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Petit calcul de proba




  1. #1
    Jacques 1515

    Petit calcul de proba

    Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

    On lui en montre un : c'est un garçon

    Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
    Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
    Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

    Toujours surprenant et en proba ne pas faire confiance à son instinct

    -----


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  3. #2
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    je dirai ça :

     Cliquez pour afficher
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  4. #3
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    Rien à redire le raisonnement est nickel, par contre va expliquer ceci à une maman ou même un docteur
    Bon courage !

    Autre sujet
    Que répond un accoucheur mathématicien à la question de la maman ;: est ce un garçon ou une fille ?

    NB : comment fais tu pour mettre ta réponse un message caché pour ne pas spoiler les autres ?


  5. #4
    albanxiii

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    Autre sujet
    Que répond un accoucheur mathématicien à la question de la maman ;: est ce un garçon ou une fille ?
     Cliquez pour afficher
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  6. #5
    Olivzzz

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

    On lui en montre un : c'est un garçon

    Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
    Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
    Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

    Toujours surprenant et en proba ne pas faire confiance à son instinct
    Bonjour, ou bonsoir,
    L'inconnue de l'équation c'est le sexe du bébé que le médecin n'a pas présenté, et lui seul. Peu importe le sexe et l'ordre de naissance du bébé présenté, la probabilité que l'autre soit un garçon est la même que dans le cas d'une naissance unique : 1 sur 2.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Olivzzz Voir le message
    Bonjour, ou bonsoir,
    L'inconnue de l'équation c'est le sexe du bébé que le médecin n'a pas présenté, et lui seul. Peu importe le sexe et l'ordre de naissance du bébé présenté, la probabilité que l'autre soit un garçon est la même que dans le cas d'une naissance unique : 1 sur 2.
    en fait je n'ai pas donné la même réponse mais cette réponse me semble aussi acceptable, voici pourquoi
    PS pour Jacques : passer en "mode avancé" et sélectionner le bouton "SPOIL" en bas à droite du menu pour cacher la réponse .

     Cliquez pour afficher
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  9. #7
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    On se place du côté proba
    Revenons aux fondamentaux : il y a 4 cas possibles GG,GF,FG,FF

    Le docteur montre 1 Garçon donc il n'y a que 3 cas ; GG,GF,FG

    Cas 1 le Dr ne dit rien sur l'ordre : Proba d'avoir 2 G = 1/3

    Cas 2 le Dr dit que le G est le second il y a que 2 cas : GG, FG la proba pour un autre G est 1/2

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  11. #8
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    à condition que chaque fois qu'il y avait au moins un garçon , la probabilité que le docteur montre un garçon soit la même (donc 100 %), donc qu'il ait délibérément choisi de montrer le garçon quand il y avait un garçon et une fille ....
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  12. #9
    Olivzzz

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    On se place du côté proba
    Revenons aux fondamentaux : il y a 4 cas possibles GG,GF,FG,FF

    Le docteur montre 1 Garçon donc il n'y a que 3 cas ; GG,GF,FG

    Cas 1 le Dr ne dit rien sur l'ordre : Proba d'avoir 2 G = 1/3

    Cas 2 le Dr dit que le G est le second il y a que 2 cas : GG, FG la proba pour un autre G est 1/2
    Bonsoir,

    Désolé mais je ne suis pas d'accord avec vous et je me répète, l'inconnue dans l'histoire est uniquement le sexe du bébé non présenté. Il n'y a dès lors que 2 cas possibles : 1) le bébé non montré est une fille, 2) le bébé non montré est un garçon. Sachant que statistiquement 1 naissance sur 2 est un garçon (ou presque) alors les chances que l'autre bébé soit un garçon sont de 1 sur 2, quuoi que dise le toubib sur le bébé qu'il présente. Sinon cela voudrait dire que le sexe du bébé présenté a une influence sur celui de l'autre, ce qui n'est pas le cas.

  13. #10
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Olivzzz Voir le message
    Bonsoir,

    Désolé mais je ne suis pas d'accord avec vous et je me répète, l'inconnue dans l'histoire est uniquement le sexe du bébé non présenté. Il n'y a dès lors que 2 cas possibles : 1) le bébé non montré est une fille, 2) le bébé non montré est un garçon. Sachant que statistiquement 1 naissance sur 2 est un garçon (ou presque) alors les chances que l'autre bébé soit un garçon sont de 1 sur 2, quuoi que dise le toubib sur le bébé qu'il présente. Sinon cela voudrait dire que le sexe du bébé présenté a une influence sur celui de l'autre, ce qui n'est pas le cas.
    Cette énigme connue et classque depuis plus de 10 ans fait toujours polémique comme quoi la branche des proba n'est pas intuitive et il faut faire abstraction des concepts d'environnement pour ne considerer que les chiffres et les cas possibles

    Je vous suggère d'aller sur le page suivante qui explicite le raisonnements (à noter que l'auteur a choisit des filles au lieu de garçons !)
    l'enigme des 2 soeurs !

    http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...il/Famille.htm

    Voir également wiki
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enfants
    et
    http://enigmatik.epikurieu.com/enigm...aimeaussi.fhtm

    Je suis sûr que malgré les démonstrations de ces 3 sites "sérieux" vous ne serez pas convaincus car en proba on se plante facilement avec la certitude d'avoir un bon resultat.

  14. #11
    Olivzzz

    Re : Petit calcul de proba

    Ok, admettons.

    Problème A : Le toubib montre un bébé, c'est un garçon mais on ne sait pas s'il est le premier ou le 2ème né. Il y a donc 4 cas de figure possible (Gm = garçon montré par le toubib, et le premier terme avant le "/" est l'"ainé" et le second, le "cadet") : Gm/G, G/Gm, Gm/F, F/Gm. Dans 2 cas, l'autre est un garçon, dans 2, l'autre est une fille. Proba que l'autre soit un garçon = 1 sur 2.

    Problème B : Le toubib montre un bébé, c'est un garçon et il précise qu'il est le second. Il y a donc 2 cas de figure possible : F/Gm, G/Gm. Proba que l'autre soit un garçon = 1 sur 2.

    CQFD. Le sexe et le rang du bébé qui est présenté n'intervient pas dans la proba que l'autre soit un garçon ou une fille. ça vous convient ? (car non seulement vous faites des probas en faisant intervenir des éléments extérieurs à l'inconnue mais en plus vous les posez de manière fausse en oubliant qu'il y a 2 cas GG (G/Gm et Gm/G).
    Dernière modification par Olivzzz ; 02/11/2017 à 21h27.

  15. #12
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Olivzzz Voir le message
    Ok, admettons.

    Problème A : Le toubib montre un bébé, c'est un garçon mais on ne sait pas s'il est le premier ou le 2ème né. Il y a donc 4 cas de figure possible (Gm = garçon montré par le toubib, et le premier terme avant le "/" est l'"ainé" et le second, le "cadet") : Gm/G, G/Gm, Gm/F, F/Gm. Dans 2 cas, l'autre est un garçon, dans 2, l'autre est une fille. Proba que l'autre soit un garçon = 1 sur 2.
    Vous introduisez 2 cas identiques Gm/G et G/Gm, le fait qu'il soit montré en 1er ou second n'ajoute pas de cas.
    Ce qui modifie le nb de cas est le rang de naissance
    Je vous ai listé 3 sites distincts qui explicitent le raisonnement et il y enn a d'autres ; comme je vous l'ai dit une erreur de raisonnement en proba est impossible à rectifier quand on ne veut pas l'entendre

  16. #13
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    Votre discussion - et votre désaccord - est typique du fait que vous utilisez une approche purement "fréquentiste" (calcul du nombre de cas favorable / nombre de cas total) , alors que l'approche correcte est bayesienne : voir le fil que j'ai ouvert .
    La vrai réponse est que la probabilité que l'autre soit un garçon (resp. une fille) est proportionnelle au nombre de cas favorables pondérés par la probabilité que l'accoucheur ait montré un garçon dans ce cas. (le "fameux" p(B|A)) C'est ce dernier facteur qui explique votre divergence d'opinion.
    * si l'accoucheur choisit de ne montrer que le garçon dans tous les cas où c'est possible, il montrera un garçon 3 fois sur 4 , et dans deux de ces 3 fois, l'autre sera une fille : on retrouve la probabilité de Jacques (ici p(B|A) = 1 si il y a au moins un garçon et 0 si il y a deux filles).
    * si l'accoucheur prend un des jumeaux au hasard et le montre (ou prend toujours le second, ou toujours le premier), ce sera un garçon une fois sur deux et une fille une fois sur deux, et le deuxième sera une fois sur deux un garçon ou une fille : on retrouve la probabilité d'Olivzzz (ici p(B|A) = 0.5 si il y a un garçon et une fille ce qui réduit par un facteur deux la contribution des "mixtes").

    La bonne réponse est donc : ça dépend de la façon dont l'accoucheur a choisi l'enfant qu'il montre.
    Dernière modification par Archi3 ; 03/11/2017 à 06h49.
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  17. #14
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    NB :
    a) le "biais " 2/3 -1/3 vient donc uniquement du fait que dans l'hypothèse 1, le choix de l'accoucheur n'est pas symétrique garçon-fille et que ça biaise la représentation des cas.
    b) si il n'y avait pas ce biais, on aboutirait à un paradoxe : en effet si on montre un garçon et qu'on dit qu'il y a 2/3 de chance pour que l'autre soit une fille, on trouverait qu'il y a 2/3 de jumeaux "mixtes" quand on montre un garçon, et également 2/3 de jumeaux mixtes quand on montre une fille, donc qu'il y a 2/3 de jumeaux mixtes, ce qui est manifestement faux ! l'erreur vient que dans le cas 1, ce n'est évidemment pas symétrique : si il montre une fille, il y a 100 % de chances que l'autre soit une fille !
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  18. #15
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

    On lui en montre un : c'est un garçon

    Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
    Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
    Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !
    Je pense que votre explication permet d'expliquer "la ou les réponses" et montre le paradoxe de cette énigme.
    Les 2 réponses dépendent des hypothèses de ce que fait ou dit le toubib .
    Quelle devrait etre le libéllé précis de la phrase : On lui en montre un : c'est un garçon
    pour qu'on puisse avoir les 2 cas conduisant aux 2 proba et ainsi faire perdurer cet amusant paradoxe ?

  19. #16
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    Le petit souci, c'est qu'on ne peut pas vraiment calculer de probabilité sans information sur la stratégie de l'accoucheur (c'est un peu le même problème qu'avec le bon la brute et le truand !). Et si on donne l'information un peu plus détaillée (il faut que l'accoucheur dise : "je vous montrerai un garçon si vous en avez un", et il montre un garçon ...) , mais ça risque de mettre sur la piste pour la réponse à la devinette....
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  20. #17
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

    On lui en montre un : c'est un garçon

    Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
    Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
    Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !
    Et si on remplace l'hypothèse : On lui en montre un : c'est un garçon par le docteur en prend un au hasard c'est un garçon
    on retrouve les 2 cas sans trop mettre sur la voie ?

  21. #18
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    si il a été pris au hasard, la réponse correcte est qu'il y a juste 50 % de chances que l'autre soit un garçon et 50 % une fille, comme le bon sens l'indique (facile à vérifier en lançant deux pièces à pile ou face et en n'en regardant qu'une).
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  22. #19
    Jacques 1515

    Re : Petit calcul de proba

    En etes vous sûr que ce soit 1/2 pour les cas 1 & 2 !!!
    Car en lui montrant le garçon on élimine de l'ensemble des cas probables le cas FF !!!
    donc l'espace de départ est GG, FG, GF
    la question est de savoir si "le toubib en prenant au hasard" entre dans l'application de Bayes

  23. #20
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Archi3 Voir le message
    * si l'accoucheur prend un des jumeaux au hasard et le montre (ou prend toujours le second, ou toujours le premier), ce sera un garçon une fois sur deux et une fille une fois sur deux, et le deuxième sera une fois sur deux un garçon ou une fille : on retrouve la probabilité d'Olivzzz (ici p(B|A) = 0.5 si il y a un garçon et une fille ce qui réduit par un facteur deux la contribution des "mixtes").
    Si la règle fixée au départ est de montrer un garçon, s'il montre effectivement un garcon alors on est dans le cas où il ne choisit pas au hasard mais délibérément le garcon. La question n'est pas s'il prend au hasard ou non le jumeau, mais si la règle est fixée avant ou après qu'il ait vu le sexe des jumeaux.

  24. #21
    leon1789

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

    On lui en montre un : c'est un garçon

    Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
    Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
    Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

    Toujours surprenant et en proba ne pas faire confiance à son instinct
    Bonsoir,
    le problème de tels énoncés, c'est qu'il font une description laissant une part d'interprétation subjective non négligeable pour établir une réponse cohérente.
    Ici, il y a plusieurs soucis, dont celui-ci :
    << On lui en montre un : c'est un garçon. Le docteur lui dit qu'il est le second ! >>
    Ben, là, je comprends que "le garçon montré est le second"...ie "le second garçon qui vient de naître" ! Donc les deux enfants sont des garçons, et donc la proba qu'il y ait une fille est nulle.

    Ainsi de suite, toutes les interprétations possibles vont apporter des probas différentes. Bref, comme toujours en math, il faut être suffisamment précis pour ne pas que l'instinct fasse un choix non seulement caché, mais personnel et donc arbitraire.

  25. #22
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Si la règle fixée au départ est de montrer un garçon, s'il montre effectivement un garcon alors on est dans le cas où il ne choisit pas au hasard mais délibérément le garcon. La question n'est pas s'il prend au hasard ou non le jumeau, mais si la règle est fixée avant ou après qu'il ait vu le sexe des jumeaux.
    Non, même pas, quoiqu'il arrive le fait que l'accoucheur ait montré un garcon (ou fille) élimine toujours le cas fille/fille (ou garçon/garçon).

  26. #23
    Juzo

    Re : Petit calcul de proba

    Ce qui compte c'est la manière dont le tirage est réalisé. Si j'ai 4 urnes comprenant chacune deux boules blanches ou noires (boules numérotées 1 et 2 pour définir un ordre), les urnes suivantes : BB, BN, NB, NN.

    Je peux soit prendre une boule au hasard dans les 4 urnes, soit choisir une urne au hasard puis tirer une boule au hasard dans cette urne.

    L'expérience des bébés est équivalente au cas n°2.
    L'urne à été choisie AVANT de tirer la boule (les jumeaux sont nés avant de montrer un bébé à la mère).
    Si j'obtiens une boule noire, tout ce que je sais c'est que l'urne BN, NB ou NN a été choisie auparavant. Je n'ai pas d'autre information. Ça fait donc 2 chances sur 3 que l'autre boule soit blanche. De même si le bébé montré est un garçon (sans savoir s'il est né avant ou après), il y a 2 chances sur 3 que l'autre soit une fille.

    Dans le cas n°1, celui où je tire directement l'une des huit boules présentés dans les urnes, si j'obtiens une noire je sais que j'ai tiré l'une des 4 noires, et il y a 1 chance sur 2 que celle-ci se trouve dans l'urne NN (donc 1 chance sur 2 que l'autre boule de l'urne soit une blanche)

  27. #24
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Dans le cas n°1, celui où je tire directement l'une des huit boules présentés dans les urnes, si j'obtiens une noire je sais que j'ai tiré l'une des 4 noires, et il y a 1 chance sur 2 que celle-ci se trouve dans l'urne NN (donc 1 chance sur 2 que l'autre boule de l'urne soit une blanche)
    Plutôt une chance sur 3 (NN ok, NB ko, BN ko = 1 chance sur 3), ca ne change rien ou j'ai mal compris.
    Dernière modification par Merlin95 ; 03/11/2017 à 21h10.

  28. #25
    Juzo

    Re : Petit calcul de proba

    Si j'ai tiré une noire il y a 1 chance sur 2 que celle-ci provienne de l'urne NN car deux noires sur 4 se trouvent dans l'urne NN (je précise qu'on est dans le cas n°1 qui ne concerne pas l'expérience avec les bébés ; c'est le cas où je tire une boule parmi les huit sans choisir une urne auparavant)

  29. #26
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Si j'ai tiré une noire il y a 1 chance sur 2 que celle-ci provienne de l'urne NN car deux noires sur 4 se trouvent dans l'urne NN (je précise qu'on est dans le cas n°1 qui ne concerne pas l'expérience avec les bébés ; c'est le cas où je tire une boule parmi les huit sans choisir une urne auparavant)
    Pour moi non, tu as 2 fois plus de chances (100%) de tirer une noire dans l'urne NN que dans le urnes BN ou NB (50%) mais tu n'as pas une chance sur deux qu'elle provienne de l'urne NN.

  30. #27
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    En fait suivant pour une même situation, avec un raisonnement, on obtient 1 chance sur 2, et dans un autre 1 chance sur 3.

    J'ai du mal à voir ce que cette histoire de tirer l'urne avant ou après signifie exactement, et permet d'expliquer la différence.

  31. #28
    Merlin95

    Re : Petit calcul de proba

    Choisir une boule parmi les 8 peut se faire tout en ayant conscience et en voyant bien dans quelle urne il s'effectue, ca revient à choisir une urne même implicitement. Comment modéliser cela un peu plus clairement peut-être ?

  32. #29
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Jacques 1515 Voir le message
    En etes vous sûr que ce soit 1/2 pour les cas 1 & 2 !!!
    Car en lui montrant le garçon on élimine de l'ensemble des cas probables le cas FF !!!
    donc l'espace de départ est GG, FG, GF
    la question est de savoir si "le toubib en prenant au hasard" entre dans l'application de Bayes
    il n'y a pas de cas où on entre dans l'application de Bayes et de cas où on n'y entre pas : la méthode de Bayes est la bonne méthode pour traiter ce genre de problème, point final . La réponse est la bonne parce que
    a) évidemment en en prenant un au hasard ça ne dit rien sur l'autre
    b) tu peux le vérifier en tirant de façon aléatoire deux pièces (ou en programmant un random) et en vérifiant que si tu en prends une au hasard qui est pile, la 2e sera une fois sur deux pile et l'autre fois face.
    c) il y aurait une contradiction sinon sur le fait que le rôle des garçons et des filles étant symétriques, on aboutirait à la conclusion que si il montrait une fille, il y aurait deux chances sur 3 que l'autre soit un garçon. Ce qui veut dire en combinant les deux cas qu'il y a deux chances sur 3 d'avoir des jumeaux mixtes et une chance sur 3 d'avoir des jumeaux de même sexe. Ce qui est manifestement faux.
    d) l'erreur ou l'oubli vient du fait qu'en comptant le nombre de cas favorable, tu supposes que la probabilité conditionnelle de montrer un garçon dans chacun des cas est toujours la même - donc de 100 % puisqu'elle est de 100 % dans le cas où il y a deux garçons. Ceci n'est vrai comme je dis que si l'accoucheur décide de toujours montrer un garçon quand il y en a un - c'est ça qui introduit la dissymétrie aboutissant finalement à 2/3 de chance que l'autre soit une fille. Si le tirage est aléatoire, la probabilité conditionnelle de montrer un garçon n'est que de 50 % dans le cas des couples mixtes, et cela réduit d'un facteur deux l'influence statistique des couples GF et FG ... on retrouve bien 50 % de G et 50 % de F.
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  33. #30
    Archi3

    Re : Petit calcul de proba

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Ce qui compte c'est la manière dont le tirage est réalisé. Si j'ai 4 urnes comprenant chacune deux boules blanches ou noires (boules numérotées 1 et 2 pour définir un ordre), les urnes suivantes : BB, BN, NB, NN.

    Je peux soit prendre une boule au hasard dans les 4 urnes, soit choisir une urne au hasard puis tirer une boule au hasard dans cette urne.
    c'est tout à fait équivalent.
    L'expérience des bébés est équivalente au cas n°2.
    L'urne à été choisie AVANT de tirer la boule (les jumeaux sont nés avant de montrer un bébé à la mère).
    le problème n'est pas de savoir si tu as choisi l'urne avant (on s'en fiche, c'est pareil), mais si tu as regardé dedans ou pas avant de prendre la boule !
    si tu regardes dedans et que tu décides de toujours prendre une boule noire quand il y a en une, tu prendras une boule noire 3 fois sur 4 et une boule blanche une fois sur 4 (dans l'urne BB uniquement). Sur les 3 fois ou tu as pris une boule noire, il y aura 2 fois une autre boule blanche et une fois une noire; tu as donc bien 2/3 de chances que l'autre soit B, mais uniquement parce que tu as biaisé ton choix initial en faveur des noires.
    Si tu n'as pas regardé dans l'urne avant de tirer, tu n'as qu'une chance sur 2 de tirer une boule noire : le cas NN contribue une fois sur 4, et chacun des cas NB et BN contribuent une fois sur 8 (= 1/4 * probabilité de 1/2 de tirer la noire) , le total fait bien 1/2 = 1/4 pour NN et 1/4 pour (NB+BN). Dans le premier cas, l'autre est noire et dans le deuxième, l'autre est blanche, mais comme ils sont équiprobables on retrouve bien 1/2 N et 1/2 B pour l'autre.

    Donc : choix aléatoire de la première boule -> résultat aléatoire pour la deuxième
    choix biaisé de la première boule en faveur de la noire -> résultat biaisé pour la deuxième en faveur de la blanche.

    Ce qui est quand même tout à fait logique ...
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

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