c4]

Bonjour,
_Goel_
la réponse est 4554 commme le montre Yabuco et Forhaia avec son application numérique corrigée.
-----

[invite421bc1da]

C'est donc 4554?

[invite421bc1da]

Je prend ce résultat, bien que je n'ai pas compris comment faire .
Merci à tous d'avoir passé des heures à calculer . Y'a vraiment des cerveaux, ici .

Amicalement

Saladin le Grand

++

[invite8a80e525]

Oui, 4554

Mais si tu donnes le résultat comme ça,
c'est un peu inutile...

[invite421bc1da]

Oui, 4554

Mais si tu donnes le résultat comme ça,
c'est un peu inutile...

Si ça ne te déranges pas de me réexpliquer comment tu trouves ce résultat, je ne suis pas contre, parce que je n'ai pas vraiment tout compris .

[invitef34185c4]

Pour les triangles à l'hypoténuse oblique

soit la longueur des cotés adjacents des triangles considérés

j'ai pas de petit dessin de triangles, donc

L\ correspond à 1
_
\l correspond à 2
_
l/ correspond à 3







et bien sûr

Bonjour,
Je ne comprends pas un truc ici Forhaia.
Pourquoi poser trois formules, dont deux identiques ?
Tu ne parle pas de plus du quatrième triangle à hypoténuse oblique. Je suppose que c'est ta multiplication par deux de de n_3 ?
Mais justement cette formule est valable pour 3 triangles à hypoténuse oblique, seul L\ demande une formule spécifique, car il occupe toute l'aire.


Donc :
Pour L\

On est d'accord.

Pour les trois autres triangles restants.
La formule est identique.


Donc :

Revient à :

Et n_3 est inutile.

C'est juste ou il y a (encore) un détails qui m'échappe ?

[invitef34185c4]

Idem avec ces deux là :

et


On voit que :



Donc:

Donne directement les
triangles avec hypténuse parallèle au grand coté, pointe vers l'hypoténuse du grand triangle + les petits triangles dans le même sens que le grand.

Enfin là c'était peut-être pour plus de visibilité, histoire de bien séparer le calcul des hypoténuse oblique et celle parallèle au coté.

[invitef34185c4]

Donc :

[invite8a80e525]

Si si, tu a bien compris,

c'est juste que dans ma façon de faire j'ai compté les différents types de triangles, sans regrouper ensuite.

mais bien sur que tu peux simplifier

[invite8a80e525]

Si ça ne te déranges pas de me réexpliquer comment tu trouves ce résultat, je ne suis pas contre, parce que je n'ai pas vraiment tout compris .

Le principe c'est de regrouper les triangles par types.

1.
Déjà on peut séparer ceux dont l'hypoténuse est parallèle à l'hypoténuse du grand triangle et ceux dont ce n'est pas le cas.

On commence par ceux dont l'hypoténuse est soit horizontale, soit verticale.
Il y en a quatre types différents, mais pour une raison de symétrie (la symétrie axiale d'axe "hauteur du grand triangle issue de l'angle droit" transforme un à l'hypoténuse horizontale en un à l'hypoténuse verticale) , il y en a le même nombre dont l'hypoténuse est verticale et dont l'hypoténuse est horizontale.
On a donc juste a compter ceux par exemple dont l'hypoténuse est horizontale, et multiplier par deux le résultat obtenu.


On doit donc compter les et les
Pour les compter, il faut trouver une formule qui en donne le nombre selon la taille du triangle, et ensuite sommer.
Là pas de mystère, il faut tatoner.

Je te détaille pour les , pour les autres le principe est le même.

Prenons les les plus petits, ceux dont l'hypoténue fait "1" de longueur. Sur la ligne tout en bas on en compte 16, sur la ligne juste au dessus 15, puis 14 ...
Il y en a donc 16+15+14+...+2+1=16*17/2
La taille de triangle suivant est ceux de taille d'hypoténuse "2".
Sur la ligne du bas, on ne peut en mettre que 15, puis 14, ...
Il y en a 15+14+...+2+1=15*16/2
On voit la formule générale se dessiner, pour les triangles de taille d'hypoténuse , il y en a
On obtient ainsi en sommant de 1 à 16


Pour les , on s'aperçois en comptant qu'il faut distinguer les cas où est pair ou impair.
Mais on obtient le même type de formule.
Pour impair,
Pour pair,

On a donc compté tous les triangles à hypoténuse horizontale ou verticale.


2.
Reste ceux à l'hypoténuse oblique. Il y en a quatre types différents, mais toujours grâce à la symétrie, on en aura que trois à faire.

L\ correspond à 1
_
\l correspond à 2
_
l/ correspond à 3 (c'est ceux là qu'il faut multiplier par deux ensuite...)


Par la même méthode on obtient: (attention les tailles de triangles correspondent à la taille des côtés verticaux (ou horizontaux) des triangles)







3.
Il n'y a plus qu'à additionner tout ce petit monde pour avoir le nombre total:


Et comme partage le faisait remarquer, certaines des formules sont les mêmes, on peut simplifier en:

[invite421bc1da]

Je pense que j'ai compris, merci beaucoup. Je suppose que pour les formules faut les inventer en tâtonnant? Et une question: x = 16 ?

[invite421bc1da]

Pour être sûr, je vais essayer de le refaire tout seul. Je vais bien me marrer quand je ferais mon exposé devant l'autre marrant . Il a parié que j'y arriverais pas. Je vais gagner 5 McDos!!!!!

[invite421bc1da]

Qui veut une autre colle?

[invite8a80e525]

Oui c'est bien ça, x=16


Moi j'en veux bien un autre si tu en as en réserve...
D'autant que le bac est fini maintenant

[invite421bc1da]

La chance!!!!! Je passe mon bac de français demain (écrit)
Et je dois encore réviser des masses pour l'oral vendredi prochain

[bubulle_01]

Oui, si tu as une colle je veux bien, je serais de la partie avec Forhaia ^^ (Bac terminé aussi).

[invite421bc1da]

Tenez, j'en ai un vite fait (enfin, ca dépend ).
Combien de polygones peut-on fabriquer avec 8 points? (si on veut se casser la vie, on peut aussi compter les convexes)
Conditions:
1) Le périmètre doit avoir une longueur de 24cm.
2) La longueur de chaque côté doit être un entier naturel non nul.

[invité576543]

Ca ne me paraît pas suffisamment bien posé. Peux-tu donner des exemples de polygones acceptables, de polygones non acceptables, et de cas de deux polygones tous deux acceptables mais que l'on compte pour 1.

(Une réponse directe est l'infini, suffit de prendre un polygone acceptable et de multiplier à l'infini par translation par exemple.)

Cordialement,

[invitef34185c4]

Sauf que les cotés doivent être des entier non nuls et le perimetre égal à 24 cm.

ERREUR <snip>

[invite7553e94d]

Erratum : Ce qui suit est une erreur du au fait que le problème est très mal posé. Je viens seulement de comprendre la question ...

Ca ne me paraît pas suffisamment bien posé. Peux-tu donner des exemples de polygones acceptables, de polygones non acceptables, et de cas de deux polygones tous deux acceptables mais que l'on compte pour 1.

(Une réponse directe est l'infini, suffit de prendre un polygone acceptable et de multiplier à l'infini par translation par exemple.)

Cordialement,

La condition 0) nous en empêche : 8 points seulement !
Pour ma part, je dirais 16 triangles isocèles de longueur 24. (D'ailleurs je ne comprends pas les conditions 1) et 2) qui ne sont nullement contraignantes)

[_Goel_]

Perso, il me semble avoir compris la question...
je ne la trouve pas si mal posée. juste 2 questions pour préciser :
- compte-t-on les polygones plats ?
- doit-on comprendre que chaque côté a une longueur entière comprise entre 1 et 24, tout en sachant que la somme des côtés ne peut excéder 24 ?
- 2 ploygones point à point et segment à segment superposables comptent comme un seul ploygone.

[_Goel_]

Concernant la réponse à la question :
a priori, tous les points sont contenu dans un cercle de diamètre 24.
comme chaque point est distant d'un autre point d'une longueur entière, il me semble que le nombre de placements différent des points doit être fini, donc le nombre des polygones aussi.

[invite421bc1da]

Bon je repose la question autrement. On a un octogone régulier de périmètre = 24cm (côte = 3cm). Combien d'autres octogones (irréguliers et convexes) peut-on fabriquer en déplaçant les huit sommets de celui-ci tel que le périmètre reste égal à 24cm et la longueur de chaque côté soit un entier naturel non nul? (la variable de base est donc la valeur des angles de l'octogone).
Exemple: 2;3;3;3;3;3;3;4 est une solution d'octogone. Mais cet exemple peut représenter d'autres solutions: des octogones convexes.
Conditions: 2;3;3;3;3;3;3;4 équivaut 4;3;3;3;3;3;3;2 mais est différent de 2;3;3;3;3;4;3.
Voilà. Maintenant à vous de jouer. Je pense avoir été assez clair.

[_Goel_]

Autre vision du problème :

soit Pi un point sur un repère dont les coordonnées sont xi et yi.

Le problème se résume à dénombrer l'ensemble répondant à cette équation :

avec



Est-ce que j'ai levé les ambiguités ?

[invite421bc1da]

Au fait: le premier qui me dit 1;1;1;1;1;1;1;17 je le tue: essayez de faire une figure avec ça!!!!!

[invite421bc1da]

Lisez le post #83 avant de répondre.

[invité576543]

Est-ce que j'ai levé les ambiguités ?

Non, du moins en appelant ambigüité l'existence de différentes interprétations pour moi.

J'ai l'impression que (3)⁸=(3, 3, ....3) compte seulement pour 1, mais cela ne dérive d'aucune des règles dites. En particulier la notion de "superposable" est floue.

Si l'impression susdite est la bonne, la question est le nombre de cycles d'entiers (m₁, ..., m_n) telle que la somme des éléments vaut 24, et qui peuvent être la suite des longueurs des côtés d'un octogone dans le plan euclidien. Deux cycles sont identiques s'ils sont image l'un de l'autre par permutation circulaire ou par inversion du sens de lecture.

(Si cette interprétation est la bonne -et je n'en suis pas certain-, les textes précédents sont ambigus principalement parce qu'ils parlent de décompter des octogones, mais c'est quoi exactement deux octogones différents???)

(3)⁸ est solution parce qu'il existe les octogones réguliers (convexe ou non), et compte pour une et une seule solution, et ce même si elle correspond aussi bien à l'octogone régulier convexe qu'à l'octogone régulier non convexe, ainsi qu'à une infinité de polygones non réguliers.

Le cycle (1)⁷17 n'est pas solution cause l'inégalité triangulaire du plan euclidien. (Mais serait acceptable dans certains autres espaces...)

A priori, c'est l'ensemble des partitions de 24 n'ayant aucun élément strictement supérieur à 12 (en incluant les plats) ou à 11 (en excluant les plats), non?

Cordialement,

[invite421bc1da]

(Si cette interprétation est la bonne -et je n'en suis pas certain-, les textes précédents sont ambigus principalement parce qu'ils parlent de décompter des octogones, mais c'est quoi exactement deux octogones différents???)

Deux octogones différents sont deux octogones dont on ne peut passer de l'un à l'autre par aucune bijection. Donc la combinaison (3)⁸ compte pour plusieurs: le régulier non convexe et les convexes.

A priori, c'est l'ensemble des partitions de 24 n'ayant aucun élément strictement supérieur à 12 (en incluant les plats) ou à 11 (en excluant les plats), non?

On ne compte pas les plats.

Le cycle (1)⁷17 n'est pas solution cause l'inégalité triangulaire du plan euclidien. (Mais serait acceptable dans certains autres espaces...)

On reste dans le plan euclidien.

[invite421bc1da]

(3)⁸correspond à une infinité de polygones non réguliers.

Une infinité, tu es sûr?

[invitef34185c4]

Pour moi la résolution se déroule en 3 étapes :

1/Dénombrer le nombre d'arrangement pour 8 éléments (a,b,c,d,e,f,g,h), de façon à ce que :
a+b+c+d+e+f+g+h=24.
et
a>=b>=c>=d>=e>=f>=g>=h
(a supérieur ou égal à b, b supérieur ou égal à c, ...)

On commence à a=(24/2)-1
puis a=(24/2)-2, (24/2)-3 ... jusqu'a ce que a = (24/2)-8

Par exemple ça donne :
11,7,1,1,1,1,1,1
11,6,2,1,1,1,1,1
11,5,2,2,1,1,1,1
11,5,3,1,1,1,1,1
...
5,5,5,4,2,1,1,1
5,5,5,5,1,1,1,1
...
3,3,3,3,3,3,3,3

Ca nous permet d'avoir donc toute les arrangements de base des élements, en en évitant les doublons.
Par exmeple.
11,7,1,1,1,1,1,1
vaut pour
1,11,7,1,1,1,1,1
1,1,11,7,1,1,1,1
1,1,1,11,7,1,1,1
...
7,1,1,1,1,1,1,11

Reste à calculer les combinaisons possibles
Toujours pour le même exemple
11,7,1,1,1,1,1,1
donne
11,1,7,1,1,1,1,1
11,1,1,7,1,1,1,1
11,1,1,1,7,1,1,1
...
11,1,1,1,1,1,1,7

Restes donc deux étapes.

2/Repérérer les configuration d'éléments.
11,7,1,1,1,1,1,1
= 8(6,1,1)
soit un groupe de 8 avec 6 éléments identique(les 1), puis 1(le 7), puis 1(le 11).
5,5,5,4,2,1,1,1
=8(3,3,1,1)
soit un groupe de 8 element avec 3éléments identiques(les 5), puis 3(les 1), puis 1(le 4), puis 1(le 2)
Pour tous les arrangements trouvés précédement.

Ce qui nous donne un nombre finit de possibilités
8(8), 8(7,1), 8(6,1,1), 8(6,2), etc...

3/Multiplier le nombre de configurations, obtenues en 2/,par le nombre de combinaison circulaires correspondantes, en ne comptant pas les cas de permutation.
Conbinaisons simples, sans compter les permutations :
Px(x1,x2,x3,x4...) = x!/(x1!.x2!.x3!...)
Combinaisons circulaires = (Combinaisons simples)/x-1
Donc, in fine
Les combinaisons circulaires sont données par :

Px(x)=1
Premier cas correpsondant à un ensemble composé de 8 elements identiques
soit 8(8), soit 3,3,3,3,3,3,3,3 qui compte pourune combinaison.

Puis :
Px(x1,x2,x3 ) = (x!/(x1!.x2!.x3!...))/x-1

Par exemple pour
11,5,3,1,1,1,1,1
P8(5,1,1,1) = (8!/5!.1!.1!.1!)/7 = (8!/5!)/7 = 48 combinaisons.

Il faut donc
1/Dénombrer les arrangement
2/Repérer les configuratin
3/multiplier les configuration par le nombre de combinaisons circulaires corrspondantes.

Il faut, y'a cas...
Mais, pas sûre que mon protocole soit le plus pertinent et d'une je n'ai pas trouvé de formule magique pour d'une trouver les arrangement, et de deux, en extraire les configurations.

Mais si ça peut aider...