Florilège des marronniers mathématiques

[invite2ec994dc]

Cela me rappelle celui là :
On pose t= heure afficher sur le forum, m=les minutes.
E={t mod 2, m mod 2}, alors E est inclus dans {0,1}, E différent de {0,1} et E peut-être mis en bijection avec {0,1}.
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[invite82078308]

(...)
Est-ce que le signe "=" a bien la même signification que d'habitude ?
(...)

En ce qui me concerne, j'ai du faire une bonne douzaine d'années de mathématiques (à partir du collège ...) avant d'avoir l'occasion de comprendre le signe "=", voire sa "signification". J'aurais sans doute eu les capacité de le faire un peu plus tôt.
Mais rassurez vous, on peut l'utiliser correctement sans le comprendre véritablement.

[Médiat]

Bonjour Schrodies-cat,

Je ne comprends pas le sens exact de votre intervention (surtout la dernière phrase), sinon, que l'égalité ne soit pas un concept trivial est n'effectivement pas si évident que cela. La logique mathématique a bien étudié le problème.

A noter qu'en philosophie les concepts d'identité ou d'égalité sont encore plus complexes à dominer (selon moi).

[invite82078308]

Excusez moi, j'ai utilisé un procédé dont je suis le premier irrité quand j'en suis victime, à savoir extraire un élément discutable d'un message pour le critiquer. Toutefois, en ce cas, j'ai pour usage de placer des (...) pour indiquer qu'il s'agit d'une citation partielle.
La question portait en fait sur un résultat de la théorie des séries divergentes. Il est clair que dans ce cas, la notion de sommation est différente de celle qu'on apprend aux apprentis mathématiciens.
Par contre, ce n'est pas l'usage du signe "=" qui pose ici problème à mon avis.

Pour la dernière phrase, je crois que souvent, en mathématiques, il faut manipuler un concept, l'utiliser (au grès d'exercices par exemple), avant d'être capable d'en avoir une compréhension profonde.

[invite9dc7b526]

En ce qui me concerne, j'ai du faire une bonne douzaine d'années de mathématiques (à partir du collège ...) avant d'avoir l'occasion de comprendre le signe "=", voire sa "signification". J'aurais sans doute eu les capacité de le faire un peu plus tôt.
Mais rassurez vous, on peut l'utiliser correctement sans le comprendre véritablement.

il y a un joli papier de Barry Mazur sur ce thème : quand deux choses sont-elles égales en mathématique?

[invite9dc7b526]

un résultat qui m'a paru contre-intuitif c'est le fait qu'un produit quelconque d'espaces compacts séparés est compact. C'est contre-intuitif si on pense à un espace compact comme à quelque-chose de "petit" et à un produit infini, éventuellement non dénombrable, comme à quelque-chose de "grand". Mais comme la démonstration est très simple (dans le cas séparé) il n'y a pas de raisons de discuter à l'infini.

[invite2ec994dc]

A noter que l'on a jamais une égalité stricte mais une identification modulo une relation symétrique qui peut rester implicite, par exemple "a=a", entraine l'identification de tous les symboles "a" comme étant les même, ce qui ne va pas de soit car dans l'égalité on a deux "a" celui de droite et de gauche et aussi cela implique une "ubiquité" du "a".

Mais ceci vient d'un problème plus fondamentale qui dépasse les mathématiques la question du sens.

Pour rester dans les mathématiques la découverte qui pour moi caractérise les mathématiques, c'est l'opération, saviez vous qu'il existe une opération sur les opérations d'un ensemble, qui est associative : (f(x,y),g(x,y))->f(g(x,0),y)) avec 0 un élément de l'ensemble.

[invite82078308]

Un résultat coriace des mathématiques est pour moi le Paradoxe de Russell.
La démonstration tient en quelques ligne, je la connais; et pourtant, mon impression de le comprendre reste soumise à quelques fluctuations.

[invite82078308]

Ou peut-être encore la table de vérité de l'implication avec par exemple : ( "Londres est la capitale de la Suède" ) est une proposition VRAIE.

Bertrand Russel avait affirmé devant ses élèves :"si deux et deux font cinq, je suis le pape !", sommé de le démontrer il répondit:
Si 2+2=5 alors 4=5, donc
en enlevant 3 de chaque coté 1=2
or le pape et moi sommes 2, donc puisque 2=1, le pape et moi sommes 1.
Donc je suis le pape
CQFD

[invite117cd21f]

Bonjour Médiat,

Il y a effectivement une grosse arnaque dans cette histoire mais selon moi pas exactement à l'endroit que tu soulignes :

En effet la première écriture est juste un abus de notation comme on en fait des tonnes et des tonnes et à longueur de temps en maths. L'arnaque c'est plutôt d'écrire ce truc et de, délibérément pour faire du sensationnalisme à 2 balles, ne pas expliquer aux personnes qui ne comprennent pas qu'il y a un simple abus de notation et que le signe ne correspond pas à celui qu'on écrit dans par exemple

Maintenant la 2e notation est un peu mieux, mais personnellement je proposerais plutôt une écriture du genre : redonnant au signe sons sens usuel.


Cdt

Quelqu'un pour m'expliquer ces problèmes de notation ?
Quel est le sens du = lorsqu'on écrit 1+2+3+4+... =-1/12 ?
Je croyais que ce "résultat" était une sorte de démonstration pour montrer qu'il n'est pas correct de manipuler des séries divergentes infinies comme des sommes finies.

[Médiat]

Bonjour,

Déjà on peut remarquer que la "somme infinie" à gauche de ce signe égal n'est pas définie alors qu'à droite -1/12 l'est parfaitement, ce signe ne peut donc pas être le signe égal usuel.


C'est le même problème si on écrit , sauf que dans ce dernier cas (mais il s'agit bien d'un abus d'écriture) il s'agit d'une abréviation pour :
qui renvoie à la définition d'une limite.

[invite82078308]

La notation n'est pas un abus d'écriture, c'est une convention d'écriture qui ne pose habituellement aucun problème.
Dans certains cas elle doit être précisée, par exemple quand on peut (raisonnablement) envisager plusieurs types de convergence pour la définir. Il en est d'ailleurs de même avec la notion de limite.

[Médiat]

Une convention d'écriture qui donne un sens différent du sens habituel est un abus d'écriture, dans le cas cité, cet abus est passé dans les mœurs pour différentes raisons déjà évoquées et sur lesquelles je ne vais pas revenir ; c'est peut être ce que vous vouliez dire : "ce n'est plus un abus puisque c'est entériné", auquel cas je suis d'accord.

[invite82078308]

En fait, c'est en écrivant mon message qu'il m'est apparu que la notation
...
N'était pas plus problématique que la notation
...
Que vous proposez pour la remplacer.

Il y a toujours un espace difficile à combler entre ce qu'écrivent les mathématicien et ce qui serait une démonstration, voire l'énoncé d'un théorème satisfaisants selon les règles de la logique formelle.
L'interprétation d'un énoncé mathématique fait dans la pratique référence au contexte mathématique dans lequel il est énoncé.
Cela ne pose guerre de problème habituellement aux mathématiciens humains ( il peut toutefois y avoir des quiproquo quand ils s'intéressent à une branche des mathématiques autre que la leur), mais doit constituer une masse de petits obstacles dans le programme actuel de formalisation des démonstrations à fin de vérification automatique de preuve.

[invite82078308]

Pour en revenir à la notion de somme infinie, je ne parlerais pas pas des séries divergentes, sujet que je ne connais pas, mais de l'algèbre des séries formelles que j'ai un peu étudiée:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_formelle
Ici le symbole sigma a un sens tout à fait différent de celui qu'on apprend dans la formation initiale en mathématiques.
La théorie est des plus rigoureuse; si on voulait l'exprimer dans un formalisme élémentaire, il faudrait bien sur ne parler que de suites de réels et de complexes sur lesquelles on définit des opérations d'addition, de multiplication, de dérivation etc, mais reconnaissez que cette notation abusive est bien pratique.

[Médiat]

La théorie est des plus rigoureuse; si on voulait l'exprimer dans un formalisme élémentaire, il faudrait bien sur ne parler que de suites de réels et de complexes sur lesquelles on définit des opérations d'addition, de multiplication, de dérivation etc, mais reconnaissez que cette notation abusive est bien pratique.

Je ne nie ni (l'allais pas laisser passer ça) l'intérêt ni la validité, je combats juste le sensationnalisme qui fait titrer "la somme des entiers positifs est égal à -1/12" ou dans un autre domaine "le théorème de Gödel démontre que l'intelligent design est plus valide que la théorie de l'évolution" (si, si, ça existe !)

[invite82078308]

Pour en revenir à des choses beaucoup plus terre-à-terre, je m'amuse souvent de l'usage de l'expression "croissance exponentielle" dans les médias.
Cela est parfois justifié, mais n'est pas toujours le cas et désigne souvent un accroissement rapide, mais qu'on a aucune raison de qualifier d'exponetiel .
Pour comprendre les choses, il est préférable de les distinguer.