Petit calcul de proba

[Juzo]

Choisir une boule parmi les 8 peut se faire tout en ayant conscience et en voyant bien dans quelle urne il s'effectue, ca revient à choisir une urne même implicitement. Comment modéliser cela un peu plus clairement peut-être ?

Supposons que les huit boules sont programmées pour que l'une d'entre elle au hasard se mette à émettre de la lumière. Si on sait que c'est une boule noire qui émet de la lumière, alors il y a 1 chance sur 2 que celle-ci se trouve dans l'urne NN.

On peut aussi s'imaginer que les boules sont dans une même urne, indiscernables au toucher, avec une inscription "NN", "NB" etc. en plus de leur couleur Il y a bien 2 boules noires qui auront l'inscription NN, une noire qui aura l'inscription NB et une noire qui aura l'inscription BN. Si on tire une noire, il y a 1 chance sur 2 qu'elle porte l'inscription NN.

Mais ce n'est pas le cas avec l'expérience des bébés. Le hasard nous place d'abord dans l'un des cas équiprobables FF, FG, GF ou GG, puis on tire un bébé au hasard, ce qui revient à choisir une urne BB, BN, NB ou NN puis tirer une boule au hasard dans cette urne.

Si tu n'as pas regardé dans l'urne avant de tirer, tu n'as qu'une chance sur 2 de tirer une boule noire :

Sauf que la question n'est pas de savoir quelle est la probabilité de tirer une noire, mais quelle est la probabilité que l'autre soit blanche sachant qu'on a tiré une noire. Mais je me trompe peut-être.

Prenons une expérience plus explicite : les urnes n°1 et n°2 contiennent chacune 99 blanches et 1 noire, et l'urne n°3 contient 10 000 noires. Supposons que je choisisse une urne au hasard puis je tire une boule dans cette urne, et que j'obtienne une noire.
- je dirais qu'il y a 2 chances sur 3 que la prochaine boule tirée soit blanche
- vous diriez qu'il y a seulement 2 chances sur 10 002 que la prochaine boule tirée soit blanche

L'une des deux réponses est la bonne, ou aucune, il faut trancher
-----

[Juzo]

Ok je me suis emmêlé les pinceaux désolé, si on sait que la mère a deux enfants dont un garçon, il y a effectivement 1 chance sur 3 que l'autre soit un garçon.

Mais si le docteur a choisi un enfant au hasard sur les deux nouveaux nés et que c'est un garçon, alors il y a bien une chance sur 2 que l'autre soit une fille.

Ce sont ces deux situations que je n'aurais pas dû considérer comme équivalentes.

[Merlin95]

Problème.

Je tire une noire,
1er raisonnement : il y a 3 cas BN, NB, NN j'ai une chance sur 3 que j'ai choisi dans l'urne NN
2ème raisonnement : il y a 2 boules N sur 4 dans NN, j'ai donc 1 chance sur 2 de tirer dans NN.

Dans un cas on tombe sur 1/3 dans l'autre 1/2. Où est l'erreur ?
[détail 2ème raisonnement]
Si on revient sur le 2ème raisonnement imaginons qu'en plus de la couleur, il soit inscrit l'urne dans laquelle se trouve la boule, on a alors ces boules :

(B;BN)(N;BN)(N;NB)(B;NB)(N;NN) (N;NN)

dont le tirage est équiprobable. Je tire une boule N, combien j'ai de chance qu'elle soit dans l'urne NN ?
nbre cas favorable/nbre de cas total (j'ai tiré une noire) = 2/4, on retrouve le résultat 1/2.
[/détail 2ème raisonnement]
Avec deux raisonnements, on a deux résultats différents, comment concilier les résultats ? Perso,je ne vois pas.

[Merlin95]

Je pense voir où est la subtilité.
Dans le premier résultat la probabilité calculée, est la probabilité qu'il y ait une boule noire sachant que j'ai tiré une boule noire bien précise et dans l'autre cas, c'est la probabilité, d'avoir tiré deux boules noires (en considérée que l'une a été tirée en premier, mais aussi le cas où elle a été tirée en deuxième).

Appliqué au bébés, 1/3 c'est la probabilité que l'autre soit un garçon alors que j'ai déjà tiré un garçon, et 1/2 c'est la probabilité de tirer d'avoir deux garçons.
C'est la différence entre une probabilité conditionnelle et une probabilité de l'association d'évènement.

Dans le cas posé, ce qui est demandé c'est une probabilité conditionnelle, la probabilité d'avoir un autre garçon sachant que j'ai déjà tiré un garçon, et elle vaut 1/3.

[Merlin95]

Mais si on demande (ce qui est un autre problème et pas du tout le cas du problème posé) la probabilité d'avoir présenter le garcon en premier ou en deuxième, sachant qu'il y a donc déjà un garçon, alors la probabilité est 1/2.

[Juzo]

C'est ce que je disais, c'est la différence entre savoir que la mère a deux enfants dont un fils, et savoir que le médecin a choisi un bébé au hasard et que c'est un garçon.

Ici l'énoncé dit "on lui en montre un : c'est un garçon". On ne sait pas comment "on" a choisi ce bébé, donc il y a bien 1 chance sur 3 que l'autre bébé soit une fille.

Reprenons l'exemple plus explicite que j'avais donné, en l'améliorant. Vous avez deux urnes contenant 999 blanches et 1 noire, et une urne contenant 1000 noires.

Si vous choisissez une urne, puis que vous tirez une boule et qu'elle est noire, vous serez presque certain que vous avez choisi l'urne contenant 1000 noires.
Par contre, si vous choisissez une urne puis que quelqu'un vous montre une boule de l'urne et qu'elle est noire, vous n'avez pas d'information supplémentaire car celui-ci a pu choisir volontairement la noire. Il y a donc toujours 2 chances sur 3 que vous ayez choisi l'urne contenant des blanches.

Conclusion : dans le problème tel qu'énoncé par Jacques1515, si on lui montre un bébé et que c'est un garçon, sans rien lui dire de plus, alors il y a 2 chances sur 3 pour que l'autre soit une fille.

[Archi3]

Prenons une expérience plus explicite : les urnes n°1 et n°2 contiennent chacune 99 blanches et 1 noire, et l'urne n°3 contient 10 000 noires. Supposons que je choisisse une urne au hasard puis je tire une boule dans cette urne, et que j'obtienne une noire.
- je dirais qu'il y a 2 chances sur 3 que la prochaine boule tirée soit blanche
- vous diriez qu'il y a seulement 2 chances sur 10 002 que la prochaine boule tirée soit blanche

merci de ne pas me faire dire ce que je n'ai pas dit, surtout quand les deux réponses sont fausses .

Le bon calcul ne donne ni l'un ni l'autre : la probabilité a priori de chaque urne est égale (1/3). En revanche elles doivent être pondérées par la probabilité que la boule tirée soit noire dans chaque urne (probabilité bayesienne , c'est à dire respectivement

1/100
1/100
100/100

les probabilité sont donc respectivement de 1/102 , 1/102, et 100/102 (soit approximativement 2% pour 1 et 2 et 98 % pour 3) : il y a donc environ 2% de chances que la prochaine soit blanche et 98 % qu'elle soit noire.

Si vous savez faire, je vous engage à programmer un petit programme si vous n'êtes pas convaincu .. A noter que le résultat ne dépend pas du nombre de boules dans l'urne N° 3, avec deux boules noires on aurait exactement le même résultat. Si vous ne voulez pas programmer vous pouvez faire l'expérience avec 3 blanches et une noire dans les urnes 1 et 2 et 2 boules noires dans l'urne 3. dans ce cas les probabilités sont dans les rapports
25/100
25/100
100/100
soit 50/150 = 1 chance sur 3 que la prochaine soit blanche et 2 chances sur 3 pour qu'elle soit noire.

[Archi3]

Par contre, si vous choisissez une urne puis que quelqu'un vous montre une boule de l'urne et qu'elle est noire, vous n'avez pas d'information supplémentaire car celui-ci a pu choisir volontairement la noire. Il y a donc toujours 2 chances sur 3 que vous ayez choisi l'urne contenant des blanches.

c'est incorrect : il y a deux chances sur 3 que vous ayez choisi l'urne contenant les blanches si vous êtes certain que le personne a toujours choisi volontairement la noire : ce qui revient à dire que le fait qu'il vous montre la noire ne vous apporte strictement aucune information , puisqu'il vous montrera une noire dans tous les cas, et donc que vous gardez votre probabilité initiale sans changement.

Manifestement vous n'avez pas bien saisi le mode de calcul bayesien : vous devez partir des probabilités initiales a priori et les pondérer par la probabilité que vous ayez votre observation (ie une boule noire) dans chaque cas (et renormaliser à 1 le résultat, c'est à dire calculer pi * P(N|i) /∑ pi * P(N|i)

où pi est la probabilité initiale de tirer l'urne i et P(N|i) est la probabilité de tirer une boule noire si vous avez choisi l'urne i.

C'est P(N|i) qui dépend de la stratégie du "tireur".

[Merlin95]

Ici l'énoncé dit "on lui en montre un : c'est un garçon". On ne sait pas comment "on" a choisi ce bébé, donc il y a bien 1 chance sur 3 que l'autre bébé soit une fille.

Donc tout se joue sur comment le garçon a été choisi. Si l'accoucheur a choisi au hasard qu'il est tombé sur un garçon, probabilité d'avoir un autre garçon : 1/2, par contre, s'il a recherché le garçon parmi les enfants, la probabilité qu'il y ait un autre garçon est 1/3 ?

L'énoncé ne disant rien, sur qui montre, comment le bébé, on pourrait avoir tendance à dire qu'il a été choisi au hasard.
Pourquoi intuitivement devrions nous penser que ce qui a montré à la mère a été contraint par l'observation du sexe des bébés ?

Réponse : si on précise que c'est l'accoucheur qui montre le garçon, alors comme il a réceptionné les bébés et il n'a aucune raison d'avoir fait un choix au hasard.

C'est plus clair.

[Jacques 1515]

Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

On lui en montre un : c'est un garçon

Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

Donc en fait ce qui differencie le cas 1 du cas 2 et donc de 1/2 ou 1/3 n'est pas le fait qu'il soit second ou pas mais que le docteur ait choisit le garcon ou l'a pris au hasard
Etes vous d'accord ?

[Juzo]

merci de ne pas me faire dire ce que je n'ai pas dit, surtout quand les deux réponses sont fausses .

Le bon calcul ne donne ni l'un ni l'autre

Je sais bien je m'étais rendu compte de l'erreur mais je ne pouvais plus modifier mon message. En fait plutôt qu'une erreur c'était une caricature abusive de votre raisonnement. Mais pour ne pas avoir à réaliser le calcul plus complexe j'avais pris la peine d'ajouter "ou aucune réponse n'est la bonne".

Pour le reste je vais y réfléchir. Il me semblait que si on ne connaissait pas la méthode de choix du médecin, cela revenait à dire "elle à deux enfants dont un garçon" car c'est la seule information que l'on a. Dans ce cas la probabilité que l'autre soit une fille est bien 2 sur 3.

[Juzo]

Donc en fait ce qui differencie le cas 1 du cas 2 et donc de 1/2 ou 1/3 n'est pas le fait qu'il soit second ou pas mais que le docteur ait choisit le garcon ou l'a pris au hasard
Etes vous d'accord ?

Sauf que c'est plutôt 1/3 et 1/2 pour le cas 2, et que pour moi si le médecin lui montre un garçon rien ne dit qu'il l'a choisi au hasard, et c'est en fait équivalent à lui dire "l'un de vos deux enfants est un garçon".

C'est P(N|i) qui dépend de la stratégie du "tireur".

Sauf qu'on est bien incapable de pondérer les différentes stratégies du tireur donc on s'arrête à ce que l'on sait : "l'un des deux enfants est un garçon"

[Archi3]

Essayez alors de répondre à la question : le médecin montre un des jumeaux, et c'est soit un garçon, soit une fille. Quelle est la probabilité que les jumeaux soient mixtes ?

[Juzo]

Essayez alors de répondre à la question : le médecin montre un des jumeaux, et c'est soit un garçon, soit une fille. Quelle est la probabilité que les jumeaux soient mixtes ?

Là c'est évidemment 1/2, car le fait que la mère voit l'un des jumeaux ne modifie pas la probabilité de départ.

Je vous vois venir : )

[Juzo]

Si le bébé montré avait été une fille, j'aurais dit qu'il y a 2 chances sur 3 que l'autre soit un garçon, ce qui fait toujours 2 chances sur 3 que les jumeaux soient mixtes, ce qui est absurde. J'ai compris je m'incline : ) Désolé pour le temps que ça a pris : )

J'en conclus que quand on ne connaît pas la méthode de tirage, on peut considérer que c'est un tirage aléatoire.

Et si l'on sait que "elle à deux enfants dont un garçon", diriez-vous que la probabilité que l'autre soit une fille est 2/3, ou 1/2 ?

[Archi3]

Si le bébé montré avait été une fille, j'aurais dit qu'il y a 2 chances sur 3 que l'autre soit un garçon, ce qui fait toujours 2 chances sur 3 que les jumeaux soient mixtes, ce qui est absurde. J'ai compris je m'incline : ) Désolé pour le temps que ça a pris : )

J'en conclus que quand on ne connaît pas la méthode de tirage, on peut considérer que c'est un tirage aléatoire.

Et si l'on sait que "elle à deux enfants dont un garçon", diriez-vous que la probabilité que l'autre soit une fille est 2/3, ou 1/2 ?

la réponse est que je ne sais pas comment vous avez choisi de me dire qu'elle avait un garçon, donc je ne sais pas : si je vous dis qu'il y a au moins une capitale dans le monde qui a un obélisque, est ce que vous pouvez me dire la fraction qui en a ?

[Jacques 1515]

Une femme accouche de 2 enfants (jumeaux dizigotes donc 2 ovules distinctes, donc deux individus distinct ( un frère et une soeur, deux frères, deux soeurs)

On lui en montre un : c'est un garçon

Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

Je reprends la problème en modifiant l'énoncé (qui le précise sans le contredire):
le docteur en prend un au hasard et le montre à la mère : c'est un garçon

Quelle est la proba que l'autre soit un garçon si
Cas 1 : Le docteur ne lui dit rien d'autre !
Cas 2 : Le docteur lui dit qu'il est le second !

[Archi3]

dans ce cas la réponse est 50 % dans les deux cas.
La réponse serait 2/3 si le docteur avait dit "si vous avez au moins garçon, je vous le montrerai" . Dans ce cas si il montre un garçon (ce qui arrive 3/4 du temps), il y a 2/3 de chances que l'autre soit une fille , et si il montre une fille (1/4 des fois), il y a 100 % bien sur de chances que l'autre le soit aussi. Au total il y a bien par exemple 3/4.2/3 = 1/2 de jumeaux mixtes.

[Jacques 1515]

Raisonnement imparable
Je suis super déçu : comment énoncer ce pb pour que les 2 cas conduisent à des proba différentes et fassent ainsi perdurer cette énigme ?

[Jacques 1515]

Raisonnement imparable
Je suis super déçu : comment énoncer ce pb pour que les 2 cas conduisent à des proba différentes et fassent ainsi perdurer cette énigme ?

En évitant bien sûr dans l'énoncer la condition si qui permet de trouver de suite l'astuce

[Archi3]

de toutes façons si la probabilité est supérieure d'avoir une fille en deuxième, c'est que la probabilité au départ était supérieure d'avoir un garçon : il faut trouver une manière de le dire sans que ça se remarque .
On pourrait tourner la devinette par exemple : la mère demande :"y a-t-il un garçon?" le docteur répond oui : quelle est la probabilité que l'autre soit une fille. Et même chose si elle demande "le premier est-il un garçon ?" (mais ça devient quand même plus facile à deviner ...)

[Merlin95]

Sauf qu'on est bien incapable de pondérer les différentes stratégies du tireur donc on s'arrête à ce que l'on sait : "l'un des deux enfants est un garçon"

Naturellement, le médecin a devant lui les deux enfants, il en prend un au hasard regarde son sexe, et annonce à la mère que c'est un garçon. Conformément à ce qui a été dit, la probabilité qu'il y ait un autre garçon est donc bien 1/2 (et non 1/3).

Par contre, si le médecin était délibérément à la recherche d'un garçon, alors là on perd le coté "au hasard" du tirage du garçon et la probabilité qu'il y ait un autre garçon est 1/3.

[JPL]

Cette discussion reste une discussion académique sur des probabilités mais elle néglige totalement la biologie en ignorant la probabilité de vrais jumeaux. En incluant cette probabilité il y a davantage de chances que l'autre enfant soit aussi un garçon.

Pour moi fin de la discussion sur le sexe des anges.

[Archi3]

Il faudrait que tu nous donnes la proportion de vrais et de faux jumeaux pour pouvoir recalculer les probabilités correctement alors

[JPL]

Actuellement j'ai uniquement mon smartphone sous la main et c'est déjà assez pénible de participer au forum avec cet outil. Je pourrai rechercher ça chez moi mais là je renonce.

En plus les valeurs classiques risquent de ne plus être d'actualité avec le recours de plus en plus fréquent à la PMA qui conduit à une augmentation de probabilité des grossesses gémellaires.

[Jacques 1515]

Actuellement j'ai uniquement mon smartphone sous la main et c'est déjà assez pénible de participer au forum avec cet outil. Je pourrai rechercher ça chez moi mais là je renonce.

En plus les valeurs classiques risquent de ne plus être d'actualité avec le recours de plus en plus fréquent à la PMA qui conduit à une augmentation de probabilité des grossesses gémellaires.

En gros JPL nous dit que les calculs sont faux car trop académiques, qu'il ne connait pas les vrais chiffres et qu'il ne peut participer n'étant pas outillé pour !!!!

Je rappelle que nous sommes dans la rubrique des sciences ludiques et non d'un cours de biologie cellulaire.
On aurait pu prendre des boules blanches et noires !!!!

Les interventions d'Archi, Merlin, et autres sont enrichissantes et pertinentes car le sujet est sur les probabilités et l'on voit la richesse des maths de cette branche.

[Juzo]

Je rappelle que nous sommes dans la rubrique des sciences ludiques et non d'un cours de biologie cellulaire.
On aurait pu prendre des boules blanches et noires

En effet on aurait pu prendre des boules, on peux considérer pour l'exercice que les cas FF, GF, FG, GG sont équiprobables.

la réponse est que je ne sais pas comment vous avez choisi de me dire qu'elle avait un garçon, donc je ne sais pas

Mmm, si je vous dis qu'elle n'a pas eu deux filles, vous me dites aussi que vous ne savez pas quelle est la probabilité qu'elle ait des jumeaux mixtes ?
Dire qu'elle n'a pas eu deux filles est équivalent à dire qu'il y a un garçon parmi ses enfants.

si je vous dis qu'il y a au moins une capitale dans le monde qui a un obélisque, est ce que vous pouvez me dire la fraction qui en a ?

Non, mais je n'ai pas compris le lien. Il faudrait qu'il y ait des mondes avec aucune obélisque dans les capitales, etc. et qu'on connaisse les proportions pour que ce soit similaire au problème.

[JPL]

En gros JPL nous dit que les calculs sont faux car trop académiques, qu'il ne connait pas les vrais chiffres et qu'il ne peut participer n'étant pas outillé pour !!!!

Non ce que je dis c’est que formulée ainsi la question est artificielle et a peu de rapports avec la réalité. Mais cette remarque étant faite il n’est pas utile d’aller plus avant dans cette direction.

Quant à remplacer le garçon par des boules... je me garderai aussi de poursuivre

[Juzo]

Dans la phrase : "elle a deux enfants dont au moins un garçon", le contraire de la proposition "dont au moins un garçon" est "dont aucun garçon".

Cette proposition donne une valeur OUI ou NON à la propriété d'avoir un garçon, donc elle revient à faire un tirage en cherchant spécifiquement un garçon.
Pour cette raison, je pense plutôt que si elle a "deux enfants dont (au moins) un garçon", elle a 2 chances sur 3 d'avoir aussi une fille.

Concernant le problème de Jacques1515, j'aurais tendance à penser qu'il n'est pas formulé de manière assez claire pour pouvoir décider :

"On lui en montre un : c'est un garçon", mais on ne sait pas comment "on" a sélectionné cet enfant. Après on pourrait considérer que cet enfant a été choisi au hasard, auquel cas il y a une chance sur 2 que l'autre soit une fille.

Quant à remplacer le garçon par des boules... je me garderai aussi de poursuivre

On pourrait continuer avec les noires et les blanches mais évidemment on s'arrêtera là


PS : Archi3 vous disiez que mon calcul de 2 chances sur 10002 que la noire appartienne à une urne contenant des blanches était faux, mais je rappelle quand même que vous avez affirmé que ça ne changeait rien de choisir un boule parmi toutes, ou de choisir une urne puis une boule. Ce qui est faux : la première version donnait bien 2 chances sur 10002.

[Archi3]

PS : Archi3 vous disiez que mon calcul de 2 chances sur 10002 que la noire appartienne à une urne contenant des blanches était faux, mais je rappelle quand même que vous avez affirmé que ça ne changeait rien de choisir un boule parmi toutes, ou de choisir une urne puis une boule. Ce qui est faux : la première version donnait bien 2 chances sur 10002.

ça ne change rien si le nombre de boules est le même dans chaque urne, ce qui était le cas considéré dans le premier exemple.