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A dormir debout!!!



  1. #1
    Saladin le Grand

    A dormir debout!!!


    ------

    Voilà la figure (fabriquée par mes propres soins ): il s'agit là d'un triangle isocèle rectangle de côté 16. Il faut déterminer combien de triangles isocèles rectangles comporte cette figure. J'aimerais que l'on me dise comment faire, parce que moi... . Merci d'avance.

    Saladin le Grand.

    ++

    EDIT: je vais poster l'image.

    -----
    War doesn't determine who is right, only who is left...

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  3. #2
    Saladin le Grand

    Re : A dormir debout!!!

    Voilà: il faut zoomer pour que les traits soient nets.
    Images attachées Images attachées
    War doesn't determine who is right, only who is left...

  4. #3
    prgasp77

    Re : A dormir debout!!!

    Salut,
    petit indice, voici le nombre de triangles dans des sous triangles :



    Bonne chance
    --Yankel Scialom

  5. #4
    invite431

    Re : A dormir debout!!!

    Bonsoir,

    La suite du côté va de 1 à 16, l'incrément étant 1
    La suite du nombre de triangles semblables associés démarre à 2 et est d'incrément 4

    D'où une suite de d'incrément 4 de 2 à 62, dont la somme est 512.

    Amicalement

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    prgasp77

    Re : A dormir debout!!!

    Bonsoir baguette,
    ton message est particulièrement obscur ... Tu pourrais nous expliquer un peu plus en détail s'il-te-plait ?

    Merci.
    --Yankel Scialom

  8. #6
    duddle

    Re : A dormir debout!!!

    Salut

    Il y a 4 triangles isocèles dans un carré d'unité 1.

    Nombre de carré de côté 1 :



    Donc il y a triangles isocèles

    EDIT : pour les petits parce que pour toutes les tailles, y'en a bien plus.
    Dernière modification par duddle ; 13/06/2008 à 21h49.

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  10. #7
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Évidemment, il faut trouver une tendance, mais je ne la vois pas tout de suite. De mon côté, sur la première ligne, je vois 3 triangles rectangles isocèles. Sur les deux premières lignes ensemble, j'en vois 15. Et là, ça se complique. je continue à chercher...
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  11. #8
    Saladin le Grand

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par duddle Voir le message
    Salut

    Il y a 4 triangles isocèles dans un carré d'unité 1.

    Nombre de carré de côté 1 :



    Donc il y a triangles isocèles

    EDIT : pour les petits parce que pour toutes les tailles, y'en a bien plus.
    Evidemment, mais je pense que je suis aussi capable de faire ce calcul, enfin j'espère... mais oui il faut toutes les tailles possibles, et je n'ai meme pas demandé tout les triangles!!! juste les isocèles rectangles.

    PS: pour ceux qui cherchent, merci à eux, mais s'il serait possible de développer un peu plus en donnant les réponses, parce que moi je ne suit pas tout , merci beaucoup ++

    Amicalement

    Saladin le Grand
    War doesn't determine who is right, only who is left...

  12. #9
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Bon, j'en ai oublié. Sur la deuxième ligne, j'arrive à 17, comme toi, prgasp77 (quoique je numérote les lignes différemment). Je comprends ton 8+6+2+1. Mais je bloque à ce niveau. Je n'arrive pas à trouver autant de triangles que tu n'en indiques par la suite. Pour la troisième ligne, je n'ai que 18+15+5+3+1 pour le moment. Le nombre de "petits" triangles me semble être donné par 2n2.
    Dernière modification par SunnySky ; 14/06/2008 à 12h35.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  13. #10
    mécano41

    Re : A dormir debout!!!

    Bonjour,

    Je trouve 511 triangles rectangles isocèles.

    Il me semble qu'en procédant ainsi on ne doit pas en oublier :

    - je trace le triangle 16 cm x 16 cm : je note 1
    - je trace la hauteur sur l'hypothénuse ce qui divise en deux nouveaux triangles : je note 2
    - je trace la hauteur sur l'hypothénuse des ces deux triangles ce qui divise en quatre nouveaux triangles : je note 4
    - je continue en constatant que le nombre de triangles créés double à chaque fois
    - dans le même temps, le côté du triangle initial de 16 cm, est divisé en deux une fois sur deux seulement. Comme il faut que ce côté soit divisé par 16 à la fin, ce sera donc à la 8ème division et le nombre de triangles ajouté lors de cette division est soit 256.
    -le nombre total de triangles est donc la somme des puissances de 2 de 1 à 8 soit 1+2+4+8+16+32+64+128+256 = 511

    Cordialement

  14. #11
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    mécano41: je crois qu'il t'en manque beaucoup... entre autres, il faut compter celui qui est mis en évidence sur cette figure.

    Si on ne compte que les petits triangles, ceux dont l'hypoténuse est formée par un seul segment vertical ou horizontal, on arrive à:
    1-2
    2-8 (2+6)
    3-18 (2+6+10)
    4-32 (2+6+10+14)
    ...

    Dans chaque carré, il y en a 4, et à chaque extrémité de ligne il y en a 2. Une ligne x ajoute 4x-2 petits triangles (puisqu'il manque deux triangles pour former x carrés).

    Cette série peut être décrite par 2n2. Par conséquent, il y a 2*162 = 512 petits triangles au total. Maintenant, il faut compter les autres...
    Images attachées Images attachées
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Bonjour,

    Je suis étonné par la petitesse des nombres proposés! Et ce même dans le tableau de prgasp. Si dans le cas de taille 1 il n'y a qu'un triangle iso. rect., j'en compte déjà 17 (1+2+6+8) dans le cas de la taille 2.

    Mais peut-être il y a différentes interprétations de l'énoncé...

    Cordialement,

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Autre hypothèse, je n'ai pas compris la notion de taille de prgasp, et ce qui est pour moi la taille 2 est pour lui la taille 4?

    Cordialement,

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Autre tableau, une manière différente, mais pas nécessairement contradictoire, de celle de prgasp de voir les choses




    Au passage, ça donne 3 pour la "taille 1" et non pas 1 comme je l'avais écrit

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 14/06/2008 à 14h18.

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Rectification...



    Mais je peux encore me tromper

    Cordialement,

  20. #16
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Autre hypothèse, je n'ai pas compris la notion de taille de prgasp, et ce qui est pour moi la taille 2 est pour lui la taille 4?
    Cordialement,
    En effet. C'est ce que je voulais dire quand je disais que je notais les lignes différemment. prgasp semble noter les demi-lignes. Je n'en vois pas l'intérêt, mais lui, il semble savoir où il va...

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Là, on se rejoint. J'arrive exactement aux mêmes valeurs. Mais je ne vois pas comment généraliser...
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  21. #17
    invite431

    Re : A dormir debout!!!

    Bonjour,

    Enoncé un peu obscur d'où mon erreur de départ dans le raisonnement

    Il y a 1023 triangles (en comptant le triangle global)

    512+256+128+64+32+16+8+4+2+1= 1023

    Amicalement

  22. #18
    invite431

    Re : A dormir debout!!!

    Re bonsoir,

    Le nombre de triangles formant le pavage se trouve facilement comme l'a très bien démontré duddle, 16*16/2 = 512

    or, chaque division à partir du triangle de base double le nombre de triangles.

    Le total de la suite des divisions est donc le total de la suite géométrique inverse à partir du résultat global.

    Alain

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  24. #19
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Je crois plutôt qu'il y en a 5848.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  25. #20
    invite431

    Re : A dormir debout!!!

    Le nombre total ne peut qu'être la somme de la suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ...... de 1 au Xème terme
    Aucun total de cette suite géométrique n'arrive à 5848

    De plus, le total ne peut être qu'un nombre impair puisque le triangle de base est 1.

    Amicalement

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par SunnySky Voir le message
    Mais je ne vois pas comment généraliser...
    Moi non plus. J'ai déjà du mal avec la taille 4! On a (en partant de la droite) 1, 2, 6, 6 et non 1, 2, 6, 8...

    Cordialement,

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par baguette Voir le message
    De plus, le total ne peut être qu'un nombre impair puisque le triangle de base est 1.
    On ne doit pas parler de la même chose. Pour un triangle de côté de longueur 3, j'obtiens un total pair (50). Pour toi, quelle est la réponse ce cas (au sens où la question initiale est un triangle de côté de longueur 16)?

    Cordialement,

  28. #23
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Mon raisonnement:

     Cliquez pour afficher


    Je ne suis pas sûr d'avoir raison, mais c'est mon opinion actuelle.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par SunnySky Voir le message
    Je ne suis pas sûr d'avoir raison, mais c'est mon opinion actuelle.
    Ca ne semble pas coller avec 6 triangles de côté 3rac(2)/2 dans le triangle de côté 4. Mais c'est intuitif...

    Cordialement,

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  31. #25
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Un extrait de mon tableau Excel
     Cliquez pour afficher


    Est-ce que ça a du bon sens?
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  32. #26
    SunnySky

    Re : A dormir debout!!!

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Ca ne semble pas coller avec 6 triangles de côté 3rac(2)/2 dans le triangle de côté 4. Mais c'est intuitif...

    Cordialement,
    Zut, tu as raison.

    Bon, je crois avoir trouvé le bon nombre de triangles de taille rac(2)/2 et de taille 1. Il reste à continuer sans trop chercher les raccourcis...
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  33. #27
    invite431

    Re : A dormir debout!!!

    Bonsoir,

    Vous avez effectivement raison, sib on prend en compte tous les triangles possibles de la figure, il me semble que mon raisonnement est erroné puisque je n'ai pris en compte que les triangles de croissance par division, or il y a des triangles qui se constituent par accolage des précédents, et encore faut-il prendre en compte les superpositions. Ainsi, dans un simple carré traversé par ses diagonales, on peut dénomber 8 triangles.
    Je replonge dans le calcul .... si mon petit fils m'en laisse le temps (les triangles ne le fascine pas encore)

    Amicalement

  34. #28
    Saladin le Grand

    Re : A dormir debout!!!

    Euh... je ne pensais pas que c'était si compliqué . Le marrant qui m'a posé ça ne doit même pas connaître la réponse, ce petit ************ .
    War doesn't determine who is right, only who is left...

  35. #29
    _Goel_

    Re : A dormir debout!!!

    Bonjour,

    Idée jetée comme ça :
    il me semble qu'un carré fasse 4 "méta"-triangles...
    1 carré de une unité (C1) : 4 tr de base + 4 méta-tr
    1 carré de 2 unités (C2): = [C1 * 4 + 4] + 4
    (on a la carré d'ordre 2 : 4. Mais il faut rajouter les 4 diagonales aboutées qui font 4 triangles (ou 1 carré))

    de même,
    C3 = [9*C1+4*C2+4]+4 triangles (identiques au triangles du carré d'ordre 3 mais décalés de 1 cran

    C4 = [16.C1+9.C2+4.C3]+2*4 tr (cf. C3 avec décalage de 1 et 2 crans)
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  36. #30
    _Goel_

    Re : A dormir debout!!!

    Soit pour n>2 (j'ai déjà défini C1 et C2):



    Je pense pas avoir dénombré tous les triangles des, mais on doit pouvoir avancer !
    (PS : ça fait un sacré paquet de triangles !!)

    Remarque : mon traitement vise à dénombrer les triangles isocèles dans des carrés... sauf que l'exemple montre un grand triangle !!
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

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