Problème Maths Ludique Help

[invite5cc9ab06]

Bonjour, récemment j'ai eu un problème de math a résoudre :

Combien voyez vous de triangle dans cette image ?

A première vue, la flemme de compter.

Avec une méthode que je ne peut expliquer.. J'en trouve 385.

Et vous ?
-----

[JPL]

Consulte cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/sc...tte-image.html

[Alzen McCAW]

Coucou,
les triangles n'étant pas générés de la même façon, je me demande si le lien peut donner une piste...

[invite895675d5]

Pour chaque ligne tu as
1+(numéro de ligne-1)*2 triangles

1ère ligne : 1+0*2
2ème ligne : 1+1*2
3ème ligne : 1+2*2
...
Et on n'oublie pas d'ajouter 1 pour le grand triangle qui englobe le tout.

Donc
1+nombre de ligne+2*somme de 0 à (nombre de ligne-1)
d'où (c'est une identité)
1+n+2*((n*(n-1)/2)
1+n+n²-n
1+n²
PS : fait de tête j'ai pas vérifié sur papier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87420132543]

Je trouve 315 avec la méthode expliquée ci-dessous.

J'aurais à la fin aimé trouver une formule générale simple sans somme avec par exemple, l'utilisation des factorielles, pas trouvé dommage... pas trop envie de chercher non plus.... là c'est déjà pas mal

On note sans ajout les triangles la pointes en haut (triangle haut)
On note avec un (-) les triangles la pointe en bas (triangle bas)

les triangles (1) sont les triangles avec un triangle haut élémentaire à sa base
les triangles (2) sont les triangles avec 2 triangle (1) à sa base
de manière générale, les triangles (j) sont les triangles avec j triangle (1) à sa base



i est le nombre de triangle (1) de la figure représenté

ici i = 10


Triangle (1)                      triangle (2)       triangle (3)  triangle (4)    i
 
1                                                                                  1
1 2      1-                       1                                                2
1 2 3    1- 2-                    1 2                 1                            3
1 2 3 4  1- 2- 3-                 1 2 3     1-        1 2          1               4
                                  1 2 3 4   1- 2-                                  5


triangle haut                      nombre           

somme (n = 1 à i) de n             Triangle (1)     soit (i+1)*(i)/2
somme (n = 2 à i) de n-1           Triangle (2)          (i)*(i-1)/2 
somme (n = 3 à i) de n-2           Triangle (3)          (i-1)*(i-2)/2
somme (n = 4 à i) de n-3           Triangle (4)          (i-2)*(i-3)/2
somme (n = 5 à i) de n-4           Triangle (5)          (i-3)*(i-4)/2
somme (n = 6 à i) de n-5           Triangle (6)          (i-4)*(i-5)/2
somme (n = 7 à i) de n-6           Triangle (7)          (i-5)*(i-6)/2
somme (n = 8 à i) de n-7           Triangle (8)          (i-6)*(i-7)/2
somme (n = 9 à i) de n-8           Triangle (9)          (i-7)*(i-8)/2
somme (n = 10 à i) de n-9          Triangle (10)         (i-8)*(i-9)/2

soit en sommant

(11*10 + 10*9 + 9*8 + 8*7 + 7*6 + 6*5 + 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1)/2

soit

55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1

soit

220



triangle bas                       nombre

somme (n = 2 à i) de n-1           Triangle (1)   soit   (i)*(i-1)/2 
somme (n = 4 à i) de n-3           Triangle (2)          (i-2)*(i-3)/2
somme (n = 6 à i) de n-5           Triangle (3)          (i-4)*(i-5)/2
somme (n = 8 à i) de n-7           Triangle (4)          (i-6)*(i-7)/2
somme (n = 10 à i) de n-9          Triangle (5)          (i-8)*(i-9)/2

soit en sommant

45 + 28 + 15 + 6 + 1

soit

95


Soit en sommant 220 + 95

315

[invite36e4dbaa]

265 triangles.

[invite36e4dbaa]

265 triangles.

Ooops, j'en oublie 56, ceux qui ont la tête en bas.
Donc en tout : 321 triangles.

[invite4db4c657]

on vas poser le problème pour n petit triangle a la base (parce que je suis maso)

 Cliquez pour afficher

voyons
* n=1 => Nt=(1)=1
* n=2 => Nt=(2+2*1)+(1)=5
* n=3 => Nt=(3+2*2+2*1)+(2+1)+(1)=13
* n=4 => Nt=(4+2*3+2*2+2*1)+(3+2+1)+(2+ 1)+(1)+(1)=27
.............................. .............................. .............'-> il y en a des gros a l'envers !

bon, maintenant, il devrait plus nous tomber de choses imprévues sur la tète...

on vas se simplifier la vie en découpant le travail en deux partie:
les triangles normaux et les triangles des antipodes (ils ont la tète a l'envers )

le nombre de triangle normaux petits est:
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+0
soit:

soit: n(n+1)/2

pour les triangle normaux, augmenter d'une taille revient a compter le nombre de petits triangles pour n-1

on a donc le nombre total de petits triangle normaux=



Bon passons aux triangles des antipodes:
leur nombre est fonction de n(pour leur nombre) et de E(n/2) (pour la taille)
demonstration de E(n/2): schéma ci-join complication inutile...

en fait, de manière simple: pour qu'ils s'emboitent, les triangles des antipodes doivent toucher deux triangle normaux de même taille et sur la même ligne.idem

pour faire très simple (mon second moi me brise les nerf avec ses "complication inutile...") il y a autant de triangle des antipodes que de triangles de même taille sur la ligne superieure.

Cela revient a dire que le nombre de triangle des antipodes de toute taille est égal au nombre de triangles normaux de toutes tailles exceptés ceux de la dernière ligne... oh mais... cela correspond a

 Cliquez pour afficher

ceux d'un triangle de base n-1 en effet...

nous avons donc:
nombre de triangles des antipodes=


donc nombre de triangle totaux=
⁺

arghl mais c'est moche sa... c'est pas factorisé (mais un peu parce que je manie les balise comme un manche aussi) ...
voila qui est mieux non:

mais il y a encore plus simple:

Il y a surement une methode encore plus simple, mais la, j'ai la flemme,... plus tard, peut être...

donc pour n=10, on a:

 Cliquez pour afficher

ce qui donne:

 Cliquez pour afficher

non, tu ne cliquera pas en dessous, prend une calculatrice

 Cliquez pour afficher

aie confiance, la facilité, c'est le mal

 Cliquez pour afficher

je me suis peut être (surement) trompé, mais sinon:
Nt(10)=110/2+330
Nt(10)=385

J'espère ne pas m'être planté... en tout cas, c'était rigolo... bonne soirée a vous,

[invite36e4dbaa]

Superbebe : vous avez écrit :
"cela revient à dire que le nombre de trianges des antipodes de toute taille est égal au nombre de triangles normaux de toutes tailles exceptés ceux de la dernière ligne "

Cette assertion est fausse :
il n'y a pas de triangles anipodistes de dimension supérieure à 5 côtés de triangle élementaire.
Le plus grand triangle antipodiste est le triangle médiant inscrit à l'intérieur du grand triangle équilatéral de côté 10 unités, si on prend pour unité ce côté élémentaire.
Et pourtant, il existe des triangles normaux, de dimension 6, 7, 8, 9.

Bon, moi aussi, j'ai faux, j'en ai retrouvé 35 triangles, dans mes décomptes, en les comptant un par un, avec des méthodes batardes.
J'en suis donc à 355...

[invite36e4dbaa]

Euh, 321 + 35 = 356, et non pas 355.
sans calculatrice.

[invite36e4dbaa]

315 mon dernier prix, on n'y revient plus.
Après comptage d'une autre manière des triangles "normaux", je suis d'accord avec vous : 220 pour ceux-ci au cas n=10.
Désolé, je ne maitrise pas le code de l'éditeur d'équation du site, mais j'arrive, en comptant le nombre de triangles normaux ayant pour sommet chaque point à SOMME de i=0 à n de (i + 1)(10 - i) qui donne pour n = 10 aussi 220, et votre démonstration pour cette partie était parfaite.

SOMME représentant ici le symbole "sigma".

Pour le décompte des triangles antipodistes, en dénombrant les sommets servant de pointe vers le bas, et en sommant selon le nombre d'étages des triangles (de 1 à 5 étages, pas plus) on en trouve 95.

220 + 95 donne 315.
désolé pour les hésitations et le manque de propreté dans la méthode.

[SunnySky]

J'appuie dgidgi. 315.

[invite4db4c657]

en effet, les triangles des antipodes m'ont eu...

reprenons... pour ses triangles la...

pour la taille 1, c'est vrai (la formule, j'entends): vu qu'il faut 'former des losanges avec celui du dessus'.
pour la taille 2: on part de n-2 (sinon on depasse en dessous)
pour la taille 3: on part de n-3

pour les formules, on peut utiliser ce tuto: http://www.siteduzero.com/tutoriel-3...ematiques.html


pour la taille 1:
(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+0
soit (n-1)*n/2
soit n²-n/2
"augmenter d'une taille revient a compter le nombre de petits triangles pour n-1"
pour la taille 2 on a donc, sans oublier de remonter encore d'un cran pour pas deborder en dessous:
(n-3)+(n-4)+...+0 la reflexion graphique est plus claire. cf fig 1 a 3


le nombre de triangles antipodiens de taille t est donc:
(n-t-t+1)+(n-2t)+(n-2t-1)+...+0
le premier t pour la hauteur, le second et le +1 pour le nombre dans cette ligne.
cela nous donne:
(n-2t+1)*(n-2t+2)/2
qui est très moche une fois développé.

mais cela n'est vrai que pour (n-2t+1)>0...
(n-2t+1)>0 <=> n+1>2t <=> (n+1)/2>t
or on travaille dans N

donc la somme des antipodiens semble être:



bon ben pour poster, j'ai plus qu' attendre la fin du crash de FS
(finalement, LOIC c'est pas top...)

je suis pas tout a fait sur de l'exactitude... 'fin bon, qu'en pensez vous?

[invite36e4dbaa]

La formalisation du calcul à effectuer dans le cas général est la bonne et est tout à fait remarquable.
Je n'aurais jamais osé aller jusqu'à la demander dans les réponses.
En tous cas, je suis en accord avec les résultats de la formule donnée pour les antipodiens :



qui fonctionne pour les cinq calculs successifs nécessaires à la variation de t, quand ici n= 10.
On peut donc la valider, elle permet bien de trouver le nombre de triangles antipodiens (je les appelle antipodistes) dans le cas général.

Félicitations !!

Grand merci au passage pour le code latex, qui se montre bien utile ici

[invite4db4c657]

genial!!!
bon ben, je m'attaque a la phase 2 demain (les losanges et autres polygones...)