Fonction avec des nombres complexes.

[invite621a8f3c]

Bonjour,

J'ai un petit problème sur cet exo, j'ai essayé plusieurs mais rien n'a aboutit pouvez vous me dire comment faut-il svp ?

Enoncé de l'exo:

Soient a et b deux complexes et f la fonction définie sur |R par f ( x ) = | x - a | + | x- b |
Montrer que f admet un minimum sur |R.

Ce que j'ai essayé de faire:

Alors j'ai interprété géométriquement ce que voulais dire la fonction f.

La fonction f représente la somme de deux modules, donc c'est la somme de deux distances.

On note A le point d'affixe a
On note B le point d'affixe b.
On note M le point d'affixe x.

alors |x - a| = AM et | x - b | = BM

Donc f ( x ) = AM + BM (somme de deux distances)

Comment je peux dérivée la fonction f ?

moi mon idée c'est d'étudier cette fonction comme une fonction classique, c'est-à-dire je calcule la dérivée, je dresse la tableau de variation puis je détermine les extremums locaux, et j'aurai ainsi un ou plusieurs minimum. C'est possible de faire ainsi ? La fonction est un peu bizzare pour dérivée....

Comment feriez vous ? pour résoudre cet exo ? ma démarche est correct ?
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Ton problème est de dériver la fonction telle qu'elle est définie :

f ( x ) = | x - a | + | x- b |

Une piste :




Et tu te défais des modules.

[Flyingsquirrel]

Salut,

Une autre possibilité : résoudre ce problème en utilisant la géométrie. Voir ce fil. Les messages 18 et 19 devraient, je pense, te permettre de trouver la (une) solution.

N'hésite pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair.

[Arkangelsk]

Bonjour,

Ton problème est de dériver la fonction telle qu'elle est définie :

Une piste :




Et tu te défais des modules.

Comme ça, on devrait s'en sortir mais c'est peut-être un peu coton au niveau calculatoire.

En fait, tu y étais :

Donc f ( x ) = AM + BM (somme de deux distances)

Comment je peux dérivée la fonction f ?

Mais à cette étape, point n'est besoin de dériver. D'ailleurs, comment as-tu fait ? En écrivant , on s'attend à ce que le membre de droite soit fonction de . Or là, le est malicieusement caché derrière et .

A la place, tu utilises tout simplement l'inégalité triangulaire :

avec égalité si

Donc, ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

f la fonction définie sur |R par

ce qui signifie que x est un réel ce qui évite d'avoir à travailler avec les parties réelle et imaginaire de x

[invite621a8f3c]

J'ai posé a = c+id et b = m+in

enusuite je remplace:

f(x) = [rac(x-c)² + d²] + [rac(x-m)² + n²]

Je dérive et je trouve f'(x) = [(rac(2x-2c))/(2x-2x) ] + [(rac(2x-2m))/(2x-2m)]

Les valeurs interdites pour f' sont c et m

J'en déduis que f' est toujours positive (jétudie f sur [0;+infinie[

Donc la fonction f est croissante sur [0+infinie[

La valeur est pour x = 0 c'est la longueur AB

lorsque'on utilise l'inégalité triangulaire comment interpréte-t-on cela ? je ne comprends pas avec l'inégalité triangulaire, pouvez m'expliquer svp ?

[Arkangelsk]

lorsque'on utilise l'inégalité triangulaire comment interpréte-t-on cela ? je ne comprends pas avec l'inégalité triangulaire, pouvez m'expliquer svp ?

L'inégalité triangulaire

Soient trois points , et du plan euclidien.

Alors,

[invitea3eb043e]

L'interprétation géométrique est bienvenue mais il y a quand même une petite subtilité :
Si A et B sont de part et d'autre de l'axe des x, alors l'inégalité triangulaire montre bien que le minimum est l'intersection de AB et l'axe des x. No problem.
Problem en revanche quand A et B sont du même côté de l'axe des x.
On voit que la relation MA + MB = Cte définit une ellipse de foyers A et B qui coupe l'axe des x en 2, 1 ou 0 points. Le minimum correspond à 1 point d'intersection, donc ellipse tangente à l'axe Ox.
Il existe des constructions géométriques pour cela mais je doute que cela soit encore enseigné nulle part (ça se faisait en Terminale autrefois).

[invitea3eb043e]

Sinon à défaut de géométrie des coniques, on peut faire preuve d'astuce en prenant le point B' symétrique de B par rapport à l'axe Ox.
AM + MB = AM + MB' et si A et B' sont de part et d'autre de l'axe Ox, on est ramené à M sur la droite AB'.
Aucun calcul. Résultat immédiat.

[invite621a8f3c]

Ok merci pour l'aide, je vois comment faire

[invitea3eb043e]

Très bien. De plus, si on y regarde bien, ceci est en fait un problème de physique où il s'agit de trouver le chemin le plus court de A à B après réflexion sur le miroir Ox (principe de Fermat). La solution trouvée est alors la loi de Descartes de la réflexion quand A et B sont du même côté de Ox.