Mais cela m'a été utile pour répondre à ladite question, combiné avec ce que j'ai dit au post #17 .
Donner la solution d'un problème, c'est comme raconter la fin d'un film, cela gâche tout.
On veut savoir la fin mais ce qui est intéressant, c'est ce qui se passe avant, comment on en est arrivé là.
toutes mes excuses je te présente.
je comprend au moins une chose, c'est qu'effectivement deux chiffres palindromiques quels qu'ils soient sont "égaux" modulo 9.
en plus je l'avais presque écrit moi-même, comme un idiot.
pour un chiffre quelconque
999a+99b+9c+a+b+c+d=9k+m (m{0,8} )
d'où son palindrome
999d+99c+9b+a+b+c+d=9k'+m
et m identique.
était ce cela , en disant "aller plus loin" ?
Cdt.
Je rappelle la question initiale : quels sont les nombres n, T, S tels que n*T=S avec T et S "palindromes l'un de l'autre c'est à dire que T s'écrit en base dix avec les chiffres de S écris en sens inverse (et inversement !).
Que peut on dire de n, T, S ?
The_gritch a obtenu expérimentalement que cela ne marchait que pour n égal à 4 ou 9
Remarque : il n'a pas testé les cas 1 (les solutions sont les palindromes au sens usuel) que j'ai déjà mentionnée , et zéro !
Peut on le justifier et donc le démontrer dans le cas général ? (il n'a étudié qu'un nombre fini de cas)
Un indice de plus : "table de multiplication modulo 9"
Alors je n'ai pas lu son intervention initiale de la sorte.Envoyé par Schrodies-cat
son point ( à mon sens ) était que le palindrome d'un multiple de 9 ( et de 4 ) était aussi multiple de 9 ( ou 4 ).( avec au moins deux chiffres )
le palindrome ayant évidemment le même nombre de chiffres.
Si S=9k alors T ( palindrome ) =9k'.
Ce qui se démontre.
Il en va de même pour 11, mais pas pour 4.
a la relecture, la question concerne bien S et nS.
du coup , je comprend tes interventions.
j'ai répondu à une question différente.
Je précise: la dernière indication que j'ai donnée vous permettra de répondre à la question que j'ai posée plus haut: pour quelles valeurs de n l'équation n*x=x (modulo 9) a-t-elle des solutions ?
Vous verrez peut être plus clair avec ça.
Edit : mess croisés.
Il est vrai qu'il y a souvent un travail de reformulation à faire sur des questions semblant naïves et parfois pas très bien formulées, qui s'avèrent en fait des questions intéressantes.
J'aurais sans doute du commencer par là.
Bien entendu, il s'agit de mathématiques amusantes, mais cela permet de présenter simplement quelques méthodes utilisées, par exemple dans le cas présent, à l'étude de l'ensemble des solutions des équations diophantiennes ( équations à une ou plusieurs variables en nombres entiers).
pour répondre à ta question ( et je trouve comme toi le sujet amusant )
si on oublie n=1
je trouve : ( en laissant de coté le fait du "saut" éventuel du nombre de chiffres )
n= 4 si x (=) 3 mod [9]
n=7 si x (=) 6 mod [9]
n=9 dans tous les cas.
mais j'ai tj du mal à saisir le lien avec les nombres palindromiques.
cela va peut être venir.
bon ,je reconnais, j'ai démontré autre chose, mais qui est peut être complémentaire.
Cordialement.
Bonjour
A minima il manque
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
avec l'indentation, le python est beaucoup plus lisible:
ce qui donne:Code:for i in range (1000,9999999): for j in range (2,15): a=i*j b=(str(i)[::-1]) if (str(a)==b): #print ("i=",i, " et a=",a,"table de ",j) print ( "%d * %s = %s" %(i,j,a))
et là, on voit:Code:1089 * 9 = 9801 2178 * 4 = 8712 10989 * 9 = 98901 21978 * 4 = 87912 109989 * 9 = 989901 219978 * 4 = 879912 1099989 * 9 = 9899901maintenant, il faudrait voir dans une autre base...
- alternance 9, 4
- nombre de la table de 4 est double de celui de la table de 9 (1089 * 2 = 2178)
- insertion d'un 9 "au milieu" du nombre donne le suivant dans la même table.
en hexa, ça donne une alternance 15, 7, 3,
et ajout du 'F' (dernier chiffre de la base)
(0x indique un nombre hexadécimal)
et en octal:Code:0xFE01 * 15 = 0xFE01 0xED12 * 7 = 0xED12 0xCB34 * 3 = 0xCB34 0xFEF01 * 15 = 0xFEF01 0xEDF12 * 7 = 0xEDF12 0xCBF34 * 3 = 0xCBF34 0xFEFF01 * 15 = 0xFEFF01 0xEDFF12 * 7 = 0xEDFF12 0xCBFF34 * 3 = 0xCBFF34
(0o indique un nombre octal)
rigolo...Code:0o2156 * 3 = 0o6512 0o2525 * 2 = 0o5252 0o2775 * 2 = 0o5772 0o10767 * 7 = 0o76701 0o11165 * 5 = 0o56111 0o21756 * 3 = 0o65712 0o25025 * 2 = 0o52052 0o27775 * 2 = 0o57772 0o102515 * 5 = 0o515201 0o107767 * 7 = 0o767701 0o112665 * 5 = 0o566211 0o217756 * 3 = 0o657712 0o250025 * 2 = 0o520052 0o252525 * 2 = 0o525252 0o275275 * 2 = 0o572572 0o277775 * 2 = 0o577772 0o1016015 * 5 = 0o5106101 0o1077767 * 7 = 0o7677701 0o1127665 * 5 = 0o5667211
Jusqu'ici tout va bien...
exact, je suis allé trop vite !Bonjour
A minima il manque
salut,
je pense que l'intérêt ludique du truc n'est pas de faire un programme.
Cdt
je pense que remettre le code initial bien indenté n'est pas inutile.
de plus explorer d'autres bases est plus facile avec le même programme un peu modifié que de le faire à la main et comme le résultat est lié à la base de représentation, ce n'est pas totalement inutile...
ensuite, comme j'ai mis un bon bout de temps pour faire ma réponse (ben oui, parfois, je dois bosser un peu), il s'est passé pas mal de choses sur le fil.
Jusqu'ici tout va bien...
bonjour polo:
ce n'était que mon point de vue, ou plus précisément ma manière personnelle de faire pour ce type de question.
je n'ai rien contre une approche informatique.
bref, je ne voulais pas être négatif.
cordialement.
(oups, je vois dans mon exemple hexa que j'ai affiché le résultat de la multiplication à l'envers... (l'envers de l'envers, c'est l'endroit))
et en octal, ça commence avec moins de digits:Code:0X10EF * 15 = 0XFE01 0X21DE * 7 = 0XED12 0X43BC * 3 = 0XCB34 0X10FEF * 15 = 0XFEF01 0X21FDE * 7 = 0XEDF12 0X43FBC * 3 = 0XCBF34 0X10FFEF * 15 = 0XFEFF01 0X21FFDE * 7 = 0XEDFF12 0X43FFBC * 3 = 0XCBFF34
les nombres sont divisibles par (base - 1)Code:0o25 * 2 = 0o52 0o275 * 2 = 0o572 0o1015 * 5 = 0o5101 0o1067 * 7 = 0o7601 0o2156 * 3 = 0o6512 0o2525 * 2 = 0o5252 0o2775 * 2 = 0o5772 ...
mais j'ai l'impression que (base + 1) (ou sa décomposition en nombres premiers) joue un rôle...
la série en base 8 est assez surprenante comparée au décimal et à l'hexa, mais justement (base + 1) n'est pas un nombre premier...
dans les séries en décimal et hexa, les nombres sont divisibles par (base + 1)2 ...
j'ai la flemme d'investiguer d'autres bases...
Jusqu'ici tout va bien...
Je me suis semble-t-il avancé un peu vite:
Traitons plutôt l'équation n*x=x (modulo 9) de façon algébrique:
Cela donne (n-1) x = 0 (modulo 9) soit:
((n-1) est multiple de 9) ou (x est multiple de 9) ou ((n-1) est multiple de 3) et (x est multiple de 3)) ce qui laisse pas mal de possibilités même si cela les réduit.
Pour réduire encore les possibilités, on pourrait aussi utiliser les congruences modulo 11: si S et T sont palindromes l'un de l'autre en base 10 , on a : S=T (modulo 11) si leur nombre de chiffres commun est impair et S=-T (modolo 11) si leur nombre de chiffres est pair etc.
EDIT : grosse erreur dans mon raisonnement
Dernière modification par Juzo ; 16/03/2016 à 01h51.
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
Bonjour à tous, j'aimerais proposer une solution à la question posée.
Elle n'est pas très élégante, mais elle a le mérite de marcher quelle que soit la longueur du palindrome, de donner les valeurs de n et les valeurs de T et S associées.
Je n'ai pas lu tous les messages, désolé s'il y a un doublon.
On reprend l'équation : n * TRAxxxMS = SMxxxART (j'ai ajouté des x pour montrer que la longueur du palindrome n'a pas d'importance).
Pour la suite j'écrirai # pour "congru à", ne maîtrisant pas la notation sur le forum.
En regardant le premier chiffre du palindrome dans cette égalité, on voit que S = n*T ou S = n*T + k, k<9 (1)
De plus en regardant le dernier chiffre, on voit que n*S # T [10]. On a donc : n² * T # T [10] ou n*(n*T + k) # T [10] (2)
Il n'y a plus qu'à tester ces congruences pour n entre 2 et 9, et pour les différentes valeurs possibles de T, ce qui n'est pas si long.
n = 2 : 4 * T # T [10] , T <5
ou 2(2T+1)#T [10] , T<5
On ne teste que pour T = 2 ou T = 4, T étant nécessairement pair. Aucune des congruences ne fonctionnent.
n = 3 : 9 * T # T [10] , T<4
ou 3(3T+1)#T [10] , T<3
ou 3(3T+2)#T [10] , T<3
Aucune des congruences ne fonctionne pour les 3 valeurs de T possibles.
n = 4 : 16 * T # T [10] , T<3
ou 4(4T+1)# T [10] , T< 3
ou 4(4T+2)# T [10] , T=1
ou 4(4T+3)# T [10] , T=1
Seulement la 1ère congruence fonctionne pour T = 2 : 16 * 2 = 32 # 2 [10]. On a alors n = 4, T = 2, S = 8.
Pour la suite T= 1 nécessairement, on teste donc la congruence n² # 1 [10], pour n allant de 5 à 9 :
Cette congruence fonctionne uniquement pour n = 9. On a alors n= 9, T = 1, S = 9.
Pour être complet il faut tester aussi si n(n+k) # 1 [10]
On élimine les produits pairs et les produits par 5, il reste : 7*9 = 63 qui n'est pas congru à 1 modulo 10.
CQFD.
Quelque chose me dit qu'on n'aurait pu tester que la 1ère congruence à chaque fois, mais je ne suis pas assez à l'aise avec les congruences pour le vérifier.
J'avais en tête une démonstration plus élégante, mais je ne sais pas comment la finaliser pour l'instant.
PS : désolé pour le message inutile au-dessus
Dernière modification par Juzo ; 16/03/2016 à 02h06.
Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.
