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Une curiosité mathématique (pour moi)



  1. #31
    Schrodies-cat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)


    ------

    Mais cela m'a été utile pour répondre à ladite question, combiné avec ce que j'ai dit au post #17 .

    Donner la solution d'un problème, c'est comme raconter la fin d'un film, cela gâche tout.
    On veut savoir la fin mais ce qui est intéressant, c'est ce qui se passe avant, comment on en est arrivé là.

    -----
    Dernière modification par Schrodies-cat ; 10/03/2016 à 00h13.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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  3. #32
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    toutes mes excuses je te présente.
    je comprend au moins une chose, c'est qu'effectivement deux chiffres palindromiques quels qu'ils soient sont "égaux" modulo 9.
    en plus je l'avais presque écrit moi-même, comme un idiot.
    pour un chiffre quelconque
    999a+99b+9c+a+b+c+d=9k+m (m{0,8} )
    d'où son palindrome
    999d+99c+9b+a+b+c+d=9k'+m
    et m identique.

    était ce cela , en disant "aller plus loin" ?
    Cdt.
    Dernière modification par ansset ; 10/03/2016 à 07h56.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #33
    Schrodies-cat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Je rappelle la question initiale : quels sont les nombres n, T, S tels que n*T=S avec T et S "palindromes l'un de l'autre c'est à dire que T s'écrit en base dix avec les chiffres de S écris en sens inverse (et inversement !).
    Que peut on dire de n, T, S ?
    The_gritch a obtenu expérimentalement que cela ne marchait que pour n égal à 4 ou 9
    Remarque : il n'a pas testé les cas 1 (les solutions sont les palindromes au sens usuel) que j'ai déjà mentionnée , et zéro !

    Peut on le justifier et donc le démontrer dans le cas général ? (il n'a étudié qu'un nombre fini de cas)

    Un indice de plus : "table de multiplication modulo 9"
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  5. #34
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Je rappelle la question initiale : quels sont les nombres n, T, S tels que n*T=S avec T et S "palindromes l'un de l'autre c'est à dire que T s'écrit en base dix avec les chiffres de S écris en sens inverse (et inversement !).
    Que peut on dire de n, T, S ?
    Alors je n'ai pas lu son intervention initiale de la sorte.
    son point ( à mon sens ) était que le palindrome d'un multiple de 9 ( et de 4 ) était aussi multiple de 9 ( ou 4 ).( avec au moins deux chiffres )
    le palindrome ayant évidemment le même nombre de chiffres.
    Si S=9k alors T ( palindrome ) =9k'.
    Ce qui se démontre.
    Il en va de même pour 11, mais pas pour 4.

    a la relecture, la question concerne bien S et nS.
    du coup , je comprend tes interventions.
    j'ai répondu à une question différente.
    Dernière modification par ansset ; 10/03/2016 à 09h59.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #35
    Schrodies-cat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Je précise: la dernière indication que j'ai donnée vous permettra de répondre à la question que j'ai posée plus haut: pour quelles valeurs de n l'équation n*x=x (modulo 9) a-t-elle des solutions ?
    Vous verrez peut être plus clair avec ça.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  7. #36
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Edit : mess croisés.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  9. #37
    Schrodies-cat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Il est vrai qu'il y a souvent un travail de reformulation à faire sur des questions semblant naïves et parfois pas très bien formulées, qui s'avèrent en fait des questions intéressantes.
    J'aurais sans doute du commencer par là.
    Bien entendu, il s'agit de mathématiques amusantes, mais cela permet de présenter simplement quelques méthodes utilisées, par exemple dans le cas présent, à l'étude de l'ensemble des solutions des équations diophantiennes ( équations à une ou plusieurs variables en nombres entiers).
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  10. #38
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    pour répondre à ta question ( et je trouve comme toi le sujet amusant )
    si on oublie n=1
    je trouve : ( en laissant de coté le fait du "saut" éventuel du nombre de chiffres )
    n= 4 si x (=) 3 mod [9]
    n=7 si x (=) 6 mod [9]
    n=9 dans tous les cas.
    mais j'ai tj du mal à saisir le lien avec les nombres palindromiques.
    cela va peut être venir.

    bon ,je reconnais, j'ai démontré autre chose, mais qui est peut être complémentaire.
    Cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #39
    Médiat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Bonjour
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    n=7 si x (=) 6 mod [9]
    A minima il manque
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #40
    polo974

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    avec l'indentation, le python est beaucoup plus lisible:
    Code:
    for i in range (1000,9999999):
        for j in range (2,15):
            a=i*j
            b=(str(i)[::-1])
            if (str(a)==b):
                #print ("i=",i, " et a=",a,"table de ",j)
                print ( "%d * %s = %s" %(i,j,a))
    ce qui donne:
    Code:
    1089 * 9 = 9801
    2178 * 4 = 8712
    10989 * 9 = 98901
    21978 * 4 = 87912
    109989 * 9 = 989901
    219978 * 4 = 879912
    1099989 * 9 = 9899901
    et là, on voit:
    • alternance 9, 4
    • nombre de la table de 4 est double de celui de la table de 9 (1089 * 2 = 2178)
    • insertion d'un 9 "au milieu" du nombre donne le suivant dans la même table.
    maintenant, il faudrait voir dans une autre base...

    en hexa, ça donne une alternance 15, 7, 3,
    et ajout du 'F' (dernier chiffre de la base)
    (0x indique un nombre hexadécimal)

    Code:
    0xFE01 * 15 = 0xFE01
    0xED12 * 7 = 0xED12
    0xCB34 * 3 = 0xCB34
    0xFEF01 * 15 = 0xFEF01
    0xEDF12 * 7 = 0xEDF12
    0xCBF34 * 3 = 0xCBF34
    0xFEFF01 * 15 = 0xFEFF01
    0xEDFF12 * 7 = 0xEDFF12
    0xCBFF34 * 3 = 0xCBFF34
    et en octal:
    (0o indique un nombre octal)
    Code:
    0o2156 * 3 = 0o6512
    0o2525 * 2 = 0o5252
    0o2775 * 2 = 0o5772
    0o10767 * 7 = 0o76701
    0o11165 * 5 = 0o56111
    0o21756 * 3 = 0o65712
    0o25025 * 2 = 0o52052
    0o27775 * 2 = 0o57772
    0o102515 * 5 = 0o515201
    0o107767 * 7 = 0o767701
    0o112665 * 5 = 0o566211
    0o217756 * 3 = 0o657712
    0o250025 * 2 = 0o520052
    0o252525 * 2 = 0o525252
    0o275275 * 2 = 0o572572
    0o277775 * 2 = 0o577772
    0o1016015 * 5 = 0o5106101
    0o1077767 * 7 = 0o7677701
    0o1127665 * 5 = 0o5667211
    rigolo...
    Jusqu'ici tout va bien...

  13. #41
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour


    A minima il manque
    exact, je suis allé trop vite !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #42
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Citation Envoyé par polo974 Voir le message
    (...)
    salut,
    je pense que l'intérêt ludique du truc n'est pas de faire un programme.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. Publicité
  16. #43
    polo974

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    salut,
    je pense que l'intérêt ludique du truc n'est pas de faire un programme.
    Cdt
    je pense que remettre le code initial bien indenté n'est pas inutile.

    de plus explorer d'autres bases est plus facile avec le même programme un peu modifié que de le faire à la main et comme le résultat est lié à la base de représentation, ce n'est pas totalement inutile...

    ensuite, comme j'ai mis un bon bout de temps pour faire ma réponse (ben oui, parfois, je dois bosser un peu), il s'est passé pas mal de choses sur le fil.
    Jusqu'ici tout va bien...

  17. #44
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    bonjour polo:
    ce n'était que mon point de vue, ou plus précisément ma manière personnelle de faire pour ce type de question.
    je n'ai rien contre une approche informatique.
    bref, je ne voulais pas être négatif.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #45
    polo974

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    (oups, je vois dans mon exemple hexa que j'ai affiché le résultat de la multiplication à l'envers... (l'envers de l'envers, c'est l'endroit))
    Code:
    0X10EF * 15 = 0XFE01
    0X21DE *  7 = 0XED12
    0X43BC *  3 = 0XCB34
    0X10FEF * 15 = 0XFEF01
    0X21FDE *  7 = 0XEDF12
    0X43FBC *  3 = 0XCBF34
    0X10FFEF * 15 = 0XFEFF01
    0X21FFDE *  7 = 0XEDFF12
    0X43FFBC *  3 = 0XCBFF34
    et en octal, ça commence avec moins de digits:
    Code:
    0o25 * 2 = 0o52
    0o275 * 2 = 0o572
    0o1015 * 5 = 0o5101
    0o1067 * 7 = 0o7601
    0o2156 * 3 = 0o6512
    0o2525 * 2 = 0o5252
    0o2775 * 2 = 0o5772
    ...
    les nombres sont divisibles par (base - 1)
    mais j'ai l'impression que (base + 1) (ou sa décomposition en nombres premiers) joue un rôle...

    la série en base 8 est assez surprenante comparée au décimal et à l'hexa, mais justement (base + 1) n'est pas un nombre premier...

    dans les séries en décimal et hexa, les nombres sont divisibles par (base + 1)2 ...

    j'ai la flemme d'investiguer d'autres bases...
    Jusqu'ici tout va bien...

  19. #46
    Schrodies-cat

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Je me suis semble-t-il avancé un peu vite:
    Traitons plutôt l'équation n*x=x (modulo 9) de façon algébrique:
    Cela donne (n-1) x = 0 (modulo 9) soit:
    ((n-1) est multiple de 9) ou (x est multiple de 9) ou ((n-1) est multiple de 3) et (x est multiple de 3)) ce qui laisse pas mal de possibilités même si cela les réduit.
    Pour réduire encore les possibilités, on pourrait aussi utiliser les congruences modulo 11: si S et T sont palindromes l'un de l'autre en base 10 , on a : S=T (modulo 11) si leur nombre de chiffres commun est impair et S=-T (modolo 11) si leur nombre de chiffres est pair etc.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  20. #47
    Juzo

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    EDIT : grosse erreur dans mon raisonnement
    Dernière modification par Juzo ; 16/03/2016 à 00h51.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  21. #48
    Juzo

    Re : Une curiosité mathématique (pour moi)

    Bonjour à tous, j'aimerais proposer une solution à la question posée.

    Elle n'est pas très élégante, mais elle a le mérite de marcher quelle que soit la longueur du palindrome, de donner les valeurs de n et les valeurs de T et S associées.
    Je n'ai pas lu tous les messages, désolé s'il y a un doublon.

    On reprend l'équation : n * TRAxxxMS = SMxxxART (j'ai ajouté des x pour montrer que la longueur du palindrome n'a pas d'importance).

    Pour la suite j'écrirai # pour "congru à", ne maîtrisant pas la notation sur le forum.


    En regardant le premier chiffre du palindrome dans cette égalité, on voit que S = n*T ou S = n*T + k, k<9 (1)

    De plus en regardant le dernier chiffre, on voit que n*S # T [10]. On a donc : n² * T # T [10] ou n*(n*T + k) # T [10] (2)

    Il n'y a plus qu'à tester ces congruences pour n entre 2 et 9, et pour les différentes valeurs possibles de T, ce qui n'est pas si long.

    n = 2 : 4 * T # T [10] , T <5
    ou 2(2T+1)#T [10] , T<5

    On ne teste que pour T = 2 ou T = 4, T étant nécessairement pair. Aucune des congruences ne fonctionnent.

    n = 3 : 9 * T # T [10] , T<4
    ou 3(3T+1)#T [10] , T<3
    ou 3(3T+2)#T [10] , T<3

    Aucune des congruences ne fonctionne pour les 3 valeurs de T possibles.

    n = 4 : 16 * T # T [10] , T<3
    ou 4(4T+1)# T [10] , T< 3
    ou 4(4T+2)# T [10] , T=1
    ou 4(4T+3)# T [10] , T=1

    Seulement la 1ère congruence fonctionne pour T = 2 : 16 * 2 = 32 # 2 [10]. On a alors n = 4, T = 2, S = 8.

    Pour la suite T= 1 nécessairement, on teste donc la congruence n² # 1 [10], pour n allant de 5 à 9 :

    Cette congruence fonctionne uniquement pour n = 9. On a alors n= 9, T = 1, S = 9.


    Pour être complet il faut tester aussi si n(n+k) # 1 [10]

    On élimine les produits pairs et les produits par 5, il reste : 7*9 = 63 qui n'est pas congru à 1 modulo 10.

    CQFD.

    Quelque chose me dit qu'on n'aurait pu tester que la 1ère congruence à chaque fois, mais je ne suis pas assez à l'aise avec les congruences pour le vérifier.

    J'avais en tête une démonstration plus élégante, mais je ne sais pas comment la finaliser pour l'instant.

    PS : désolé pour le message inutile au-dessus
    Dernière modification par Juzo ; 16/03/2016 à 01h06.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

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