Un enigme qui surprend le sens commun (Bayes que Bayes)

[invite6754323456711]

Bonsoir,


Le dimanche soir la belle au bois dormant est endormie et on lance une pièce. Si elle retombe sur face alors on réveille la belle au bois dormant le lundi elle évalue les probabilités de pile et de face et se rendort. Si c’est pile on la réveille le lundi, elle doit évaluer les probabilités de pile ou de face, et se rendort en oubliant cet épisode, mais on la réveille aussi le mardi et elle réévalue les probabilités avant de se rendormir. Lors des entretiens on demande à la belle au bois dormant quelle est, à son avis, la probabilité que face soit tombé, et quelle est la probabilité que pile soit tombé? Elle peut répondre 1/2 pour face et 1/2 pour pile en argumentant que la pièce à une chance sur deux de tomber sur une des deux faces ou 1/3 pour face et 2/3 pour pile car on lui pose la question deux fois plus souvent (le lundi et le mardi) quand c’est pile.

Êtes-vous partisan de 1/2 – 1/2 ou partisan du 1/3 – 2/3 ?

Patrick
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[piwi]

C'est pas un peu le même problème que celui des deux portes et du cadeau? (Mis en œuvre en France, dans le jeu télévisé "le big deal")

[invite8ef897e4]

Bonsoir,

j'imagine que la piece elle-meme est equilibree. Dans ce cas, la reponse a

elle évalue les probabilités de pile et de face
[...]
elle doit évaluer les probabilités de pile ou de face
[...]
elle réévalue les probabilités
[...]

reste toujours, quoi qu'il advienne, 50/50 pour pile et face. La subtilite de la question m'echappe, peut-etre manque-je de sommeil ou d'imagination. J'essaie de reformuler.

On joue a pile ou face avec une piece equilibree. Si l'on obtient pile, on demande a un temoin d'evaluer une fois les probabilites de pile et face. Si l'on obtient face, on demande a un temoin d'evaluer deux fois les probabilites de pile et de face.

Decidemment, je ne vois pas la correlation entre "evaluer le resultat du lancer d'une piece equilibree" et "demander une reponse une fois pour pile et deux fois pour face".

[invite6754323456711]

C'est pas un peu le même problème que celui des deux portes et du cadeau? (Mis en œuvre en France, dans le jeu télévisé "le big deal")

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J'avoue mon ignorance. Je ne connais pas ce jeu.
L'énigme de la belle au bois dormant concerne le problème d’anamorphose (effets de filtre et de loupe) probabiliste.
La conséquence remarquable de l’étude du "paradoxe" de la belle au bois dormant (qui n’en est plus un si on accepte le point de vue des filtres et des loupes probabilistes) est qu’il résout le paradoxe de l’Apocalypse.

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pio2001]

Si la Belle au Bois Dormant connaît les règles, je prends le 1/3 - 2/3.

Elle dispose des informations nécessaires sur la fréquence de l'évènement qu'on lui demande d'évaluer.
On ne lui demande pas si un lancer de pièce quelconque va donner pile ou face, mais si le lancer à la suite duquel on va la réveiller sera pile ou face, nuance.

[Pio2001]

Dans ce cas, la reponse a
reste toujours, quoi qu'il advienne, 50/50 pour pile et face.

Nous ne sommes pas d'accord parce que nous ne considérons pas le même évenement.

Tu considères l'évènement "le tirage a donné pile" (ou face), tandis que je considère l'évènement "le tirage a donné pile et on réveille la Belle", qui se produit deux fois plus souvent que l'évènement complémentaire "le tirage a donné face et on réveille la Belle".

[invite6754323456711]

Bonsoir,

j'imagine que la piece elle-meme est equilibree. Dans ce cas, la reponse a
reste toujours, quoi qu'il advienne, 50/50 pour pile et face. La subtilite de la question m'echappe, peut-etre manque-je de sommeil ou d'imagination. J'essaie de reformuler.

L'énigme décrit plus précisément

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Dans le Laboratoire de psychologie probabiliste de l’Université de Hasardville les discussions font rage.Elles portent sur le résultat d’une expérience dont nous allons décrire le protocole.
Le dimanche soir, alors que La Belle au bois dormant (nous la dénommerons Belle) est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face. Une grande confiance règne entre Belle et les expérimentateurs ; elle est renforcée par un huissier qui contrôle que tout se déroule selon les règles acceptées par tous.
Si la pièce est tombée sur FACE, le lendemain (le lundi) on réveille Belle et on a un entretien avec elle. Si c’est PILE, on la réveille le lundi, on a un entretien avec elle, puis on la rendort après l’avoir soumis à un traitement qui lui fait complètement oublier la journée du lundi. Enfin, toujours dans le cas de PILE, on la réveille à nouveau le mardi (elle ignore qu’on est mardi) et on a un autre entretien avec elle.
Ces expériences doivent mesurer le bon sens probabiliste de Belle. À la fin d’un entretien, on lui demande quelles probabilités, Pr(FACE) et Pr(PILE), elle attribue au tirage réalisé le dimanche soir, alors qu’elle était endormie?
Belle réfléchit : «La pièce est normale et l’huissier qui contrôle le déroulement des opérations me garantit que le résultat obtenu par ce tirage à pile ou face détermine la suite des opérations conformément au protocole : un réveil le lundi si FACE, un réveil le lundi et un autre le mardi si PILE.À chaque réveil je n’aurai aucune information en plus de celles dont je disposais le dimanche soir avant que la pièce ne soit lancée.
Avant de m’endormir dimanche, j’attribuais la probabilité 1/2 à FACE et à PILE ; donc, quand je suis réveillée lors de l’expérience, je dois attribuer la même probabilité 1/2 à chaque éventualité.
Ma réponse est donc : 1/2 pour FACE, et 1/2 pour PILE.» La démonstration semble irréprochable. Et pourtant…

La réponse a surpris mon sens commun et il semblerait que je ne sois pas le seul.

Patrick

[invite8ef897e4]

Tu considères l'évènement "le tirage a donné pile" (ou face), tandis que je considère l'évènement "le tirage a donné pile et on réveille la Belle", qui se produit deux fois plus souvent que l'évènement complémentaire "le tirage a donné face et on réveille la Belle".

Je repond a la question posee, non pas a l'interpretation que l'on peut faire en considerant le titre de la conversation

évaluer les probabilités de pile ou de face

n'est pas la meme chose que

À la fin d’un entretien, on lui demande quelles probabilités, Pr(FACE) et Pr(PILE), elle attribue au tirage réalisé le dimanche soir, alors qu’elle était endormie

La seconde version est explicitement conditionelle, elle porte sur un resultat passe evalue a un autre moment, alors que la premiere n'est pas conditionelle.

[invite6754323456711]

Tu considères l'évènement "le tirage a donné pile" (ou face), tandis que je considère l'évènement "le tirage a donné pile et on réveille la Belle", qui se produit deux fois plus souvent que l'évènement complémentaire "le tirage a donné face et on réveille la Belle".

On change l'énoncé

Lorsque PILE tombe, le laboratoire ne propose le pari que le lundi et, toujours dans le cas de PILE, lorsque Belle est réveillée le mardi, on a avec elle l’entretien prévu, mais on ne lui propose aucun pari. Lorsque FACE tombe on opère comme précédemment avec un réveil lundi et un pari.

Tout y est exactement identique au moment où on l’interroge sur son évaluation des probabilités.

Dans ce cas 1/2 - 1/2 ou 1/3 - 2/3 ?

Patrick

[invite8ef897e4]

Tout y est exactement identique au moment où on l’interroge sur son évaluation des probabilités.

Reponse pour ce pari : 1/3 et 2/3. De meme, une autre formulation (si j'arrive a suivre) pour laquelle la reponse devrait etre 1/3-2/3 : quelles sont les probabilites respectives pour pile et pour face lorsque l'on demande a la Belle sous les hypotheses du message #1 ou #9 ? Cette formulation aussi est conditionelle et resolue par l'observation des frequences comme le fait Pi2001. Tout ceci toujours sous l'hypothese que la piece est equilibree, et donc par definition que les probabilites inconditionelles pour pile et pour face son 1/2-1/2. C'est mieux ? (question equivalente : je suis moins penible ? reponse possible : "arrete d'essayer de copier Michel ! ")

Et dans le meme genre (il me semble) : on a trois boites, l'une seulement contient le tresor. On vous demande laquelle. Une fois votre reponse donnee, on vous indique l'une des boites vides parmi celles que vous n'avez pas choisies. Apres cette indication, gardez-vous votre choix initial, ou bien en changez-vous ?

[invitee0b658bd]

bonjour,
je vais surement dire une betise, mais 1/2 - 2/3 ?
fred

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Il faut rendre à César ce qui appartient à César. Je laisse donc la parole à Jean-Paul Delahaye

 Cliquez pour afficher

http://www.anthropic-principle.com/p.../delahaye2.pdf

En ce qui me concerne j'ai du mal à voir la probabilité conditionnelle dans le premier énoncé.

Patrick

[invite8ef897e4]

Lorsque PILE tombe, le laboratoire ne propose le pari que le lundi et, toujours dans le cas de PILE, lorsque Belle est réveillée le mardi, on a avec elle l’entretien prévu, mais on ne lui propose aucun pari. Lorsque FACE tombe on opère comme précédemment avec un réveil lundi et un pari.

Ah j'ai mal lu ! J'ai cru que dans le cas de FACE, on fait le pari lundi et mardi, alors que dans le cas de PILE on ne fait le pari que le lundi, juste le mardi on a un entretien sans pari le mardi. Si l'on ne fait qu'un seul pari pour PILE et un seul pour FACE, independamment des entretiens eux-memes, alors la reponse au pari pour la frequence des apparitions PILE-FACE est 1/2-1/2.

[invite6754323456711]

bonjour,
je vais surement dire une betise, mais 1/2 - 2/3 ?
fred

La somme est supérieure à 1

Patrick

[invite6754323456711]

Et dans le meme genre (il me semble) : on a trois boites, l'une seulement contient le tresor. On vous demande laquelle. Une fois votre reponse donnee, on vous indique l'une des boites vides parmi celles que vous n'avez pas choisies. Apres cette indication, gardez-vous votre choix initial, ou bien en changez-vous ?

Dans ce cas la probabilité conditionnelle apparait clairement. Si on maintient son choix sa probabilité de gagner est de1/3 sinon elle est de 2/3 lorsque l'on change.

Patrick

[invitee0b658bd]

bonjour

La somme est supérieure à 1

Patrick

oui c'est bien cela qui m'inquiétait quand je disais que j'allais dire une bètise et je n'avais pas clairement fait le tri entre l'instant des évaluations et celui des diverses décisions de "pari".
bien que ce soit fondamentalement different,cela pourrait évoquer quelque chose de "quantique", la probalité estimée change quand on demande de l'exprimer...
(bien sur aprés réflexion les règles du jeu sont suffisantes pour expliquer cela)
fred

[invite6754323456711]

Tu considères l'évènement "le tirage a donné pile" (ou face), tandis que je considère l'évènement "le tirage a donné pile et on réveille la Belle", qui se produit deux fois plus souvent que l'évènement complémentaire "le tirage a donné face et on réveille la Belle".

Le tirage est pourtant fait qu'une seule fois le dimanche soir et la pièce a une probabilité de 1/2 de tomber sur pile ou face et non 2/3 - 1/3. L'introduction de l'enjeu financier (Si Belle indique correctement le résultat du lancer du dimanche soir, elle gagne 1000 euros ; si elle se trompe, elle n’a rien.) n'est plus le même problème et il est bien sur clair, dans ce cas ,qu'il faut mieux répondre pile car la fréquence de l'interrogation (au réveil) est double de celle de face.

Patrick

[invite6754323456711]

Le tirage est pourtant fait qu'une seule fois le dimanche soir et la pièce a une probabilité de 1/2 de tomber sur pile ou face et non 2/3 - 1/3. L'introduction de l'enjeu financier (Si Belle indique correctement le résultat du lancer du dimanche soir, elle gagne 1000 euros ; si elle se trompe, elle n’a rien.) n'est plus le même problème et il est bien sur clair, dans ce cas ,qu'il faut mieux répondre pile car la fréquence de l'interrogation (au réveil) est double de celle de face.

En fait je crois comprendre l'ambiguïté. Si la question ne porte pas sur le gain mais seulement sur la probabilité de la pièce à tomber sur pile ou face la réponse est 1/2.

Maintenant si on introduit un gain sachant que pour pile la fréquence d'interrogation est double la réponse pour optimiser le gain est donc pile.

Patrick

[invite8ef897e4]

Maintenant si on introduit un gain sachant que pour pile la fréquence d'interrogation est double la réponse pour optimiser le gain est donc pile.

Cela est du au fait que le gain n'est pas directement lie au tirage de la piece, mais biaise par une condition explicitement non-uniforme, du style "si c'est face on parie deux fois". Je trouvais l'exemple des boites moins trivial, meme s'il etait plus clairement formule.

[Pio2001]

En fait je crois comprendre l'ambiguïté. Si la question ne porte pas sur le gain mais seulement sur la probabilité de la pièce à tomber sur pile ou face la réponse est 1/2.

Pourtant c'est pareil. Ce qui se passe, c'est que la Belle dispose d'informations supplémentaires pour savoir si c'est pile ou face : on lui pose la question.

Si on ne lui demandait jamais rien, elle ne pourrait que dire 1/2 - 1/2. Mais quand elle voit quelqu'un arriver, elle en déduit que c'est probablement pile qui est tombé. Elle sait très bien qu'on ne va pas venir la déranger quand c'est face. Cela a été convenu avec elle au départ.

Je trouvais l'exemple des boites moins trivial, meme s'il etait plus clairement formule.

Moi aussi, l'exemple des boîtes me trouble plus.
L'astuce, c'est qu'on nous donne une information qui concerne les deux boîtes qu'on n'a pas choisies, et aucun information sur celle qu'on a choisie.
Or il vaut mieux choisir parmi les boîtes sur lesquelles on sait quelque chose que parmi les boîtes dont on ne sait rien.

Quand au paradoxe de l'apocalypse, je n'ai pas encore bien compris le truc. Faudra que je révise.

[invite6754323456711]

Pourtant c'est pareil.

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La pièce a pourtant une probabilité de 1/2 de tomber sur pile ou face indépendamment de toute situation extérieure liée à notre "conscience".

Ce qui change, il me semble, c'est le protocole que l'on se donne et donc comme tu la fait remarqué l'évènement que l'on prend en considération. La formulation de l'énigme laisse croire que l'évènement que l'on cherche a prendre en compte est la probabilité que la pièce tombe sur pile ou face.

Le cas des boites s'apparente plus aux cas d'école que l'on nous faisait faire. Si on ne fait rien cela correspond à la même probabilité (1/3) de désigner la bonne boite lorsque les trois sont fermées. Si on change l'événement devient contraire et donc la probabilité complémentaire est 2/3.

Patrick