Points du plan

[invite2220c077]

Salut,

Un petit exercice ne demandant aucune connaissance particulière en Mathématiques

On se donne points dans le plan, notés . On trace les segments .

Montrer qu'il n'existe aucune droite passant par tous ces segments.
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[yat]

Salut,

Un petit exercice ne demandant aucune connaissance particulière en Mathématiques

On se donne points dans le plan, notés . On trace les segments .

Montrer qu'il n'existe aucune droite passant par tous ces segments.

Mhhh...
Et si tous les points sont alignés ? Et si tous les points P2n ou P2n+1 sont alignés ?

[invite2220c077]

Oui, j'ai bien sûr oublié de préciser qu'ils ne sont pas tous alignés ou confondus. Aussi, ne doit pas être confondu avec l'un des , elle doit passer entre deux points d'un segment.

[Médiat]

Montrer qu'il n'existe aucune droite passant par tous ces segments.

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On suppose que cette droite existe, alors Il suffit de simplifier en enlevant deux points successifs A_k et A_{k+1} puis de relier A_{k-1} avec A_{k+2} (la droite convient toujours pour la famille restante (facile à montrer : il n'y a que 2 demi-plans), autant de fois qu'il est nécessaire jusqu'à obtenir un triangle dans lequel c'est impossible

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Oui, j'ai bien sûr oublié de préciser qu'ils ne sont pas tous alignés ou confondus. Aussi, ne doit pas être confondu avec l'un des , elle doit passer entre deux points d'un segment.

Alors il faudrait ouvrir les segments plutôt que de les fermer, comme ça pas de risque de confusion.

Bon, alors un petit raisonnement par l'absurde :
Soit l'ensemble des points donnés, supposons qu'il existe une droite qui passe par tous les segments, mais ne passant par aucun des points. Chaque point est donc dans un demi plan ouvert délimité par la droite, pour tout n<=k, le point Pn et le point Pn+1 sont sur deux demi-plans différents, donc Pn et Pn+2 sont dans le même demi plan pour peu que Pn+2 existe, donc P1 est dans le même demi plan que P2k+1, la droite ne coupe pas le segment ]P1P2k+1[, contradiction.
Maintenant supposons qu'il existe une droite qui passe par tous les segments, et qui contienne au moins un point, mais pas tous (ce qui est interdit par l'énoncé). Alors il existe nécessairement un segment reliant un point sur la droite et un point qui n'y est pas... comme ce segment est ouvert, la droite n'y passe pas, contradiction aussi.

[invite2220c077]

Exact