La plus petite formule

[Médiat]

Bonjour,
Je suis la suggestion de ansset et j'ouvre un nouveau post :


Trouver la formulation mathématique la plus courte, qui donne, à partir des entiers naturels, un sous-ensemble de IN dont les plus petits éléments sont {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 40, ...} ?
Afin qu'il n'y ait pas de contestation : seul est autorisé le langage de l'arithmétique de Peano : (0, s, +, x), plus les opérations inverses (-, /), les parenthèses, les variables, le langage de la logique
Si des définitions intermédiaires sont utilisées, le compte de la longueur prendra en compte celle de la définition.

Par exemple : 1= s(0), l'usage de "1" compte pour 4 caractères.

Par exemple pour définir l'ensemble {1, 4, ...}, on peut utiliser la formule qui fait 17 caractères.
On peut aussi utiliser la formule qui fait 26 caractères.
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[Dynamix]

Elle te plait pas ma formule ?
Un = n + 20(n)(n-1)(n-2) ....(n-19)/n!
J' ais corrigé pour le 0 et le 20
On peut modifier l' écriture , mais je ne joue pas du Paeno .
Le "∏" est autorisé ?

[Médiat]

Oui, la formule est correcte, mais elle ne respecte pas les conditions (il faut bien en fixer ; on peut faire plusieurs catégories dans ce concours (en autorisant factoriel, et autres produits ou sommes)), et rien que pour écrire 19, il faut 58 caractères.

[contrexemple]

(E (n)=(b|b+1>n>=b))^(u (n)=n+20×E (n/20))
Longueur de 28

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Formule ne respectant pas les règles imposées

[ansset]

Par exemple : 1= s(0), l'usage de "1" compte pour 4 caractères.

peux tu préciser ce point en particulier le "s" ?

[Médiat]

Bonsoir,

C'est la fonction successeur.

[ansset]

OK, merci, j'aime bien les casse têtes , je dois être un peu maso

[ansset]

mais j'imagine la question en 2 temps.
comment passer de 20 à 40 le plus simplement possible.
et ensuite comment l'exprimer de la façon la plus courte possible.

[ansset]

bjr Mediat,
indépendamment d'une logique de raisonnement ;
est ce que l'écriture 2=s(s(0)) est "penao-compatible" ?

[Médiat]

bjr Mediat,
indépendamment d'une logique de raisonnement ;
est ce que l'écriture 2=s(s(0)) est "penao-compatible" ?

Bonjour,

C'est la définition de 2, qui comprend donc 7 caractères ; d'une façon générale n s'écrit avec 3n + 1 caractères.

[Deedee81]

Bonjour,

Je ne dois pas avoir tout compris (déjà, dans les éléments les plus petit de N, pourquoi est-ce que 40 suit 19, et pas 20 ????) car pour moi la plus petite formule donnant un sous-ensemble de N c'est :
0

Ou l'ensemble doit être infini ?

[ansset]

@Mediat:
merci, j'apprend le penao en même temps

[ansset]

alors , je vois bien une formule très "bourrine" , mais je suppose qu'il y a une astuce.
sinon , ce ne serait pas du Médiat.

[Médiat]

Bonjour,

Je ne dois pas avoir tout compris (déjà, dans les éléments les plus petit de N, pourquoi est-ce que 40 suit 19, et pas 20 ????) car pour moi la plus petite formule donnant un sous-ensemble de N c'est :
0

Ou l'ensemble doit être infini ?

Bonjour,

J'essaye d'être plus clair : soit E un sous-ensemble de IN dont les plus petits éléments sont les éléments de {0, 2}, peu importe que E soit infini ou non, mais il ne doit pas contenir 1, alors, parmi les formules possibles pour définir E, il y a : , formule qui fait 17 caractères (2 compte pour 7 caractères).

En utilisant quelques conventions de priorité des connecteurs, on pourrait diminuer le nombre de parenthèses, mais je préfère les mettre, ce qui compte c'est que toutes les formules soient traitées de la même façon

[Deedee81]

D'accord, j'ai compris. Merci,

(ceci dit, je ne vois pas trop comment faire mieux)

[Médiat]

Par exemple : , formule qui fait 9 caractères.

[PlaneteF]

Bonjour ansset,

"penao-compatible" ?

merci, j'apprend le penao en même temps

"Peano"

Cordialement

[ansset]

promis, je ne la referais plus.
tu vois, j'apprend même le mot juste .
Cdt

[Deedee81]

Salut,

Si tu avais écrit piano, je me serai fait un plaisir de déplacer le message dans les perles

[ansset]

cela eut été un honneur , cher ami.

[ansset]

bon, je commence par les chiffres de 1à19
et par exemple les multiples de 2 strictement inférieurs à 20


je ne cherche pas la solution j'essaye d'appendre le "chino-peano".
cordialement.

[ansset]

je me doute qu'il y a beaucoup plus court, mais ce n'est pas ( pour l'instant ) ma préoccupation.

[ansset]

je pense avoir mis des parenthèses inutiles, mais bon,
je suis en CM2 du chineo-peano !

[Médiat]

Bonsoir,
Excellente idée d'y aller "lentement", j'ai ré-écrit un peu

bon, je commence par les chiffres de 1à19
et par exemple les multiples de 2 strictement inférieurs à 20

Soit 53 caractères.

[ansset]

j'ai fait une erreur .
pas égal k, mais egal à k à un nb appartenant à N, donc à un k"

[ansset]

merci mediat, j avance doucement.

[ansset]

j'ai fait une erreur .
pas égal k, mais egal à k à un nb appartenant à N, donc à un k"

EDIT :croisement avec votre réponse.

[ansset]

la question est, est ce que ce type de démarche est productive, ou bien il y a une astuce du chef qui échappera à tous.?

[ansset]

donc je peux facilement y ajouter les nb impairs en changeant légèrement la formule. !?
restera le 40, mais je pense que ce n'est pas le plus difficile.