enigme de dénombrement

[jacknicklaus]

On dispose de 12 billes, distinctes, numérotées de 1 à 12, et de 12 boîtes, distinctes, numérotées de 1 à 12.

On réalise 12 expériences, en mettant en jeu successivement : la boite 1, les boites 1 et 2, les boites 1 2 et 3, etc.. jusqu'a l'ensemble des boites 1 à 12.
A chaque expérience, il s'agit de répartir les 12 billes dans les boites. La règle est simple : Toute boite doit contenir au moins 1 bille, et peut contenir autant de billes qu'on veut. toutes les billes doivent aller dans les boites.

question : laquelle des 12 expériences permet le plus grand nombre de configurations différentes ? Pour être précis, deux configurations sont égales si et seulement si chaque boite de même numéro contient un ensemble de billes portant les mêmes numéros.

On généralise : n billes, n boîtes, même question. (pour cette question, j'ignore la réponse)
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[invite23cdddab]

Simple, une répartition de billes est une fonction surjective de [[1,12]] dans [[1,k]], où k est le nombre de boites mises en jeu (et toutes les fonctions surjectives représentent une répartition valable).

Et il y a S(n,k) surjection d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à k éléments, où



(Si on note S2(n,k) le nombre de Stirling de 2nd espèce, S(n,k) = k! S2(n,k) )


Il se trouve que le maximum pour n=12 est atteint pour k=9, c'est à dire 9 boites pour 12 boules.

Je ne connais pas de résultats qui donne la valeur (asymptotique) de k pour laquelle S(n,k) est maximale, mais ce serrait surprenant si aucun mathématicien n'avait étudié la question.

[Médiat]

Bonjour,

quelques documents sur les nombres de Stirling :
stirling.pdf
kauers07j.pdf
0909.1852.pdf
hsu.pdf

[jacknicklaus]

Il se trouve que le maximum pour n=12 est atteint pour k=9, c'est à dire 9 boites pour 12 boules.

Tout bon !

Je ne connais pas de résultats qui donne la valeur (asymptotique) de k pour laquelle S(n,k) est maximale, mais ce serrait surprenant si aucun mathématicien n'avait étudié la question.

C'était un peu ma question. on peut faire des analyses numériques certes, mais je me demandais s'il existait un moyen simple de trouver le S(n,k) maximal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'ai oublié :

Dénombrement.pdf
Le chapitre "présentation générique"