Nicolas et George sont candidats a la prochaine election de meilleur cuisinier de la capitale. Chacun depose son bulletin dans l'urne a son tour, l'un apres l'autre. Nicolas recoit P votes, George en recoit Q. Supposant P>Q, quelle est la probabilite que Nicolas ait ete devant George durant tout le scrutin ?
Tu n'aurais pas confondu avec le forum "mathématiques du supérieur"
Cordialement,
Envoyé par Michel (mmy)
Tu n'aurais pas confondu avec le forum "mathématiques du supérieur"
Mais c'est vraiment un jeu pour moi, bon si c'est important on peut le deplacer. Vous ne trouvez pas cela amusant comme enigme ?
Si le raisonnement menant à la solution peut être exprimé de façon "verbale", sans faire appel à des notions élaborées du style distribution binomiale ou variance, pourquoi pas? Par contre, s'il faut trois pages de latex....Tu n'aurais pas confondu avec le forum "mathématiques du supérieur"
Cordialement,
Pas de complexes: je suis comme toi. Juste mieux.
Pour l'instant, je suis sur l'approche trois pages de LaTeX. S'il y a une solution "verbale", ce sera très intéressant!
Cdlt,
Il faut que je vérifie mes calculs et que je rédige, mais je trouve :
Cette expression se simplifie, mais c'est la façon naturelle dont je l'ai trouvée.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Sauf erreur, le résultat indiqué c'est avec la convention "être devant" est strict, à savoir n'inclus pas "avoir le même nombre de voix".
Correct ?
Cordialement,
Je viens de m'apercevoir que je n'ai pas répondu à la question, mais à une autre (que je trouve plus rigolote) :Il faut que je vérifie mes calculs et que je rédige, mais je trouve :
Quelle est la probabilité que George ait été devant Nicolas durant tout le début du scrutin (tant que c'est possible, c'est à dire sur 2Q votes).
Je m'y replonge.
Je trouve cette question plus rigolote car imaginez ce que donnerait un sondage "sortie des urnes" dans ce cas.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
salut,
ce problème a été étudié en probas, on trouve des infos dans le bouquin classique de Feller (tome 1 je crois).
le principe du traitement probabiliste est le suivant: on suppose que les votes successifs sont des tirages aléatoires indépendants et de même loi (de Bernoulli, donc caractérisée par la proba du candidat Nicolas: p). Par rapport au problème réel, ça revient à dire qu'on a une population très grande et qu'on s'arrête quand seulement une petite proportion des gens ont voté (de façon à assimiler tirages avec et sans remise).
Si on voulait traiter le problème avec une population de taille finie je crois qu'il faudrait faire des simulations.
Je ne suis pas arrivé au bout, mais ce que je trouve est déjà amusant.
Notons P(p,q) la probabilité d'être toujours au-dessus en partant de p et q. On a P(p,p)=0. On a aussi, plus généralement, P(p,q)=0 si q strictement plus grand que q, mais nous reviendrons là-dessus!
On remarque aussi que P(n,0)=1, pour tout n>0
Un simple raisonnement sur le premier tirage (vote) permet d'obtenir une récurrence:
Si p>q alors
Là, grosse astuce, on prend, on a alors
Ce qui, miracle, se simplifie en
Aisé d'y reconnaître la relation avec les coefficients binomiaux, mais il y a un piège, la diagonale est nulle, la récurrence n'est vraie que pour p>q.
On peut corriger cela par une nouvelle astuce, à savoir décréter que Q(p,q) = -Q(q,p). Cela permet la récurrence sur tous les couples! (Pas totalement nécessaire, mais plus joli...)
Le tableau, lu par diagonales (par séries p+q constant) donne
0
1 -1
1 0 -1
1 1 -1 -1
1 2 0 -2 -1
1 3 2 -2 -3 -1
Reste à trouver comment exprimer cela avec les binomiaux... Pas le temps pour le moment! C'est quelque chose comme 2C(p+q-1,q)-C(p+q,q), à vérifier...
Cordialement,
Ca ferait (p-q)/(p+q)
Si c'est ça, il doit y avoir une solution "verbale", mais je ne vois pas comment
Cordialement,
Fin d'entracte... Après vérification, (p-q)/(p+q) respecte bien la récurrence, et passent les différents tests que je peux imaginer.
Ca doit être ça la réponse.
Y-a-t-il une démonstration directe
Cordialement,
Ca ferait (p-q)/(p+q)
Il faut que je reflechisse un peu a la solution que tu proposes par rapport a celle que je connais :
Solution de J. Bertrand proposee au Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 105 (1887) p. 369.
Un site en anglais :
The Ballot Problem
On y trouve le papier sur le principe connu sous le nom de principe de reflection d'André, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 105 (1887) 436–437..
Et aussi : Démonstration du problème du scrutin par des considérations géométriques (J. Aebly), L’enseignement mathématique 23 (1923) 185–186
