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Triplets de Pythagore



  1. #1
    Svenn

    Triplets de Pythagore


    ------

    Voilà une question que j'aurais peut-être pu poster en catégories "mathématiques" parce que je n'en connais pas la réponse et que je ne sais pas si elle existe. Je suppose que oui mais on verra bien !

    On prend l'ensemble des triplets de Pythagore, c'est à dire les ensembles de 3 éléments a, b et c de N tels que a²=b²+c², avec a>b>c. Les premiers étant (5;4;3), (10;8;6), (13;12;5); etc... Ensuite, on élimine de la liste tous les triplets dont les trois éléments sont non premiers entre eux, par exemple (10;8;6) est éliminé parce que le pgcd de 6, 8 et 10 est égal à 2. Pour finir, on range les triplets restants par valeurs croissantes de a (puis de b si nécessaire) et on leur associe leur rang n d'apparition dans la liste. Le début de la liste est donc :

    a b c n
    5 4 3 1
    13 12 5 2
    17 15 8 3
    25 24 7 4
    29 21 20 5
    37 35 12 6
    41 40 9 7
    53 45 28 8
    61 60 11 9
    65 63 16 10
    65 56 33 11
    73 55 48 12
    85 77 36 13
    85 84 13 14
    89 80 39 15
    ....
    Si on trace la courbe a=f(n), il apparait que ces points "suivent de très près" la droite d'équation a = 2 pi n, autrement dit il semble que f(n)=2 pi n + o(n)
    Sur les 15000 premiers triplets, le coefficient de corrélation entre f(n) et 2 pi n est approximativement égal à 1-2,8*10-7

    D'où ma question, est-ce que cette conjecture est réelle ou non?

    -----
    Dernière modification par mh34 ; 13/01/2017 à 19h43.

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  3. #2
    CM63

    Re : Triplets dze Pythagore

    Bonjour,

    Très bonne question! Si je fais la suite des différences, j'ai une suite (assez complexe) de 4, 8, 12 ou 0 , en tout cas jusqu'à n=15

  4. #3
    Svenn

    Re : Triplets dze Pythagore

    Je crois avoir trouvé la solution et on aurait donc bien f(n) ~ 2 pi n

    Par contre ma """démonstration""" est tout sauf propre

  5. #4
    Médiat

    Re : Triplets dze Pythagore

    Bonjour,

    Vous pouvez poster votre démonstration ici, elle sera, sans doute, relue, critiquée, et si nécessaire améliorée.

    Idéalement au format pdf en Latex pour que ce soit facilement lisible.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tryss2

    Re : Triplets dze Pythagore

    La conjecture est correcte et a déjà été démontrée (par D. N. Lehmerau début du XXème) :

    https://oeis.org/A156685

    Maintenant, ta démonstration (ou tout du moins son principe si celle ci reste à dégrossir) est peut être originale !

  8. #6
    EauPure

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Svenn Voir le message
    Si on trace la courbe a=f(n), il apparait que ces points "suivent de très près" la droite d'équation a = 2 pi n, autrement dit il semble que f(n)=2 pi n + o(n)
    Sur les 15000 premiers triplets, le coefficient de corrélation entre f(n) et 2 pi n est approximativement égal à 1-2,8*10-7
    Bonjour,

    c'est quoi o(n) ?
    Si j'ai bien compris, pour le premier c'est assez loin avec 6,28 au lieu de 5
    puis 12,57 pour le second contre 13
    18,85 contre 17 pour le 3
    ...
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

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  10. #7
    Svenn

    Re : Triplets de Pythagore

    Il faut commencer par utiliser le fait que (a;b;c) est un triplet pythagoricien primitif si et seulement si il existe (u;v) entiers naturels premiers entre eux avec u+v impairs tels que :
    a=u²+v²
    b=2uv
    c=u²-v²

    Par ailleurs, supposons que deux couples (u1;v1) et (u2;v2) génèrent le même triplet pythagoricien primitif (a;b;c). Dans ce cas :
    a+c=2u1²=2u2², donc u1=u2 d'où on déduit v1=v2. Un triplet pythagoricien primitif est donc associé à un unique couple (u;v) tels que défini plus haut. Cependant, si (a;b;c) est pythagoricien primitif, (a;c;b) l'est aussi. Etant donné que (a;b;b) ne peut être primitif, on déduit donc que pour chaque triplet pythagoricien primitif il existe un et un seul couple (u;v) tels que (u et v soient premiers entre eux, u+v est impair, u>v). De même, chaque couple (u;v) vérifiant ces propriétés donne un triplet pythagoricien primitif.

    Dénombrer le nombre de triplets pythagoriciens primitifs (a;b;c) tels que a soit inférieur à x² donné revient donc à dénombrer les couples d'entiers naturels (u;v) avec u et v premiers entre eux, u+v impairs, u>v;v et u²+v²<x²

    Le nombre de couples d'entiers naturels (u;v) tels que u²+v²<x², quand x est très grand va correspondre à l'aire du quart de cercle de centre O et de de rayon x, soit pi x²/4
    Si on rajoute la condition u>v, il n'en reste plus que pi x²/8
    Les deux conditions restantes (u+v impair et u+v premiers entre eux) ne sont pas indépendantes. Si u et v sont premiers entre eux, il y a trois cas : u et v impairs, u pair et v impair, u impair et v pair. Si u et v sont premiers entre eux, la probabilité que u+v soit impair est donc 2/3.
    ENfin la probabilité que deux entiers inférieurs à x² soit premiers entre eux converge vers 6/pi² quand x tend vers zéro d'après un des théorèmes de Césaro.

    Donc si on fait le bilan, le nombre de triplets pythagoriciens tels que l'hypothénuse soit inférieure à x² va converger vers pi x²/8 * 2/3 * 6/pi² = 12 x²/(24 pi) = x²/(2pi)

    Et donc le rang du enième triplet pythagoricien sera de l'ordre de 2 pi n

    Voilà, c'est pas du tout rigoureux mais je pense que l'idée est là

  11. #8
    CM63

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,

    Résultat amusant.

  12. #9
    Tryss2

    Re : Triplets de Pythagore

    Je suis assez dubitatif sur cette justification :

    "Les deux conditions restantes (u+v impair et u+v premiers entre eux) ne sont pas indépendantes. Si u et v sont premiers entre eux, il y a trois cas : u et v impairs, u pair et v impair, u impair et v pair. Si u et v sont premiers entre eux, la probabilité que u+v soit impair est donc 2/3."

    Il n'y a en effet pas nécessairement équiprobabilité (c'est peut-être le cas, mais il faudrait le prouver)

  13. #10
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Attention Svenn, votre définition de n n'est pas la bonne
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Juzo

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour, j'allais poser la même question que Svenn : qu'est-ce qui prouve que ces trois cas sont équiprobables ?

  15. #12
    Svenn

    Re : Triplets de Pythagore

    @Tryss
    Bonne remarque !
    Ca donnait le facteur 2/3 dont j'avais besoin donc je n'ai pas été assez regardant sur la justification. Ca doit bien être équiprobable parce que ça donne le résultat souhaité, par contre je ne vois pas comment prouver que c'est réellement le cas.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Attention Svenn, votre définition de n n'est pas la bonne
    Ooops, toutes mes excuses, cette définition est correcte ce sont mes tests qui ne l'étaient pas
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Mct92mct

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,
    On voit apparaître des doublés a= 65 et a= 85...
    est ce qu'on continue à les trouver pour a=105 et a= 125?

  19. #15
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,

    Non, par contre 145, 185 et 205, mais aussi 221

    Voilà quelques multiples (les multiples de 5 sont sur-représentés) :
    65 2
    85 2
    145 2
    185 2
    205 2
    221 2
    265 2
    305 2
    325 2
    365 2
    377 2
    425 2
    445 2
    481 2
    485 2
    493 2
    505 2
    533 2
    545 2
    565 2
    629 2
    685 2
    689 2
    697 2
    725 2
    745 2
    785 2
    793 2
    845 2
    865 2
    901 2
    905 2
    925 2
    949 2
    965 2
    985 2
    1025 2
    1037 2
    1073 2
    1105 4
    1145 2
    1157 2
    1165 2
    1189 2
    1205 2
    1241 2
    1261 2
    1285 2
    1313 2
    1325 2
    1345 2
    1385 2
    1405 2
    1417 2
    1445 2
    1465 2
    1469 2
    1513 2
    1517 2
    1525 2
    1537 2
    1565 2
    1585 2
    1625 2
    1649 2
    1685 2
    1717 2
    1745 2
    1765 2
    1769 2
    1781 2
    1825 2
    1853 2
    1865 2
    1885 4
    1921 2
    1937 2
    1945 2
    1961 2
    1985 2
    2005 2
    2041 2
    2045 2
    2105 2
    2117 2
    2125 2
    2165 2
    2173 2
    2225 2
    2245 2
    2249 2
    2257 2
    2285 2
    2305 2
    2329 2
    2353 2
    2405 4
    2425 2
    2465 4
    2501 2
    2509 2
    2525 2
    2533 2
    2545 2
    2561 2
    2581 2
    2605 2
    2665 4
    2669 2
    2701 2
    2705 2
    2725 2
    2785 2
    2813 2
    2825 2
    2845 2
    2873 2
    2885 2
    2929 2
    2941 2
    2965 2
    2977 2
    2993 2
    3005 2
    3029 2
    3065 2
    3077 2
    3085 2
    3133 2
    3145 4
    3161 2
    3205 2
    3233 2
    3265 2
    3277 2
    3281 2
    3293 2
    3305 2
    3341 2
    3349 2
    3365 2
    3385 2
    3425 2
    3445 4
    3485 4
    3497 2
    3505 2
    3545 2
    3589 2
    3601 2
    3625 2
    3649 2
    3653 2
    3665 2
    3725 2
    3737 2
    3757 2
    3785 2
    3805 2
    3809 2
    3845 2
    3865 2
    3869 2
    3893 2
    3925 2
    3961 2
    3965 4
    3973 2
    3977 2
    3985 2
    4033 2
    4045 2
    4069 2
    4097 2
    4105 2
    4121 2
    4141 2
    4145 2
    4181 2
    4205 2
    4225 2
    4265 2
    4285 2
    4321 2
    4325 2
    4369 2
    4381 2
    4385 2
    4405 2
    4453 2
    4469 2
    4505 4
    4525 2
    4537 2
    4553 2
    4573 2
    4589 2
    4625 2
    4633 2
    4645 2
    4685 2
    4705 2
    4709 2
    4717 2
    4745 4
    4765 2
    4777 2
    4825 2
    4849 2
    4885 2
    4901 2
    4925 2
    4981 2
    4985 2
    5017 2
    5045 2
    5057 2
    5065 2
    5069 2
    5105 2
    5125 2
    5141 2
    5161 2
    5165 2
    5185 4
    5213 2
    5245 2
    5249 2
    5305 2
    5317 2
    5321 2
    5345 2
    5353 2
    5365 4
    5389 2
    5429 2
    5465 2
    5473 2
    5485 2
    5513 2
    5525 4
    5545 2
    5585 2
    5597 2
    5617 2
    5629 2
    5645 2
    5713 2
    5725 2
    5729 2
    5765 2
    5777 2
    5785 4
    5809 2
    5825 2
    5837 2
    5905 2
    5917 2
    5933 2
    5941 2
    5945 4
    5965 2
    5989 2
    5993 2
    6001 2
    6005 2
    6025 2
    6065 2
    6085 2
    6109 2
    6145 2
    6161 2
    6185 2
    6205 4
    6245 2
    6253 2
    6305 4
    6341 2
    6385 2
    6401 2
    6409 4
    6425 2
    6437 2
    6445 2
    6485 2
    6497 2
    6505 2
    6565 4
    6605 2
    6613 2
    6617 2
    6625 2
    6641 2
    6649 2
    6697 2
    6725 2
    6749 2
    6757 2
    6773 2
    6805 2
    6817 2
    6845 2
    6865 2
    6893 2
    6905 2
    6925 2
    6929 2
    6953 2
    6989 2
    7025 2
    7033 2
    7045 2
    7081 2
    7085 4
    7093 2
    7141 2
    7145 2
    7157 2
    7165 2
    7225 2
    7241 2
    7261 2
    7265 2
    7289 2
    7325 2
    7345 4
    7361 2
    7373 2
    7397 2
    7405 2
    7421 2
    7445 2
    7453 2
    7465 2
    7501 2
    7565 4
    7585 4
    7625 2
    7633 2
    7685 4
    7709 2
    7745 2
    7765 2
    7769 2
    7801 2
    7813 2
    7825 2
    7837 2
    7897 2
    7913 2
    7925 2
    7957 2
    7969 2
    7985 2
    8005 2
    8021 2
    8033 2
    8045 2
    8065 2
    8077 2
    8105 2
    8125 2
    8149 2
    8177 4
    8185 2
    8245 4
    8249 2
    8285 2
    8321 2
    8333 2
    8345 2
    8357 2
    8381 2
    8405 2
    8425 2
    8465 2
    8473 2
    8485 2
    8489 2
    8497 2
    8545 2
    8585 4
    8593 2
    8605 2
    8621 2
    8633 2
    8653 2
    8665 2
    8705 2
    8725 2
    8749 2
    8765 2
    8801 2
    8825 2
    8845 4
    8857 2
    8885 2
    8905 4
    8917 2
    8945 2
    8957 2
    8989 2
    9005 2
    9061 4
    9077 2
    9089 2
    9113 2
    9125 2
    9169 2
    9193 2
    9197 2
    9217 2
    9265 4
    9305 2
    9325 2
    9365 2
    9385 2
    9389 2
    9425 4
    9445 2
    9469 2
    9505 2
    9509 2
    9529 2
    9553 2
    9565 2
    9577 2
    9593 2
    9605 4
    9665 2
    9673 2
    9685 4
    9701 2
    9725 2
    9745 2
    9773 2
    9797 2
    9805 4
    9809 2
    9841 2
    9865 2
    9881 2
    9893 2
    9925 2
    9953 2
    9965 2
    9985 2
    9997 2
    10025 2
    10057 2
    10085 2
    10145 2
    10205 3
    10225 2
    10229 2
    10249 2
    10309 2
    10421 2
    10445 2
    10489 2
    10517 2
    10537 2
    10553 2
    10565 2
    10585 4
    10693 2
    10705 2
    10865 2
    11065 2
    11125 2
    11141 2
    11245 2
    11285 2
    11401 2
    11413 2
    11425 2
    11581 2
    11645 2
    11713 3
    11729 2
    11765 2
    12013 2
    12017 2
    12325 2
    12505 2
    12545 2
    12937 2
    13325 3
    13505 2
    14425 2
    14645 2
    Dernière modification par Médiat ; 16/01/2017 à 14h44.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Mct92mct

    Re : Triplets de Pythagore

    merci beaucoup "Mediat" pour votre réponse trés complète et intéressante...
    Cordialement

  21. #17
    Svenn

    Re : Triplets de Pythagore

    Ce qui m'amène à une autre constatation qui est vraie au moins jusqu'à une hypothénuse de 62849 (soit les 10 000 premiers triplets) :

    - Nombre d'hypothénuses permettant de générer exactement un triplet de Pythagore : 3172
    - ....... 2 triplets : 2582
    - ....... 3 triplets : 0
    - ....... 4 triplets : 408
    - ....... 5 triplets : 0
    - ....... 6 triplets : 0
    - ....... 7 triplets : 0
    - ....... 8 triplets : 4 (pour des hypothénuses de 32045, 40885, 45305 et 58565)

    Aucune valeur supérieure à 8 n'est obtenue pour les 10000 premiers triplets.

    Il semble donc qu'une hypothénuse a le "droit" de générer 2n triangles rectangles mais les autres valeurs ne sont pas autorisées.

  22. #18
    Mct92mct

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Svenn Voir le message
    Ce qui m'amène à une autre constatation qui est vraie au moins jusqu'à une hypothénuse de 62849 (soit les 10 000 premiers triplets) :

    - Nombre d'hypothénuses permettant de générer exactement un triplet de Pythagore : 3172
    - ....... 2 triplets : 2582
    - ....... 3 triplets : 0
    - ....... 4 triplets : 408
    - ....... 5 triplets : 0
    - ....... 6 triplets : 0
    - ....... 7 triplets : 0
    - ....... 8 triplets : 4 (pour des hypothénuses de 32045, 40885, 45305 et 58565)

    Aucune valeur supérieure à 8 n'est obtenue pour les 10000 premiers triplets.

    Il semble donc qu'une hypothénuse a le "droit" de générer 2n triangles rectangles mais les autres valeurs ne sont pas autorisées.
    Bonjour,
    il y a incompatibilité entre la réponse de "Médiat" et la réponse de "Svenn"
    11425 2
    11581 2
    11645 2
    11713 3
    11729 2
    11765 2
    12013 2
    12017 2
    12325 2
    12505 2
    12545 2
    12937 2
    13325 3
    13505 2
    14425 2
    14645 2
    En effet, pour l'hypothénuse 13325 et d'après "Médiat"
    il y aurait 3 triangles rectangles possibles
    Il y au moins un des deux algorithmes qui ne fonctionne pas correctement
    Cordialement
    Dernière modification par Mct92mct ; 18/01/2017 à 09h29.

  23. Publicité
  24. #19
    Mct92mct

    Re : Triplets de Pythagore

    J'ai l'impression que le programme de "Svenn" ne fonctionne pas, en effet, quand on fait la somme de tous les cas qu'il annonce, on obtient pas 10 000.

  25. #20
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Svenn Voir le message
    Il semble donc qu'une hypothénuse a le "droit" de générer 2n triangles rectangles mais les autres valeurs ne sont pas autorisées.
    Voilà un joli théorème qui utilise deux résultats :

    Théorème de Fermat : tout nombre premier congru à 1 modulo 4 s'écrit d'une et une seule façon comme la somme de deux entiers au carré (à permutation des deux entiers près)
    Identité de Fibonacci : (a² + b²)(c² + d²) = (ac-bd)² + (bc+ad)²

    Par exemple 1 185 665 est l'hypoténuse de 16 triplets pythagoriciens.

    Démonstration : http://math453spring2009.wikidot.com/triples
    Dernière modification par Médiat ; 18/01/2017 à 19h59.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Svenn

    Re : Triplets de Pythagore

    Mon programme fonctionne a priori très bien et celui de Mediat aussi, si ce n'est que la fin de sa liste est incomplète et que la fin de sa liste ne recense pas les solutions de façon exhaustive. Pur 13325 il y a exactement 4 solutions :

    13325 13244 1467
    13325 12596 4347
    13325 11956 5883
    13325 8284 10437

    Et la somme de donne pas 10000 parce que j'ai 10000 triplets et non 10000 hypothénuses (par exemple 13325 compte 4 fois et non 1 seule).

    Voilà une méthode pour générer rapidement les n premiers triplets de Pythagore en 3 minutes sous Excel. On commence par créer deux colonnes contenant l'ensemble des couples (a;b) avec a et b entiers et a>b. Pour ceux pas habitués à Excel, on peut par exemple mettre en A1 la valeur 2, en A2 la valeur 1, puis en B1 on met en B1 la fonction SI(A1=A2+1; A1+1;A1) en B2 on met SI(A1=A2;B1+1;1) et enfin on recopie B1 et B2 vers le bas. Pour avoir n triplets il faut recopier jusqu'à environ 4n, par exemple en recopiant jusqu'à la ligne 50000 j'ai une liste exhaustive jusqu'à environ 13000 triplets. Ensuite on fixe toutes les valeurs du tableau.

    Ensuite il faut éliminer toutes les cases telles que le pgcd de A1 et A2 est différent de 1 ou A1+A2 est pair. Ca peut être fait en créant une colonne C, par exemple en mettant en C1 si(et(est.pair(A1+A2);pgcd(A1; A2)=1;1;0) et en recopiant vers le bas. On veut garder toutes les lignes où on a 1 en colonne C donc on trie le tableau sur la colonne C et on récupère toutes les couples A;B donnant la bonne valeur en C (on élimine environ 60% des lignes).

    A partir des couples A;B restant on peut générer une liste de triplets primitifs. En C1 on rentre A1*A1+B1*B1, en D1 on met 2*A1*B1, en E1 on met A1*A1-B1*B1. On fixe les colonnes C, D et E. On n'a plus besoin des colonnes A et B, on peut récupére les colonnes C, D et E et il ne reste plus qu'à les remettre dans l'ordre et on a notre liste. Par construction, elle sera incomplète vers la fin (le dernier quart environ).

    Je suppose que Mediat a suivi une méthode très similaire puisqu'elle devient incomplète à peu près au même endroit que la mienne, si ce n'est qu'il a utilisé un point d'arrêt plus précoce et donc que sa liste devient incomplète plus rapidement.

  27. #22
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    Bonjour,
    il y a incompatibilité entre la réponse de "Médiat" et la réponse de "Svenn"

    En effet, pour l'hypothénuse 13325 et d'après "Médiat"
    il y aurait 3 triangles rectangles possibles
    Il y au moins un des deux algorithmes qui ne fonctionne pas correctement
    Bonjour,

    C'est le mien qui est fautif (en fait je ne voulais pas compter le nombre de possibilités, mais simplement débusquer des multiples), dans ma requête la limitation portait sur p et q

    Par exemple pour obtenir 13325 avec p et q < 100 on trouve :

    p = 86 et q = 77
    p = 94 et q = 67
    p = 98 et q = 61

    Mais on rate p = 109 et q = 38.
    Dernière modification par Médiat ; 18/01/2017 à 10h20.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #23
    Svenn

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,


    Voilà un joli théorème qui utilise deux résultats :

    Théorème de Fermat : tout nombre premier congru à 1 modulo 4 s'écrit d'une et une seule façon comme la somme de deux entiers au carré (à permutation des deux entiers près)
    Identité de Fibonacci : (a² + b²)(c² + d²) = (ac-bd)² + (bc+ad)²

    Par exemple 993395 est l'hypoténuse de 16 triplets pythagoriciens.

    Démonstration : http://math453spring2009.wikidot.com/triples
    Merci, je cherchais une démonstration mais je ne trouvais pas !

  29. #24
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Svenn Voir le message
    Je suppose que Mediat a suivi une méthode très similaire puisqu'elle devient incomplète à peu près au même endroit que la mienne, si ce n'est qu'il a utilisé un point d'arrêt plus précoce et donc que sa liste devient incomplète plus rapidement.
    En fait j'ai utilisé une requête SQL (que j'ai utilisée dans une formation SQL pour montrer que ses possibilités vont au-delà des bases de données ) avec p et q < Valeur donnée
    Dernière modification par Médiat ; 18/01/2017 à 10h21.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  30. Publicité
  31. #25
    Mct92mct

    Re : Triplets de Pythagore

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,


    Voilà un joli théorème qui utilise deux résultats :

    Théorème de Fermat : tout nombre premier congru à 1 modulo 4 s'écrit d'une et une seule façon comme la somme de deux entiers au carré (à permutation des deux entiers près)
    Identité de Fibonacci : (a² + b²)(c² + d²) = (ac-bd)² + (bc+ad)²

    Par exemple 993395 est l'hypoténuse de 16 triplets pythagoriciens.

    Démonstration : http://math453spring2009.wikidot.com/triples
    Bonjour,
    ce théorème n'aurait il pas des implications en cristallographie ?
    En effet, certains atomes de sels à mailles cubiques auraient des aptitudes a résonner sur certaines longueurs d'ondes...

  32. #26
    Médiat

    Re : Triplets de Pythagore

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    ce théorème n'aurait il pas des implications en cristallographie ?
    Désolé, mais cela dépasse mes compétences (comme tout ce qui dépasse ma feuille de papier ).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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