L'Horloge: le mystère des aiguilles qui se superposent. Les calculs !

[invite8eb9a26e]

Bonjour, j'ai lu un topic donc j'ai déjà perdu le lien je crois.. où quelqu'un demandait "Combien de fois les trois aiguilles d'une horloge se superposent-ils".

A ça répondait la chimie amusBOUM par:

En fait il faut s'imaginer 3 sinusoides

1. Sin(x) (heures)
2. Sin(x*60) (minutes)
3. Sin(x*3600) (Secondes)

Et a chaque corisement des 3 au meme point,c'est la ou elles se superposent

Et qu'est-ce que représente x ? Pourquoi ces calculs précis ?

________________________

Enfin, suffirait-il donc, pour savoir quand les aiguilles principales (heures et minutes) se superposent de tracer la sinusoide des minutes et des heures (étrangement, pour ça je trouve Sin(t*(-2(pi)/43200) pour les heures, Sin(t*(-2(pi)/3600) pour les minutes. ) ?

Sinon, j'avais aussi pensé à faire en plus les cosinus des même fonctions, et au point où sin(t*(-2(pi)/43200)=sin(t*(-2(pi)/3600) ; cos(t*(-2(pi)/43200)=cos(t*(-2(pi)/3600) pour un même abscisse, alors la valeur de cet abscisse est le temps t en seconde auquel se rencontre les deux aiguilles.

Vrai/Faux ? Si vrai, alors comment calculer ces résultat algébriquement ?

Autre méthode, serait de calculer t*(-2(pi)/43200 = t*(-2(pi)/3600 et trouver les "points de rencontre" à 2(pi) près.
Mais encore là se pose le problème, ça ne peut être résolu algébriquement, et encore une fois: comment faire ?

Merci de votre aide
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[invite29cafaf3]

Bonjour

Une fois par heure, quel que soit le nombre d'heures.

[SunnySky]

@ Bayeux:

Je crois que cette façon de calculer est inexacte. Par exemple, elle indiquerait une superposition vers 11:05 car les aiguilles seraient à la même hauteur et auraient donc le même sinus.

@ pelkin:

Pas tout à fait. Évidemment, il y aura superposition à 00:00:00. Mais on peut voir facilement que la prochaine superposition aura lieu vers 01:05. En fait, si je ne me trompe pas, il y aura superposition à toutes les 65 ⁵/₁₁ minutes.

[invite8eb9a26e]

@ Bayeux:

Je crois que cette façon de calculer est inexacte. Par exemple, elle indiquerait une superposition vers 11:05 car les aiguilles seraient à la même hauteur et auraient donc le même sinus.

Faux, à 11h05, l'aiguille des heures est plus hautes que "11". En revanche, il est exacte qu'il y aura des "trucs" dans le genre "11h05" (même si c'est faux ici).

Mais en prenant les cosinus égaux en compte aussi, ça devrait être bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite29cafaf3]

@ pelkin:

Pas tout à fait. Évidemment, il y aura superposition à 00:00:00. Mais on peut voir facilement que la prochaine superposition aura lieu vers 01:05. En fait, si je ne me trompe pas, il y aura superposition à toutes les 65 ⁵/₁₁ minutes.

J'ai dit une fois PAR heure, je n'ai pas dit que l'intervalle était égal.
Bref, 12 fois sur 12 heures (écoulées), 24 fois sur 24 heures (écoulées), 3 fois sur trois heures (écoulées).

[curieuxdenature]

Bonjour

si on considère que les aiguilles sont infiniment fines et que la rotation est continue (sans bonds comme dans les horloges de gares où certaines passent directement de 1h à 2h... après 1h59) alors il n'y a que la date d'origine qui offre un croisement des 3 aiguilles.
Soit 0h00:00 et 12h:00:00

Dans tous les autres croisements on a l'aiguille des heures qui est toujours en avance sur le croisement minutes-secondes.

Un petit exemple:
au croisement de 6h 32m 32.5423728813559s
l'aiguille des minutes et des secondes sont superposées mais celle des heures est en très légère avance.

Aiguille des heures : est à 6.5423728813559
aiguille de minutes et des secondes : sont à 32.5423728813559

mais la fraction 0.5427... pour les heures n'est pas égale à celle des minutes puisque 0.5427... de 1/12 ne vaut pas 0.5427 de 1/60

la coincidence des aiguilles minutes et secondes suit la règle x=60/59
c'est-à-dire que c'est à 1mn 1.016949... sec qu'elles se croisent.
A 1 seconde l'aiguille des minutes a très légérement tourné ce qui oblige la trotteuse à avancer encore un peu.

La preuve en pièce jointe :

[invite36e4dbaa]

Il faudrait revoir le problème en tenant compte de la technologie actuelle de fabrication de certaines montres :
le déplacement des aiguilles des minutes : toutes les 20 secondes de 2°
le déplacement des aiguilles des heures : toutes les minutes de 30"
le déplacement des aiguilles des secondes : toutes les secondes de 6°

Et ne pas se mélanger les pinceaux entre les unités d'angles (°,',") et les unités de temps (h, min, s).
Là, il ya des plages communes de positions des aiguilles.
Mais je manque de temps pour continuer mon post...

[invite29cafaf3]

Bonsoir,

Soyons sérieux, il me semblait évident que le mouvement des aiguilles était vu comme continu !
Sinon on va devoir se farcir toute l'industrie horlogère depuis les mécaniques manuelles, les automatiques, les montres à quartz ... LOL

Bonne soirée (et joyeux réveillon à tous) .... à minuit vous aurez la conjonction de la grande aiguille, de la petite aiguille et, cerise sur le gâteau, de la trotteuse .... faites un voeu

[invite36e4dbaa]

Si le mouvement est continu, il n'y a qu'à 00 h 00 min 00 s que la coïncidence existe.
Sérieusement.
Curieuxdenature l'a démontré pour une position de coïncidence des deux aiguilles principales, et cela doit être la même chose pour les dix autres positions de coïncidence de ces deux mêmes aiguilles.

[invite29cafaf3]

Si le mouvement est continu, il n'y a qu'à 00 h 00 min 00 s que la coïncidence existe.
Sérieusement.

Meuh non, sérieusement !

[invite36e4dbaa]

Si vous n'acceptez que l'hypothèse du déplacement continu des aiguilles, il est aisé de voir par le calcul les moments de superposition de l' aiguille des heures avec celle des minutes.
Comme l'aiguille des heures parcourt un tour de cadran (rotation de 360 °) en 12 h et que l'aiguille des minutes dans la même durée aura effectué 12 tours de cadran, il y aura eu à la fin de ces 12 heures exactement 13 superpositions de ces deux aiguilles, la première à 0 h 00 min 0s et la 13ème à 12 h 00 min 00 s.

Les horaires exacts de superposition des 11 autres "contacts" se répartissent équitablement sur les 360° de l'horloge circulaire, donc un contact tous les 360/11 ème de degré.

Si l'on ramène ce nombre en écriture décimale, cela n'a pas de signification suffisante pour discuter sur la position de l'aiguille de la trotteuse.

Par contre si l'on utilise les nombres sexagésimaux, on visualise mieux mentalement cette position.

360° de cadran correspondent à 60 min de durée.
360/11 de cadran correpondent donc à 60/11 ème de min donc à 5 min 27s 3/11s exactement.
Il est essentiel d'introduire une fraction dans l'écriture sexagésimale du résultat pour avoir le résultat exact de la division. Le quotient n'est en effet ni un nombre décimal, ni un nombre sexagésimal d'ailleurs.
A partir de là, c'est facile de déterminer les instants précis de superposition des aiguilles des heures et des miniutes :
00 h 00 min 00 s
01 h 05 min 27 s 3/11 s
02 h 10 min 54 s 6/11 s
03 h 16 min 21 s 9/11 s
04 h 21 min 49 s 1/11 s
05 h 27 min 16 s 4/11 s
06 h 32 min 43 s 7/11 s
07 h 38 min 10 s 10/11 s
08 h 43 min 38 s 2/11 s
09 h 49 min 05 s 5/11 s
10 h 54 min 32 s 8/11 s
12 h 00 min 00 s

Si vous examinez bien ces résulats, vous constaterez que les nombres des minutes ne sont égaux aux nombres de secondes que dans deux cas : 00 h et 12 h.

Aucune difficulté arithmétique sérieuse la-dedans.

[curieuxdenature]

Bonjour dgidgi

perso j'avais un doute à propos de mes propres conclusions* mais non, calculs précis refaits on ne peut admettre une coincidence des 3 aiguilles qu'en admettant des aiguilles grossièrement arrondies.
Avec le pouvoir séparateur de notre oeil assez grossier, à bonne distance, on peut admettre, 1h05:05; 2h10:10;...; 11h59:59.9999... comme croisements.

A 1:05:05s on a 3/10 eme de seconde d'écart entre la pointe de l'aiguille des minutes et celle des heures. Cela fait quasiment 2° d'angle d'écart.

A l'oeil les plus proches sont 8:43:43.72881 et 3:16:16.271186
Mais bon, c'est un problème amusant en effet.

* en Visual Basic on n'a que 15 décimales de précision.

[invite36e4dbaa]

@ curieuxdenature :
les approximations ne sont pas acceptables mathématiquement parlant.
Encore une fois, lorsque l'aiguile des heures coïncide avec l'aiguille des minutes, on est aux instants que j'ai donné, et à ces instants là, l'aiguille des secondes est loin, en tous cas elle ne coïncide pas avec les deux autres.
Exemple :
à la cojonction 01 h 05 min 27 et3/11 s, laiguille des heures et l'aiguille des minutes sont vers 5 min (azimut 30 ° en orientation ) alors que l'aiguille des secondes trotte vers 27 s (27 et 3/11 s) : azimut environ 162 °.
Donc l'aiguille des secondes est loin des deux autres qui elles coïncident.

Il me semble plus simple de calculer les instants de coïncidence ou de conjonction des aiguilles d'heures et de minutes et de regarder ce que fait l'aiguille des secondes à cette conjonction.

Dernière remarque : les instants de conjonction ne sont pas donnés par des nomnbres à virgule (à cause de la division par 11), il faut utiliser une fraction pour avoir le quotient exact.
Tout nombre à virgule n'est qu'une valeur approchée, donc est faux.

[stefjm]

Dernière remarque : les instants de conjonction ne sont pas donnés par des nomnbres à virgule (à cause de la division par 11), il faut utiliser une fraction pour avoir le quotient exact.
Tout nombre à virgule n'est qu'une valeur approchée, donc est faux.

Ben, il n'y a qu'à exprimer le résultat en base 11 et il n'y aura plus de problèmes... (Si problème il y avait?)

[curieuxdenature]

Il me semble plus simple de calculer les instants de coïncidence ou de conjonction des aiguilles d'heures et de minutes et de regarder ce que fait l'aiguille des secondes à cette conjonction.

Dernière remarque : les instants de conjonction ne sont pas donnés par des nomnbres à virgule (à cause de la division par 11), il faut utiliser une fraction pour avoir le quotient exact.
Tout nombre à virgule n'est qu'une valeur approchée, donc est faux.

Bonjour

chacun sa méthode, je pense que tu fais à partir des sinusoides tracées à plat, moi je pars de la conjonction des aiguilles des minutes avec celle des secondes.
A chaque minute la coincidence correspond exactement à t = x*59/60 (=1+1/60+1/60²+1/60³+...)
ainsi quelque soit l'heure étudiée on est en mesure de prévoir la conjonction triple la plus évidente.
Est-ce bien utile de rappeller que l'aiguille des secondes ne fait pas des bonds mais est entrainée de manière continue, ce qui implique la même chose pour les 2 autres. L'approche infinitésimale ne me semble donc pas plus idiote.

[JPL]

Est-ce bien utile de rappeller que l'aiguille des secondes ne fait pas des bonds mais est entrainée de manière continue, ce qui implique la même chose pour les 2 autres.

C'est toi qui le dis, mais il suffit de regarder le cadran d'un réveil ou d'une montre analogiques pour voir que c'est totalement faux dans l'immense majorité des cas.

[invite36e4dbaa]

Bonjour

chacun sa méthode, je pense que tu fais à partir des sinusoides tracées à plat, moi je pars de la conjonction des aiguilles des minutes avec celle des secondes.

Salut.
Je ne sinusoïde rien du tout.
Je pose des divisions à la main.
Plus personne ne sait diviser à la main.
60 min /11 cela se calcule à la main.
Chaque reste doit être multiplié par 60 pour pouvoir passer au sous multiple suivant :
60 = 11 *5 + 5

Le reste de 5 donne 5* 60 = 300 s

300 = 11 *27 + 3

Les 3 qui restent sont bien une fraction : 3/11

d'où :
60 min /11 = 5 min 27 s 3/11 s.

Aucun logiciel n'est programmé dans le commerce pour faire cela.
Le cerveau, he can, yes.
Ca, je trouve marrant.

Entendons nous : je n'ai fait que démontrer que les triples coïncidences ou superpositions non triviales (0 h) n'existent pas.

Cela étant dit, le terme conjonction est bien agréable, si on fait l'analogie avec l'astronomie ; l'angle de la conjonction triple n'est pas nul, il faut le calculer de la manière la plus appropriée, et c'est un problème totalement différent que celui que j'ai traité.

Calculer les angles les plus faibles à la conjonction triple (ex 1 h 5 min 5 s) peut se faire, de manière plus précise, sans trigo, avec des équations de droites et des points d'intersections (pb du premier degré), mais c'est un autre problème.

Quant au problème de la discontinuité du déplacement des aiguilles, gardons cela pour plus tard....

[curieuxdenature]

C'est toi qui le dis, mais il suffit de regarder le cadran d'un réveil ou d'une montre analogiques pour voir que c'est totalement faux dans l'immense majorité des cas.

Bonjour

alors c'est qu'on t'a refilé une Rolex de contrebande.

Blague à part, je m'étais évidement placé dans le contexte d'un entrainement par un moteur sans à-coup.

[curieuxdenature]

Quant au problème de la discontinuité du déplacement des aiguilles, gardons cela pour plus tard....

Bonjour dgidgi

tu auras compris que je parlais d'une horloge qu'on programme à partir de la base de temps du système. Elle est précise au 1000eme de seconde, c'est pour ça que j'ai pu pinailler. Dans la réalité, comme le souligne JPL il n'y a quère que les Rolex pour avoir une trotteuse avec un mouvement fluide.

Sur ce, je vous souhaite à tous un bon réveillon et amusez-vous bien.

[JPL]

Tout ce que je possède chez moi a une trotteuse qui avance seconde par seconde.

Qui a dit que si on n'avait pas une Rolex à 40 ans on avait raté sa vie ? Donc la mienne est un gros

[invite36e4dbaa]

Je profite de l'approche de la prochaine conjonction parfaite pour présenter mes meilleurs voeux à tous.
On ne remerciera jamais assez Bayeux d'avoir lancé ce sujet.

[invite8eb9a26e]

Mais si, vous l'avez fait en montrant comment calculer tout ça. Et puis des merci, s'comme les bonne années, au bout d'un moment ça nous monte à la tête

Qui a dit que si on n'avait pas une Rolex à 40 ans on avait raté sa vie ?.

Un politicard sur LCI.

60 min /11 cela se calcule à la main.
Chaque reste doit être multiplié par 60 pour pouvoir passer au sous multiple suivant :
60 = 11 *5 + 5

Le reste de 5 donne 5* 60 = 300 s

300 = 11 *27 + 3

Les 3 qui restent sont bien une fraction : 3/11

d'où :
60 min /11 = 5 min 27 s 3/11 s.

Par compte, je n'ai pas compris l'approche, pourquoi ces calculs-ci ? Pourquoi 11? :/

[invite36e4dbaa]

division par 11 car il y a 11 intervalles de durées égaux qui partagent exactement le tour du cadran de l'horloge.

Quand l"aiguille des minutes fait 12 tours complets, l'aiguille des heures fait un tour complet.
L'aiguille des minutes a donc fait 12 - 1 = 11 tours de plus que celle des heures, elle l'a bien doublée 11 fois.

[invite36e4dbaa]

.
A partir de là, c'est facile de déterminer les instants précis de superposition des aiguilles des heures et des minutes :
00 h 00 min 00 s
01 h 05 min 27 s 3/11 s
02 h 10 min 54 s 6/11 s
03 h 16 min 21 s 9/11 s
04 h 21 min 49 s 1/11 s
05 h 27 min 16 s 4/11 s
06 h 32 min 43 s 7/11 s
07 h 38 min 10 s 10/11 s
08 h 43 min 38 s 2/11 s
09 h 49 min 05 s 5/11 s
10 h 54 min 32 s 8/11 s
12 h 00 min 00 s

Si vous examinez bien ces résultats, vous constaterez que les nombres des minutes ne sont égaux aux nombres de secondes que dans deux cas : 00 h et 12 h.

.

Cette liste qui donne les valeurs exactes des instants de conjonction heures minutes permet aussi de déterminer comment rechercher les instants exacts et l'angle que forment les trois aiguilles au moment des triples conjonctions, heures, minutes et secondes.

On voit ainsi que c'est la conjonction heures-minutes de 7h 38 min 10s 10/11s qui est la plus éloignée de la conjonction triple qu'elle précède : la conjonction triple en question aura lieu aux environs de 7 h 38 min 38 s soit 28 s plus tard environ. Un calcul approché grossier donnera un angle minimal entre les aiguilles alors de un peu moins de 3°.

Inversement, on voit que c'est la conjonction heures-minutes de 8h 43 min 38 s 2/11 s qui est celle qui est la plus proche de la conjonction triple qu'elle précède aussi aux environs de 8 h 43 min 43 s soit aux environs de 5s plus tard.
Le même calcul grossier donne un angle minimal de 30", ou 30 secondes (d'angle), c'est à dire un demi-degré.

Les calculs précis des instants de conjonction triple (exprimés en 719 èmes de seconde de durée) et d'angles minima formés par les trois aiguilles ne sont pas compliqués (équation de droites et coordonnées des points d'intersection), mais assez fastidieux (ça , c'est moins ludique), mais le bon sens (élémentaire, quand on parle d'aiguilles de montre) nous laisse donc conclure, qu'en dehors des conjonctions triples parfaites (0 h 00 min 00 s) les autres conjonctions triples sont imparfaites et laissent voir des angles variant d'environ 30" à moins de 3°, angles minimaux formés par les trois aiguilles au moment de la conjonction triple.

Les trois aiguilles qui se superposent, c'est donc une illusion d'optique, sauf à midi ou à minuit.

Désolé si le mythe est cassé.

[invite36e4dbaa]

Je comprends le peu d'intérêts ou de relances sur ce post : en fait Bayeux a un dm à rendre pour le 4 janvier, et les questions qu'il pose à droite ou à gauche :


Re : DM de Maths à rendre pour le 4 Janvier 2010

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Bonjour.
J'ai un DM de math à rendre pour la même date qui se trouve être le même, en même temps, étant dans la même classe.. Normal.

Bref, tout ce qui avait été écrit dans ce topic, j'avais tout capté. Ainsi, avec le temps t par seconde, cela fait pour la petite aiguille:
t*(2(pi)/43200) car il y a 43200 secondes dans douze heures, soit un tour entier d'horloge, ou 2(pi)
Pour la plus grande: t*(2(pi)/3600) Car il y a 3600 secondes dans une heure, soit un tour entier d'horloge, ou 2(pi).

Le problème étant de résoudre l'équation t*(2(pi)/43200) = t*(2(pi)/3600) avec t =/= 0 ...
A 4(pi), comment faire pour considérer que 4(pi) = k2(pi) ?

Shade_ vous remercie de votre aide !



ne corresponde pas forcément à ce qu'il attend.
En particulier, je me demande si on l'interrogeait réellement sur les superpositions de trois aiguilles.
Je pense qu'on ne le questionnait que sur des superpositions de deux aiguilles, heures et minutes.
Tout cela est plus ou moins marrant.

[stefjm]

Un politicard sur LCI.

Un publicitaire plutôt non?
Et c'est pas à 40 ans qu'on a raté sa vie si on n'a pas de Rolex, c'est à 50 ans!

Merde, faut être précis!

Et le luxe, ce n'est pas d'avoir une Rolex, c'est de se permettre d'en perdre une par jour sans que cela impacte le budjet...

[black adder]

Salut,
Dites j'ai une question bête. Vous avez donc démontré brillament qu'on n'avait des conjonctions parfaites des 3 aiguilles seulement à 0h et à 12h. Mais il s'agit d'un cas particulier où toutes les aiguilles partent en même temps. A votre avis, y a t'il des configurations de départ pour lesquelles il n'y aura jamais de conjonction ? Par exemple, si on avance légèrement l'aiguille des secondes ?

[invite36e4dbaa]

A votre avis, y a t'il des configurations de départ pour lesquelles il n'y aura jamais de conjonction ? Par exemple, si on avance légèrement l'aiguille des secondes ?

Après, c'est la montre qui n'est plus juste.
Mais il suffit de décaler l'aiguille des secondes d'un nombre qui ne soit pas l'une des onze différences exactes entre une double conjonction heures- minutes et la conjonction secondes- heures la plus proche de cette conjonction heures-minutes (c'est lors de cette conjonction heures-secondes que l'angle des trois aiguilles est minimal), et on n'aura jamais de triple conjonction exacte.

Attention au sens des mots : conjonction en astronomie signifie rapprochement très proche, c'est pour cela que je préfère conjonction exacte pour la triple superposition.

Il y a donc une infinité de valeurs possibles. Mais cela veut dire que la montre est déréglée.

[black adder]

D'accord, merci pour cette réponse claire ! Et désolé pour le sens des mots, je pensais à conjonction exacte bien sûr !