Soit E l'ensemble de tous les entiers naturels pouvant être définis en quinze mots français ou moins. C'est une partie finie de N puisque les phrases de quinze mots ou moins sont en nombre fini. Elle admet donc un plus grand élément. L'entier immédiatement supérieur n'appartient donc pas a E. On peut pourtant le définir en quinze mots exactement : le suivant du plus grand entier naturel pouvant être défini en moins de quinze mots.
Pas mal
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
De façon "presque" similaire on peut montrer que tous les nombres entiers sont remarquables
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Soit A le plus grand des nombres pouvant être définis par moins de quinze mots.
Soit B sont successeur. B peut être défini par "le successeur du plus grand des nombres pouvant être défini en moins de quinze mots". C'est donc lui le véritable plus grand, et non A. Du coup la définition de B tombe, donc, ben si, c'était A, alors, donc ...
Quoi? Quelque chose que je ne connais pas et qui me fait l'affront d'exister?!
Pas vraiment, remarquable est évidemment une notion subjective. Alors que la notion de définition parait tout à fait claire.Il semble qu'on pourrait formaliser cela.Envoyé par Médiat
Ou cela bloque-t-il ....
Infinis car on peut réutiliser la même phrase de 15 mots ou moins si elle est récursive, n'est ce pas là qu'est la tromperie ?
Un ami étudiant m'avait soumis ce paradoxe il y a un certain temps déjà.
J'ai mis un certain temps pour le résoudre.
On peut dire que le paradoxe repose sur le principe de récurrence, or celui-ci n'est légitime que sur des propriètés formelles ( dans le formalisme de l'arithmétique de Peano, ou de la théorie des ensemble etc).
Un mathématiciens, avait ainsi fait un livre ou il énumérait les "nombres remarquables", ce qui le conduisit à citer un nombre qui avait la propriété (remarquable ?) d'être le premier entier qui n'avait rien de "remarquable".
La question qui se pose ici est celle de la définition d'un nombre entier.
On peut considérer par exemple qu'un nombre entier est défini par une propriété si il existe un unique nombre entier satisfaisant cette propriété.
On voit en fait qu'on ne peut pas utiliser la propriété de définissabilité dans une définition.
Bien sur j'ai donné ici une définition de la définissabilité, que j’appellerai définissabilité1.
On peut utiliser définissabilité1 pour faire de nouvelles définitions, et définir ainsi une définissabilité2, etc .
Il n'existe donc pas, pour résumer, de définition définitive de la définissabilité.
Bonjour,
Oui, d'accord avec cela
Que voulez-vous dire exactement ?
Si, en logique classique du premier ordre : Soit T une théorie, un élément d'un modèle de T est définissable s'il existe une formule du langage de T tel qu'il n'existe qu'un seul élément du modèle vérifiant cette formule. Qu'Est-ce qui ne va pas avec cette définition (usuelle).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le fait est qu'on a une définition de la définissabilité.
Remarquons que je ne me place pas dans la simple logique du premier ordre mais das l'arithmétique.
"Définissable" est donc une propriété bien définie.
Mais on ne peut utiliser "définissable", et ses variantes (définissable en moins de n caractères etc), à l'intèrieur d'une définition avec cette notion de définissabilité, comme cela a été fait dans le paradoxe de lancement de ce sujet.
Cette définissabilité correspond donc à ce que j'ai appelé "définissable1".
Je crois (j'espère) qu'il n'est pas possible de définir formellement une notion de définissabilité qui permettrait de transcrire formellement ce paradoxe.
Phrase de moins de quinze mots. Idem pour "un entier naturel pair", etc.
Ce qui est donc faux puisqu'on peut définir des parties infinies de N en moins de 15 mots.
Si on veut rigoler, je préfère :
Donner une phrase (un algorithme) vous permettant d'extraire un élément d'une partie de N une fois que je vous en ai donné sa définition
Une fois qu'on sait le faire sur N, on sait le faire bien sur avec Z et Q.
Maintenant, donner la même chose sur R.
L'arithmétique de Peano, telle qu'utilisée par Gödel dans ses théorèmes d'incomplétude, par exemple, est une théorie du premier ordre.
Si vous voulez parler du langage courant et non du langage formel, on sait depuis des siècles qu'il est une source facile de paradoxes, d'où les langages formels.
Dernière modification par Médiat ; 11/07/2015 à 20h49.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Les paradoxes du langage courant peuvent être une source d'inspiration pour la logique formelle: difficile de ne pas percevoir le paradoxe d'Epiménide derrière la construction par Kurt Gödel d'une proposition signifiant qu'elle même est indémontrable pour son théorème d'incomplétude.
Sa démonstration ne se limite bien entendu pas à cela, puisqu'il lui a fallu en passer par un travail laborieux de formalisation de la notion de démontrabilité.
Le paradoxe de ce sujet permettrait-il d'obtenir quelques résultats ?
Si on prend comme notion de définition d'un entier un programme d'ordinateur qui donne pour résultat ce nombre entier et comme longueur de la définition la longueur de ce programme, l'adaptation de ce paradoxe devrait permettre de retrouver un résultat classique de non-calculabilité de la complexité de Kolmogorov.
Sur les bizarreries qui peuvent intervenir quand on parle de définition, même pour des objets aussi simples que des nombres entiers, je vous citerais le résultat (récent) suivant.
Il y a eu quelques progrès sur la conjecture des nombres premiers jumeaux, en particulier ceci:
Il a été démontré qu'il existe au moins un nombre entier strictement positif tel qu'il existe une infinité de paire de nombres premiers espacés de n unité.
(ne me demandez pas la démonstration, je ne la connais pas et fais confiance au journal qui en a fait état)
On peut donc définir le plus petit entier satisfaisant cette propriété .
Je vous laisse en exercice d'exprimer cette propriété dans le langage de l'arithmétique.
Mais que vaut précisément cet entier ? La démonstration du théorème ne donne qu'une borne supérieure élevée pour celui-ci ...
Mais si la conjecture des nombres premiers jumeaux est vraie, il est tout simplement égal à deux.
On a donc un nombre qui est correctement (?) défini, dont on n'est même pas capable (en l'état actuel des mathématiques) de dire si il est égal à deux ... ou pas !
Bonjour,
Ou le célèbre x = 1 si la conjecture de Golbach est vraie et -1 sinon.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'arithmétique regorge de tels nombres, on peut en définir certains de façon assez artificielle, d'autres apparaissent d'une façon assez naturelle, tels:http://www.comoria.com/372510/Nombre_de_Skewes, premier entier pour lequel Pi(n)-Li(n) change de signe, et dont on ne sait pas grand chose si ce n'est qu'il est très grand.
En ce qui concerne le nombre de Skewes dont je viens de parler, j'ajouterai que celui-ci peut théoriquement être calculé par un programme d'ordinateur.
Toutefois, l'état actuel des progrès en matière de machines, logiciels et résultats mathématiques ne permet pas semble-t-il de le calculer effectivement.
La notion d'effectivité d'une définition est donc elle aussi, si on se place d'un point de vue pratique, plus délicate qu'elle en a l'air.
Bonjour,
Vous pouvez regarder là : Paragraphe VI.4 Réels définissables, calculables
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
