La magie des nombres complexes

[invite6754323456711]

Bonjour,


Si on s'intéresse à la convergence des séries de puissances telles que !
1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ...

On peut écrire le résultat pour le somme complète 1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = (1 - x²)^-1

Pour x = 2 la série converge vers (1 - 4)^-1 = -1/3 mais en additionnant simplement les termes de la série, nous n'arrivons pas à cette valeur.

En fait je cherche à comprendre comment parvenir à ce résultat alors que nous prenons une somme de grandeurs positives, et -1/3 étant négatif ?

Patrick
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[Calvert]

Salut !

Les séries géométriques ne sont-elles pas convergente seulement pour des raisons inférieures à 1 ? La raison étant ici x², elle ne converge que pour des valeurs de x < 1.

[invite6754323456711]

Salut !

Les séries géométriques ne sont-elles pas convergente seulement pour des raisons inférieures à 1 ? La raison étant ici x², elle ne converge que pour des valeurs de x < 1.

si x est un nombre complexe la solution est donc 1/3 i² ?

Dans le plan complexe, la fonction (1 -z²)^-1 possède un cercle de convergence dont les pôles sont z = +-1 ?

Patrick

[invité576543]

Les séries géométriques ne sont-elles pas convergente seulement pour des raisons inférieures à 1 ?

Dans l'ensemble des réels, oui.

Mais l'égalité qu'indique ù100fil peut être vue comme une égalité formelle, qui peut être correcte dans certains cas (certains espaces, certaines valeurs) mais pas dans d'autres.

Par exemple, dans les 2-adiques , la suite converge et il est licite d'écrire

1 + 2² + 2⁴+ ... = -1/3


Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Si mes souvenirs sont bons, dans le corps des complexes, la série géométrique converge seulement si la raison a une norme < 1.
De toute manière, ton exemple avec x=2 a une raison > 1, donc la série diverge et le résultat pour la série convergente ne s'applique pas.


EDIT : croisement avec Michel...

[invité576543]

si x est un nombre complexe la solution est donc 1/3 i² ?

Non, la série diverge dans C

Dans le plan complexe, la fonction (1 -z²)^-1 possède un cercle de convergence dont les pôles sont z = +-1 ?

la fonction possède un domaine de définition qui C-{-1, 1}, et possède deux pôles. Il n'y a pas de notion de "convergence" quand on parle de la fonction.

Ensuite, la fonction coïncide avec la série sur le disque |z|<1, mais cela ne veut pas dire qu'elles sont égales!

Dans C, la fonction est un prolongement analytique de la série, c'est tout ce qu'on peut dire.

Cordialement,

Edit: Croisement de croisement

[invite6754323456711]

Bonjour,

Plus de précision sur mon interrogation.

Ces vacances je me suis offert le livre de Roger Penrose "A la découverte des lois de l'univers" dans lequel il évoque :

L'équation 1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + 2⁸ + ... = (1 -2²)^-1 = - 1/3 a-t'elle un sens ? Le Mathématicien Leonhard Euler utilisa à maintes reprise de telles aquations, à tel point qu'il était devenu d'usage de la taquiner sur le fait qu'il s'attarde sur de telles absurdités. Nous pouvons aujourd'hui l'excuser tout à fait, sachant qu'à cette époque ,la question de convergence des séries n'était pas bien comprise.

....

Celle-ci n'a pas de solution réelle; et pourtant, si nous étions resté là, nous serions passé à cotés de toute la profondeur du monde que nous ouvrent les nombres complexes.
...

en fait il est tout à fait possible de donner un sens mathématiques au résultat "- 1/3" de la série infinie ci-dessus, à condition de préciser les règles avec soins de ce qui est permis et ce qui ne l'est pas. Je n'ai pas l'intention de définir avec soin tout cela en détail .. mais il est important de noter que dans la physique moderne et plus particulièrement dans le domaine de la théorie quantique des champs, nous rencontrons fréquemment de telles séries divergentes

Malheureusement il n'en dit pas plus d'où mon interrogation.

Patrick

[invité576543]

A ce que j'en comprends, c'est bien la notion de prolongement analytique est sous-jacente.

Imaginons qu'on découvre un phénomène physique qui se modélise, pour une petite perturbation x à partir d'une situation de référence comme 1+x²+x⁴+...

On ne connaît alors la fonction que localement, au voisinage de la situation de référence. Prolonger la fonction à 1/(1-x²) peut très bien avoir un sens physique, ce n'est absolument pas interdit par le modèle!

Cordialement,

[JPL]

Est-ce bien sa place en Science ludique ?

[invite6754323456711]

A ce que j'en comprends, c'est bien la notion de prolongement analytique est sous-jacente.

Imaginons qu'on découvre un phénomène physique qui se modélise, pour une petite perturbation x à partir d'une situation de référence comme 1+x²+x⁴+...

On ne connaît alors la fonction que localement, au voisinage de la situation de référence. Prolonger la fonction à 1/(1-x²) peut très bien avoir un sens physique, ce n'est absolument pas interdit par le modèle!

Cordialement,

Qu'elle est la différence entre la série s = 1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = 1 + x² (1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ...) = 1 + x² s

et la fonction qui se déduit de l'égalité s = 1 + x² s ==> s = 1/(1 - x²) et qui est défini partout sauf pour |x| = 1 ?

L'exemple (x = 2, donnant -1/3) est de nouveau cité dans les intégrales de chemin divergentes (stratégie de Feynman)

Patrick

[invite6754323456711]

Est-ce bien sa place en Science ludique ?

Je pensais la réponse ludique d'une somme infinie d'éléments positifs donnant un resultat négatif.

Patrick

[JPL]

Ma "crassitude" en math explique que je n'avais pas perçu cet aspect ludique (de fait il est exact que je suis pathologiquement imperméable à l'humour qui se cache - profondément à mes yeux - dans les maths : ).

[invité576543]

Qu'elle est la différence (...)

Je ne comprends pas la question. Ton égalité est formelle, elle est indépendante de l'espace. Ce qui ne veut pas dire qu'elle est valable dans tous les espaces, mais qu'elle est valable dans tous ceux où les objets sont bien définis.

Si j'écris 2x=1 => x=1/2, c'est vrai formellement (et donc vrai dans tous les espaces où toutes les notions et les objets sont définis comme il faut), mais cela n'a aucun sens dans les entiers, parce que cela parle d'objets n'existant pas. Où est le problème?

L'exemple (x = 2, donnant -1/3) est de nouveau cité dans les intégrales de chemin divergentes (stratégie de Feynman)

Ce qui est en ligne avec mon interprétation.

Les sommes apparaissant dans les intégrales sont trouvées "localement", et on étend la théorie par prolongement.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Où est le problème?

Pourquoi la série divergence pour x = 2 mais pas la fonction car elle donne -1/3 ?

Nous avons de même pour 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ... = 1/(1-x)

Patrick

[invité576543]

Pourquoi la série divergence pour x = 2 mais pas la fonction car elle donne -1/3 ?

Prenons un autre exemple, très général.

Localement une fonction Cinfini peut se développer comme

f(x) = somme f⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ/n!

cela ne veut pas dire que la somme converge en dehors d'un voisinage de a. Cela arrive, mais pas toujours. (Et même si elle converge partout, il n'y a pas de raison que le résultat soit égal à f(x) ailleurs que dans un voisinage de a.)

A bien regarder, le cas que tu indiques n'est qu'un cas particulier de ce cas général. (Pour f(x)=1/(1-x²))

Cordialement,

[prgasp77]

Qu'elle est la différence entre la série s = 1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = 1 + x² (1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ...) = 1 + x² s

et la fonction qui se déduit de l'égalité s = 1 + x² s ==> s = 1/(1 - x²) et qui est défini partout sauf pour |x| = 1 ?

L'exemple (x = 2, donnant -1/3) est de nouveau cité dans les intégrales de chemin divergentes (stratégie de Feynman)

Patrick

Bonjour, il me semble que la seule chose que démontre un tel raisonnement est que : "S'il existait un réel (ou complexe) tel qu'il soit la somme des puissances paires de 2, alors ce nombre serait -1/3". Rien ne prouve qu'il existe.

Cordialement.

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Si on trace les graphes des sommes partielles 1, 1 + x², 1 + x² + x⁴, ... Il apparait qu'ils convergent vers le graphe de la fonction f(x) = 1/(1 - x²) avec pour domaine de définition uniquement |x| < 1. La fonction existe pourtant pour le domaine de définition |x| > 1 et est continue, mais inaccessible à la série !!!

Patrick

[invite6754323456711]

Bonsoir

Wolfram Alpha commence à devenir intéressant

http://www52.wolframalpha.com/input/...+1%2F(1+-+x^2)

http://www52.wolframalpha.com/input/...al+log(sin(x))


Patrick

[cacahuete1er]

Bonjour, en lisant ce fil j'ai été assez troublé par la démonstration de ù100fil:

Envoyé par ù100fil Voir le message
Qu'elle est la différence entre la série s = 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + ... = 1 + x2 (1 + x2 + x4 + x6 + x8 + ...) = 1 + x2 s

et la fonction qui se déduit de l'égalité s = 1 + x2 s ==> s = 1/(1 - x2) et qui est défini partout sauf pour |x| = 1 ?

L'exemple (x = 2, donnant -1/3) est de nouveau cité dans les intégrales de chemin divergentes (stratégie de Feynman)

Patrick

En prenant les choses 1 peu différemment on peut éliminer le probleme pour |x|>1.
On pose Sn= 1+x²+....+x²ⁿ=1+x²(Sn-x²ⁿ)
D'où l'égalité Sn=(1-x²ⁿ⁺²)/(1-x²)
En passant a la limite on retrouve le resultat de ù100fil pour x<|1| et sinon on trouve l'infini.
Mon probleme est que je ne trouve pas d'erreur ds le raisonnement de ù100fil ni dans le mien!!!? Ou alors 3=0....

[invite6754323456711]

Bonjour, en lisant ce fil j'ai été assez troublé par la démonstration de ù100fil:

En prenant les choses 1 peu différemment on peut éliminer le probleme pour |x|>1.
On pose Sn= 1+x²+....+x²ⁿ=1+x²(Sn-x²ⁿ)
D'où l'égalité Sn=(1-x²ⁿ⁺²)/(1-x²)
En passant a la limite on retrouve le resultat de ù100fil pour x<|1| et sinon on trouve l'infini.
Mon probleme est que je ne trouve pas d'erreur ds le raisonnement de ù100fil ni dans le mien!!!? Ou alors 3=0....

Il me semble que 1+x²+....+x²ⁿ est différent de 1+x²+....+xⁿ. 2n ne considère que les entiers pairs.

Patrick

[cacahuete1er]

Tout d'abord, je n'ai jamais parlé de l'expression 1+x²+....+xⁿ, qui n'a d'ailleurs aucun sens (bref passons).
Ensuite je n'ai pas de probleme avec le fait que ds certains espaces 1+2²+2⁴+2⁶+.... puisse etre égal à -1/3. Le truc c'est que la démonstration de ù100fil ne fait à aucun moment appel à ce genre d'espace (ou ca m'a échappé).
Autrement dit à la question, résoudre ds |R :
S=1+2²+2⁴.... ce raisonnement nous donne S=-1/3 ???

[invite6754323456711]

Tout d'abord, je n'ai jamais parlé de l'expression 1+x²+....+xⁿ, qui n'a d'ailleurs aucun sens (bref passons).

Ok


Autant pour moi

Patrick

[Universus]

Qu'elle est la différence entre la série s = 1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = 1 + x² (1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ...) = 1 + x² s

et la fonction qui se déduit de l'égalité s = 1 + x² s ==> s = 1/(1 - x²) et qui est défini partout sauf pour |x| = 1 ?

Je réponds avec un grand retard, mais puisque ù100fil a donné ce lien dans un autre fil, j'imagine que la question l'intéresse toujours. «L'erreur» ici est justement d'attaquer des séries (sommes d'infinités de termes) de façon assez peu rigoureuse (mais intuitive), chose que justement Penrose pardonne à Euler dans l'extrait que ù100fil a cité plus tôt.

On peut définir une série comme la suite des sommes partielles d'une suite , notre intérêt étant dans la limite de la série et si possible la valeur de cette limite. Ainsi, rigoureusement, il faut passer par les sommes partielles. Considérons, , étant réel. On peut définir la somme partielle (si , sans quoi l'expression des sommes partielles est simple):



Ainsi on obtient , qui est l'expression donnée par cacahuete1er. Si on fait tendre n vers l'infini, on obtient la limite de la série géométrique pour différent x. Cette valeur ne converge que pour et, d'après ce qu'on a obtenu, converge vers . Néanmoins, la série ne converge pas sur tous les réels et même, si on se permet un abus de langage, ne tend plus vers f(x) en-dehors de l'intervalle . L'erreur d'Euler était donc de jouer avec des séries sans vraiment se préoccuper du fait que l'infinité de termes sommés peut donner des propriétés aux séries que n'ont pas les sommes finies (le théorème de Riemann sur le réarrangement des termes des séries conditionnellement convergentes est particulièrement contre-intuitif!).