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Problème Maths Ludique Help



  1. #1
    Darkolo50

    Question Problème Maths Ludique Help

    Bonjour, récemment j'ai eu un problème de math a résoudre :

    Combien voyez vous de triangle dans cette image ?

    A première vue, la flemme de compter.

    Avec une méthode que je ne peut expliquer.. J'en trouve 385.

    Et vous ?

    -----


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  3. #2
    JPL

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  4. #3
    Alzen McCAW

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Coucou,
    les triangles n'étant pas générés de la même façon, je me demande si le lien peut donner une piste...
    Attention, vivre c'est mortel...

  5. #4
    bzh_nicolas

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Pour chaque ligne tu as
    1+(numéro de ligne-1)*2 triangles

    1ère ligne : 1+0*2
    2ème ligne : 1+1*2
    3ème ligne : 1+2*2
    ...
    Et on n'oublie pas d'ajouter 1 pour le grand triangle qui englobe le tout.

    Donc
    1+nombre de ligne+2*somme de 0 à (nombre de ligne-1)
    d'où (c'est une identité)
    1+n+2*((n*(n-1)/2)
    1+n+n²-n
    1+n²
    PS : fait de tête j'ai pas vérifié sur papier.

  6. #5
    invite87420132543
    Invité

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Je trouve 315 avec la méthode expliquée ci-dessous.

    J'aurais à la fin aimé trouver une formule générale simple sans somme avec par exemple, l'utilisation des factorielles, pas trouvé dommage... pas trop envie de chercher non plus.... là c'est déjà pas mal



    Code:
    On note sans ajout les triangles la pointes en haut (triangle haut)
    On note avec un (-) les triangles la pointe en bas (triangle bas)
    
    les triangles (1) sont les triangles avec un triangle haut élémentaire à sa base
    les triangles (2) sont les triangles avec 2 triangle (1) à sa base
    de manière générale, les triangles (j) sont les triangles avec j triangle (1) à sa base
    
    
    
    i est le nombre de triangle (1) de la figure représenté
    
    ici i = 10
    
    
    Triangle (1)                      triangle (2)       triangle (3)  triangle (4)    i
     
    1                                                                                  1
    1 2      1-                       1                                                2
    1 2 3    1- 2-                    1 2                 1                            3
    1 2 3 4  1- 2- 3-                 1 2 3     1-        1 2          1               4
                                      1 2 3 4   1- 2-                                  5
    
    
    triangle haut                      nombre           
    
    somme (n = 1 à i) de n             Triangle (1)     soit (i+1)*(i)/2
    somme (n = 2 à i) de n-1           Triangle (2)          (i)*(i-1)/2 
    somme (n = 3 à i) de n-2           Triangle (3)          (i-1)*(i-2)/2
    somme (n = 4 à i) de n-3           Triangle (4)          (i-2)*(i-3)/2
    somme (n = 5 à i) de n-4           Triangle (5)          (i-3)*(i-4)/2
    somme (n = 6 à i) de n-5           Triangle (6)          (i-4)*(i-5)/2
    somme (n = 7 à i) de n-6           Triangle (7)          (i-5)*(i-6)/2
    somme (n = 8 à i) de n-7           Triangle (8)          (i-6)*(i-7)/2
    somme (n = 9 à i) de n-8           Triangle (9)          (i-7)*(i-8)/2
    somme (n = 10 à i) de n-9          Triangle (10)         (i-8)*(i-9)/2
    
    soit en sommant
    
    (11*10 + 10*9 + 9*8 + 8*7 + 7*6 + 6*5 + 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1)/2
    
    soit
    
    55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1
    
    soit
    
    220
    
    
    
    triangle bas                       nombre
    
    somme (n = 2 à i) de n-1           Triangle (1)   soit   (i)*(i-1)/2 
    somme (n = 4 à i) de n-3           Triangle (2)          (i-2)*(i-3)/2
    somme (n = 6 à i) de n-5           Triangle (3)          (i-4)*(i-5)/2
    somme (n = 8 à i) de n-7           Triangle (4)          (i-6)*(i-7)/2
    somme (n = 10 à i) de n-9          Triangle (5)          (i-8)*(i-9)/2
    
    soit en sommant
    
    45 + 28 + 15 + 6 + 1
    
    soit
    
    95
    
    
    Soit en sommant 220 + 95
    
    315

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    265 triangles.

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  10. #7
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Citation Envoyé par dgidgi Voir le message
    265 triangles.
    Ooops, j'en oublie 56, ceux qui ont la tête en bas.
    Donc en tout : 321 triangles.

  11. #8
    superbebe

    Re : Problème Maths Ludique Help

    on vas poser le problème pour n petit triangle a la base (parce que je suis maso)

     Cliquez pour afficher


    donc pour n=10, on a:
     Cliquez pour afficher


    J'espère ne pas m'être planté... en tout cas, c'était rigolo... bonne soirée a vous,
    Images attachées Images attachées
    en cas d'attaque de zombies, adressez vous a un geek.

  12. #9
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Superbebe : vous avez écrit :
    "cela revient à dire que le nombre de trianges des antipodes de toute taille est égal au nombre de triangles normaux de toutes tailles exceptés ceux de la dernière ligne "

    Cette assertion est fausse :
    il n'y a pas de triangles anipodistes de dimension supérieure à 5 côtés de triangle élementaire.
    Le plus grand triangle antipodiste est le triangle médiant inscrit à l'intérieur du grand triangle équilatéral de côté 10 unités, si on prend pour unité ce côté élémentaire.
    Et pourtant, il existe des triangles normaux, de dimension 6, 7, 8, 9.

    Bon, moi aussi, j'ai faux, j'en ai retrouvé 35 triangles, dans mes décomptes, en les comptant un par un, avec des méthodes batardes.
    J'en suis donc à 355...

  13. #10
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    Euh, 321 + 35 = 356, et non pas 355.
    sans calculatrice.

  14. #11
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    315 mon dernier prix, on n'y revient plus.
    Après comptage d'une autre manière des triangles "normaux", je suis d'accord avec vous : 220 pour ceux-ci au cas n=10.
    Désolé, je ne maitrise pas le code de l'éditeur d'équation du site, mais j'arrive, en comptant le nombre de triangles normaux ayant pour sommet chaque point à SOMME de i=0 à n de (i + 1)(10 - i) qui donne pour n = 10 aussi 220, et votre démonstration pour cette partie était parfaite.

    SOMME représentant ici le symbole "sigma".

    Pour le décompte des triangles antipodistes, en dénombrant les sommets servant de pointe vers le bas, et en sommant selon le nombre d'étages des triangles (de 1 à 5 étages, pas plus) on en trouve 95.

    220 + 95 donne 315.
    désolé pour les hésitations et le manque de propreté dans la méthode.

  15. #12
    SunnySky

    Re : Problème Maths Ludique Help

    J'appuie dgidgi. 315.
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

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  17. #13
    superbebe

    Re : Problème Maths Ludique Help

    en effet, les triangles des antipodes m'ont eu...

    reprenons... pour ses triangles la...

    pour la taille 1, c'est vrai (la formule, j'entends): vu qu'il faut 'former des losanges avec celui du dessus'.
    pour la taille 2: on part de n-2 (sinon on depasse en dessous)
    pour la taille 3: on part de n-3

    pour les formules, on peut utiliser ce tuto: http://www.siteduzero.com/tutoriel-3...ematiques.html


    pour la taille 1:
    (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+0
    soit (n-1)*n/2
    soit n2-n/2
    "augmenter d'une taille revient a compter le nombre de petits triangles pour n-1"
    pour la taille 2 on a donc, sans oublier de remonter encore d'un cran pour pas deborder en dessous:
    (n-3)+(n-4)+...+0
    la reflexion graphique est plus claire. cf fig 1 a 3


    le nombre de triangles antipodiens de taille t est donc:
    (n-t-t+1)+(n-2t)+(n-2t-1)+...+0
    le premier t pour la hauteur, le second et le +1 pour le nombre dans cette ligne.
    cela nous donne:
    (n-2t+1)*(n-2t+2)/2
    qui est très moche une fois développé.

    mais cela n'est vrai que pour (n-2t+1)>0...
    (n-2t+1)>0 <=> n+1>2t <=> (n+1)/2>t
    or on travaille dans N

    donc la somme des antipodiens semble être:



    bon ben pour poster, j'ai plus qu' attendre la fin du crash de FS
    (finalement, LOIC c'est pas top...)

    je suis pas tout a fait sur de l'exactitude... 'fin bon, qu'en pensez vous?
    en cas d'attaque de zombies, adressez vous a un geek.

  18. #14
    dgidgi

    Re : Problème Maths Ludique Help

    La formalisation du calcul à effectuer dans le cas général est la bonne et est tout à fait remarquable.
    Je n'aurais jamais osé aller jusqu'à la demander dans les réponses.
    En tous cas, je suis en accord avec les résultats de la formule donnée pour les antipodiens :



    qui fonctionne pour les cinq calculs successifs nécessaires à la variation de t, quand ici n= 10.
    On peut donc la valider, elle permet bien de trouver le nombre de triangles antipodiens (je les appelle antipodistes) dans le cas général.

    Félicitations !!

    Grand merci au passage pour le code latex, qui se montre bien utile ici

  19. #15
    superbebe

    Re : Problème Maths Ludique Help

    genial!!!
    bon ben, je m'attaque a la phase 2 demain (les losanges et autres polygones...)
    en cas d'attaque de zombies, adressez vous a un geek.

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