En pastichant ce qu'on appelle une impasse mexicaine du film de Morricone, voici une énigme d'un duel à 3 :
Mr Bon est mauvais tireur , il rate son coup 2 fois sur 3
Mr Brute est moyen , il réussit son coup 1 fois sur 2
Mr Truand est excellent, il réussit son coup à chaque tir
pour équilibrer les chances Mr Bon tire le 1er puis Mr Brute puis Mr Truand et ainsi de suite
1) sur qui doit viser Mr Bon pour maximaliser ses chances
2)quelle est sa proba de survie ...
Salut,
Très joli problème de probabilité. Franchement pas évident.
Je me demande s'il ne faudrait pas l'aborder par une méthode du style chaînes de Markov.
Si j'ai le temps j'y réfléchirai sur le temps de midi. Mais je parie qu'il y aura des réponses d'ici-là.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Allons pas si compliqué et puis on peut donner une stratégie sans en calculer les proba quoique en proba l'intiution est mauvaise conseillère !
Salut.Ça dépend: est-ce qu'en plus d'être meilleurs tireurs les adversaires sont meilleurs en proba ou simplement plus méchants mais surtout, une fois le premier coup de chacun parti, ils ont droit de vider leur chargeur ?Envoyé par Jacques 1515
Bonjour
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Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Chacun ne tire qu'un seul coup puis on passe on suivant ....etc
La stratégie de Mediat est bonne mais la proba est fausse , Markov help !!!
bonjour,
j'ai fait une petite simulation selon la priorité qu'on choisit les tireurs pour leur cible avec le pourcentage de chance d'être le dernier survivant.
Voici mon résultat sur 100000 tirages :
Bon en prio sur Brute
Brute en prio sur Truand
Truand en prio sur Bon
Bon : 16.6 %
Brute : 33.4 %
Truand : 50 %
Bon en prio sur Brute
Brute en prio sur Truand
Truand en prio sur Brute
Bon : 27.7 %
Brute : 16.6 %
Truand : 55.7 %
Bon en prio sur Brute
Brute en prio sur Bon
Truand en prio sur Bon
Bon : 0 %
Brute : 16.7 %
Truand : 83.3 %
Bon en prio sur Brute
Brute en prio sur Bon
Truand en prio sur Brute
Bon : 11.1 %
Brute : 0 %
Truand : 88.9 %
Bon en prio sur Truand
Brute en prio sur Truand
Truand en prio sur Bon
Bon : 25 %
Brute : 58.5 %
Truand : 16.5 %
Bon en prio sur Truand
Brute en prio sur Truand
Truand en prio sur Brute
Bon : 36.1 %
Brute : 41.7 %
Truand : 22.1 %
Bon en prio sur Truand
Brute en prio sur Bon
Truand en prio sur Bon
Bon : 8.3 %
Brute : 41.6 %
Truand : 50.1 %
Bon en prio sur Truand
Brute en prio sur Bon
Truand en prio sur Brute
Bon : 19.4 %
Brute : 25 %
Truand : 55.6 %
Une simul est interessante mais un petit calcul théorique de proba permet de conclure sans ambiguité et de définir une stratégie "gagnante"
Mais la stratégie gagnante pour le Bon dépend de la stratégie des deux autres il me semble, dans ce cas il n'y a pas qu'un seul calcul ?
Par exemple, si les deux autres ont décidé de l'éliminer, il n'aura aucune chance de survie.
Je rectifie, si le bon ne choisit pas de tirer sur le truand en premier pour ma dernière phrase.
Pas selon un théorème de Von Neumann (théorème du Mini Max). Il existe une stratégie maximisant le gain et ce quelles que soient les stratégies adverses.
Ceci dit, ce n'est pas nécessairement facile à trouver. Mais un petit raisonnement montre qu'il n'y a ici qu'un nombre restreint de stratégies. Le calcul de probabilité dans chaque cas ne doit pas être la mort qui tue. Et ça doit être assez proche de ce qu'à fait Iper.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Un peu d'aide car vous rendez complexe un pb simple
La stratégie de chacun est de rester en vie et pour cela il faut éliminer le plus dangereux pour soi
Comme c'est à Mr Bon de tirer :
s'il vise Mr Brute et qu'il le tue il est mort au coup d'apres
s'il vise Mr Truand et qu'il le tue il prend un risque au coup d'apres (50%)
sa meilleure stratégie est de tirer en l'air !
Apres Mr Brute tirera à coup sur sur Mr Truand sinon Mr Brute sera mort au coup d'apres car Mr Truand lui ne le ratera pas
etc etc
Maintenant que la stratégie est connue reste la quantification des probas !
Ca tu n'en sais rien.
Oui, à condition qu'il tire sur Monsieur Brute. Ca non plus tu n'en sais rien.
Une bonne stratégie doit tenir compte de toutes les attitudes que pourraient avoir les autres.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Analyse la stratégie que chacun doit avoir pour rester en vie, il n'y a qu'une seule stratégie pour chacun et c'est assez simple si on se met à la place de chacun quand c'est son tour de tirer
Je reprend lentement :
La meilleure stratégie de Bon est de tirer en l'air !
Apres Mr Brute tirera à coup sur sur Mr Truand sinon comme ce sera apres au tour de Truand, Truand à tout interet à tuer Brute qui est pour lui plus dangereux
donc Brute fait ce raisonnement et tire sur Truand
s'il le tue c'est au tour de Bon qui s'il tue Brute s'en tire
s'il le rate , c'est au tour de Truand qui tue Brute car il est plus dangereux que Bon et apres c'est au tour de Bon
Dans les 2 cas c'est à nouveau à Bon de tirer et il a une chance de s'en tirer
En adoptant cette ce stratégie c'est même Bon qui a la meilleure proba de survie
mais faut un peu bosser pour avoir la proba chiffrée
Et juste pour comprendre encore, pourquoi tout le monde ne ferait pas comme Mr Bon en tirant en l'air ?
Seul Bon a interet à tirer en l'air car c'est le plus mauvais tireur donc le moins dangereux pour les autres
Si Brute tire en l'air il est sûr d'etre tuer ensuite par Truand qui lui ne rate jamais sa cible et apres Truand s'étant débarasser de Brute il ne restera plus qu'à tuer Bon
C'est pour ça que Brute n'a qu'un choix : tirer sur Truand et esperer le tuer
Bon maintenant à vous de quantifier les proba de survie associées à chacun
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Ton résultat est bon
N'oublies pas le 1/2 de Brute qu'il faut multipier avec le 1/3 de Bon donc 1/6 et non 1/3
C'est faux. Et tu dois toutes les comparer (fait un tableau de type min-max) et là tu verras que la meilleure stratégie pour Bon n'est PAS de tirer en l'air. Et j'ai même dit pourquoi.
Si Bon tire en l'air puisque les deux autres lui tirent dessus (enfin, s'il est encore vivant après que la Brute ait tiré), il est forcément foutu.
Et dire que la Brute ou le Truand ont intérêt à faire autre chose n'est pas valable : tu ne peux pas savoir comment ils vont raisonner.
Tu ne peux pas savoir (en tant que Le Bon) s'ils vont agir de manière rationnelle (je précise que tu n'as jamais dit qu'ils sont rationnels).
Une stratégie doit prendre en compte TOUS les comportements possibles des autres (*) (**)
Tu ne pourras pas me convaincre que ta stratégie est la meilleure pour Le Bon en analysant juste UNE stratégie.
Il faut que tu me montres toutes les autres que que tu montres ainsi qu'elles sont moins bonne. Attention, n'en n'oublie surtout pas.
(*) C'est pour ça que le nombre de stratégie aux échecs est un nombre littéralement astronomique, bien plus grand que le nombres de parties possibles.
Mais au moins, ici, il n'y a pas autant, il y a moyen d'être exhaustif.
(**) Par exemple tu dis :
Ah bon ? Et qui te dit que la Brute ne va quand même pas tirer en l'air ? Il peut être bête. Suicidaire (sans oser se flinguer lui-même). Avoir une dent à mot contre Le Bon (au point de se sacrifier). Ou simplement paniquer.
Nul part tu n'a dit dans ton problème initial que la Brute allait agir en fonction de son propre intérêt et ce de manière rationnelle et optimale.
Tu ne peux donc pas supposer qu'il ne va pas tirer en l'air ou sur le Bon.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Ah ben oui ! Merci c'est tout bon donc.
La stratégie choisit suppose que les autres adoptent eux mêmes la meilleure stratégie. Le théorème de Nash assure l'existence d'une solution optimale pour tous les acteurs (c'est à dire une solution pour laquelle tout changement de stratégie amoindrirait les chances de survie pour chacun). Ce n'est pas forcément la stratégie globalement optimale (c'est à dire qu'elle peut conduire finalement à un gain individuel inférieur pour chacun à celui d'une autre stratégie de coopération, mais qui n'est pas optimale au sens ou un gain encore supérieur pourrait être obtenu par chaque acteur si les autres continuaient à suivre la même - paradoxe des prisonniers). Il est donc logique que chacun suppose que les autres vont suivre la stratégie optimale (qui consiste pour la brute et le truand à s'attaquer en priorité avant le bon).
Effectivement la probabilité de survie du bon est plus petite si il tue un des deux que si il n'en tue aucun, ceci n'est pas vrai pour la brute et le truand qui ont interêt à se retrouver seuls face au bon, donc il doit tirer en l'air.
Sinon une fois qu'il a tiré en l'air, je trouve les probas suivantes
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ça colle avec le résultat de Iper
Pour répondre à tous:
Pour Deedee : il s'agit de raisonner avec rationnalité : on suppose que chacun veuille sauver sa peau, qu'il n'y a pas de suicidaire, ni de pistolet enrayé, ni de tremblement de terre, et que la cavalerie n'arrive pas ......
Bref faire un calcul de proba avec des hypothèses bornées dans un contexte donné; le nb de cas est tres limité (au max 3) et ça converge très vite
La stratégie donnée et le calcul fait par Archi sont bons ainsi que ceux d' Iper
Pour Deedee tu peux prendre tous les scénarios et calculer la proba de survie associée le meilleure résultat pour Bon est le tir en l'air.
Juste une remarque pour Archi : le théorème de Nash ne s'applique pas car c'est pour du gagnant-gagnant dans une stratégie globale
dans notre cas c'est le contraire c'est du gagnant-perdant, il n'y a qu'un vainqueur qui doit éliminer tous les autres sans se poser de question !
Le temps qu'ils raisonnent, le bon a le temps de les flinguer (6 coups).
Moi, en tant que truand, je vois un crétin tirer en l'air, je le flingue parce qu'il pourrait bien me descendre sans le faire exprès !
Si Bon tire , celui qui reste le tue de suite et il est meilleur tireur que lui donc Bon est out
Si truand le tue alors Brute tue truand de suite et Bon est out ainsi que truand
dans tous les cas la stratégie gagnante est celle précitée : tire en l'air puis brute vise truand
Moi, en tant que brute, quelle que soit la stratégie la meilleure du bon, je ne vise pas truand, hein...
Ah, zut, je l'ai déjà dit...
donc tu es tué par truand qui ne rate jamais sa cible !
pas terrible comme stratégie
je pense qu'il s'applique quand il y a une stratégie "optimale" pour chacun ce qui est le cas ici non ? (au sens que chacun maximise sa chance de rester vivant, toute autre stratégie diminuant ses chances si les autres eux continuent à faire pareil).
Salut,
Cela me rappelle les trés bonnes vidéos de science4all sur la théorie des jeux.
Cordialement.
C'est vrai qu'on peut parler de l'équilibre de Nash dans la mesure où chacun adopte une stratégie qui prend en compte celle des autres
par contre là où c'est limite c'est que la finalité , dans l'équilibre de Nash , doit optimiser le gain global et donc celui de chacun et dans ce cas il s'agit de tuer les autres !
donc je ne sais pas trop !
