denombrement

[invite0644682e]

bonsoir
je voudrai savoir commment simplifier au minimum lcette écritures suivantes(n est supérieur ou égal à un)

(2n+1)!/(2n - 1)!

merci
-----

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Développe les factorielles et compare. Presque tous les facteurs s'éliminent entre le numérateur et le dénominateur.

-- françois

[invite0644682e]

Bonsoir,

Développe les factorielles et compare. Presque tous les facteurs s'éliminent entre le numérateur et le dénominateur.

-- françois

mais comment je developpe merci pouvez vous me donner un exemple par contre je sais que 4! par exemple c'est 4X 3X2X1
mais là je ne sais vraiment pas merci

[invite6de5f0ac]

Ah d'accord. Là évidemment on ne peut pas connaître la valeur de n...

Alors par exemple :
(2n+1)! = (2n+1) x (2n) x (2n-1) x (2n-2) x ... x 3 x 2 x 1
Fais pareil pour (2n-1)! et le résultat devrait te sauter aux yeux.

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0644682e]

Ah d'accord. Là évidemment on ne peut pas connaître la valeur de n...

Alors par exemple :
(2n+1)! = (2n+1) x (2n) x (2n-1) x (2n-2) x ... x 3 x 2 x 1
Fais pareil pour (2n-1)! et le résultat devrait te sauter aux yeux.

-- françois

entre les pointillé on met quoi ?a part x(2n - 3)x(2n - 4) et jusqu'à quand

[invitecb6f7658]

Hum, le problème c'est que tu le connaîtra jamais la valeur de n, c'est ta variable.
Mais dis-toi juste que:

Essaie de voir dans ton cas ce qui se simplifie Ne cherche pas à écrire les produits un pas un, imagine que tende vers
C'est "télescopique"...

[invite6de5f0ac]

entre les pointillé on met quoi ?a part x(2n - 3)x(2n - 4) et jusqu'à quand

On met exactement ça. Et on s'arrête à 1 comme je l'ai écrit. Mais évidemment comme on ne connaît pas n on ne peut pas écrre explicitement tous les facteurs, il faut juste repérer quels termes sont communs entre (2n+1)! et (2n-1)!.

C'est vrai que c'est une écriture formelle, pas très intuitive à ton âge. Il y aurait bien moyen de l'écrire proprement avec des produits (le pi majuscule) que tu n'as probablement jamais encore rencontré.

-- françois

[invitecb6f7658]

Hum si tu tripotes la factorielle à ton âge t'as peut-être déjà vu nan?

[invite0644682e]

il ya rien qui se symplifie à part (2n - 1)! puisque au numerateur vous avez changé de signe donc au denomi ateur aussi il yaura que des plus

[invitecb6f7658]

J'ai une idée!
Lorsque tu prends (2n-1), l'entier suivant est 2n, puis (2n+1), il ne sont séparés que par 1 entier.
Ainsi, lorsque tu va écrire (2n+1)!
tu vas multiplier (2n+1)par 2n, puis (2n-1) puis (2n-2) et ainsi de suite, tous les termes du produit étant de la forme (2n-p) (p entier), de sorte que le dernier terme soit 1 (lorsque P=2n-1)

Du coup, lorsque tu vas faire le rapport...
ca va te faire quelque chose comme ca:
Du coup, tes termes se simplifient presque tous ...

[invite6de5f0ac]

il ya rien qui se symplifie à part (2n - 1)! puisque au numerateur vous avez changé de signe donc au denomi ateur aussi il yaura que des plus

Parfait, tu es sur la bonne voie. Mais tu n'as pas l'air très convaincu... Il m'est venu l'idée, pour te faire toucher du doigt ce qui se passe (ce qui est toujours le plus didactique) : essaye pour des petites valeurs de n et ça devrait te suggérer une généralisation.

n=1: (2n+1)!/(2n-1)! = 3!/1! = 3x2x1 / 1 = 3 x 2
n=2: (2n+1)!/(2n-1)! = 5!/3! = 5x4x3x2x1 / 3x2x1 = 5x4
n=3: (2n+1)!/(2n-1)! = 7!/5! = 7x6x5x4x3x2x1 / 5x4x3x2x1 = 7x6
n=4: (2n+1)!/(2n-1)! = 9!/7! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1 / 7x6x5x4x3x2x1 = 9x8

et ainsi de suite.

-- françois

[invite0644682e]

merci beaucoup à vous deux

[invitecb6f7658]

Mais de rien =)