Une curiosité mathématique (pour moi)

[the_gritche]

Bonjour

Récemment j'ai fait avec une de mes filles un exercice se math qui demandait de trouver la solution à l’énigme suivante :

4* TRAMS = SMART sans plus de précision , on remarquera toutefois que TRAMS et SMART sont palindromes


Joueur comme je suis j'ai donc fait le programme python ci dessous pour trouver le résultat (que je n'indiquerai pas ici pour que vous puissiez vous aussi chercher)

for i in range (1000,9999999):
for j in range (2,15):
a=i*j
b=(str(i)[::-1])
if (str(a)==b):

print ("oui j'en ai un")
print ("i=",i, " et a=",a,"table de ",j)
t=input("continuer")

Il cherche les nombres palindromes dans les tables de 2 à 15 entre 1000 et 9999999

En faisant tourner ce bout de script je n'étonne d'une chose : Pourquoi il n'y a que les tables de 4 et de 9 qui produisent de tel nombres ?

En plus ils sont de la même forme

Donc si vous avez des réponses mathématiques, mais pas trop quand même parce que je n'y comprends pas grand chose cela m’intéresse d'avoir votre avis
Merci
-----

[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre, 77777 est un nombre palindrome compris entre 1000 et 9999999 et il n'est ni multple de 4 ni multiple de 9

[the_gritche]

oui en effet , mais tu as pu remarquer que les palindromes sont recherchés entre le résultat et le multiplicande (TRAMS et SMART)

Exemple :

1089
x 9
------
9801

1089 et 9801 sont palindromes table de 9

[Deedee81]

Salut,

Il faut examiner chaque cas.

Par exemple, dans la table par 5, SMART se terminerait forcément par un 0 (4 * xxxx0 ou 4 * xxxx5)) et donc TRAMS ne serait plus un nombre de 5 chiffres mais de 4 (ou moins).

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

Bonjour,

Qu'est-ce que cela donne si on considère que les lettres représente les chiffres de 10 à 35, et qu'on travaille dans un système de numération à base 36? Ou une autre base entre 11 et 35.

[the_gritche]

Je précise que je ne cherche pas la reponse à l'enigme , car je l'ai trouvée,
et qu'il s'agit d'un exercice de 6eme /5eme

[Dynamix]

Par exemple, dans la table par 5, SMART se terminerait forcément par un 0 (4 * xxxx0 ou 4 * xxxx5)) et donc TRAMS ne serait plus un nombre de 5 chiffres mais de 4 (ou moins).

Oui en travaillant sur S et T , on a deux cas :
n.T = S et n.T = S-1
Chercher touts le couples avec S < 10 (il n' y en as pas des masses)
Vérifier pour chaque couple si on peut obtenir :
nS se termine par T

[the_gritche]

Vraiment, ne vous cassez pas la tête avec la solution mais le but de ma question etait de comprendre pourquoi les tables de 4 et 9 produisent de tels nombres comme
1089 et 9801

[Schrodies-cat]

Chercher du côté de la "Preuve par neuf".
Je n'ai pas cherché plus loin, mais il me semble que cela pourrait permettre d'obtenir quelque chose.

[Schrodies-cat]

En y réfléchissant un peu, je note que 1*1 = 1 ; 1*11=11 etc.
On notera donc qu'utiliser 1 comme multiplicateur marche aussi.

La méthode que j'ai indiqué au dessus permettra de réduire les possibilité mais n'expliquera pas pour quoi 4 et 9 (et 1 !!!) sont les seules possibilités .
Pourquoi pas 13 par exemple ?

[ansset]

pour 9 :
on peut partir du fait qu'un nombre abcd ( par exemple ) multiple de 9 vérifie aussi a+b+c+d=9
donc on a
1000a+100b+10c+d=9k et
a+b+c+d=9k'
la première peut s'écrire
999a+99b+9c+a+b+c+d
le palindrome dcba est donc naturellement multiple de 9.
( tout arrangement des 4 chiffres est aussi multiple de 9 )

ps : j'ai pris 4 chiffres en exemple.

[Dynamix]

Vraiment, ne vous cassez pas la tête avec la solution mais le but de ma question etait de comprendre pourquoi les tables de 4 et 9 produisent de tels nombres

Parce qu' il n' y a pas de raison pour qu' elles n' en produisent pas .
Il faut chercher pour quelle raison les autres , n' en produisent pas .

8 => T = 1 sinon S>10
Comme 8S est paire => T ne peut pas être égal à 1 , donc pas de solution pour 8
Idem pour 6

[Schrodies-cat]

Réponse d'Ansset :C'est un peu l'idée que j'ai suggérée, mais il faut développer davantage.

Noter que si n.T = S , avec n assez grand, S aura plus de chiffres que T.
Avec cette indication en plus, il me semble possible de venir à bout du problème.

[Dynamix]

Pourquoi pas 13 par exemple ?

Pour des valeurs supérieures à 9 les deux nombres n' ont pas le même nombre de chiffres , condition obligatoires pour être palindromiques .

[ansset]

Réponse d'Ansset :C'est un peu l'idée que j'ai suggérée, mais il faut développer davantage.
.

oui, bien sur, mais dans quel but ?
pour 9, je ne vois pas quoi dire de plus en démo , à part la formuler de manière encore plus concise.
je ne comprend pas ta seconde remarque.
un palindrome a par définition le même nb de chiffres.

ps : les multiples de 4 ne sont pas tous palindromes.

[ansset]

en revanche c'est vrai pour les multiples de 11.

pour le 9 , j'aurai pu écrire plus simplement
carla première peut s'écrire
999a+99b+9c+a+b+c+d=9k , donc a+b+c+d est multiple de 9
le palindrome dcba est donc naturellement multiple de 9.
( tout arrangement des 4 chiffres est aussi multiple de 9 )

[Schrodies-cat]

Pour quelles valeurs de n l'équation n*x=x (modulo 9) a-t-elle des solutions ?

Pour les feignants comme moi, il y a une façon facile de répondre ...

[ansset]

suis désolé, je ne vois pas le rapport avec les palindromes !!!

[ansset]

pour 11, à l'instar de 9
on montre que -a+b-c+d est multiple de 11, d'où palindrome aussi .
on peut poursuivre sur des nb plus grand ( que 4 chiffres ) avec la même logique.

ps: je ne vois tj pas ce qu'apporte une approche par les modulo ?????

[Dynamix]

suis désolé, je ne vois pas le rapport avec les palindromes !!!

Tu as raison , il sont "symétriques" ou quelque chose comme ça , mais pas palindromiques .

[Schrodies-cat]

j'ai parlé de preuve par neuf ( qui repose sur l'arithmétique modulo neuf).
"Donc" :
Si T et S sont palindromes l'un de l'autre (pour reprendre les conventions utilisées plus haut), T et S sont égaux modulo 9 .
Etc .

[ansset]

edit : inutile

[ansset]

Si T et S sont palindromes l'un de l'autre (pour reprendre les conventions utilisées plus haut), T et S sont égaux modulo 9 .
Etc .

pour tous les palindromes ?
je n'ai pas compris la démo , désolé.

[ansset]

en le disant autrement, c'est une implication , pas une équivalence.
tous les modulo égaux pour 9 ne sont pas palindromes.

[Schrodies-cat]

Je n'ai pas donné la démonstration, j'ai donné des indications.
Il vous reste à recoller les morceaux.

Et vous n'êtes pas obligé de répondre dans les minutes qui suivent.
Prenez le temps de réfléchir.

Note ce petit problème aurait pu avoir sa place aux olympiades de mathématiques ( sans préciser l'ensemble des solutions que the_gritche a obtenu expérimentalement.

[Schrodies-cat]

en le disant autrement, c'est une implication , pas une équivalence.
tous les modulo égaux pour 9 ne sont pas palindromes.

On ne peut pas toujours raisonner par équivalence pour résoudre un problème.
Il faut par fois se contenter d'implications.
Revenez à la question initiale.

[ansset]

ben si la question initiale est celle ci :

Pourquoi il n'y a que les tables de 4 et de 9 qui produisent de tel nombres ?

alors c'est faux pour 4 et il oublie 11.
pour le reste, je ne sais pas et vais te relire.
car je n'ai même pas compris ce que tu démontres.

[ansset]

edit : à repréciser.

[ansset]

on peut constater par exemple que les multiples de 9 sont(=)0 mod [9]
et que les multiples de 11 sont (=)0 ou 3 mod[9]
et que 9 et 11 ont tous leurs multiplicateurs palindromiques.
mais tout ça ne me dit rien sur l'avancée de la réponse à la question.
notamment parce que l'inverse n'est pas vrai.

bref, que démontres tu ?
le modulo n'est pas un critère de sélection des nb palindromiques, ou alors je n'ai pas compris ta démo.
tes réponses me semblent un peu obscures.

[ansset]

OK, je crois que tu montres , ou propose que deux nombres palindromiques ont le même reste mod[9]
c'est très intéressant, même si ce n'est pas exactement le sens de la question initiale.