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Défi nombres premiers



  1. #1
    V13

    Défi nombres premiers

    Bonjour !

    Je vous présente un petit défis mathématique, une sorte de... question ouverte si on veut.

    C'est d'essayer à partir de la formule bien connue listant les nombres premiers dans l'ordre :



    De tenter de faire disparaître les sommes présentes dans cette formule et de les remplacer par des intégrales

    -----

    Dernière modification par V13 ; 05/07/2018 à 19h12.

  2. Publicité
  3. #2
    V13

    Re : Défi nombres premiers


  4. #3
    ansset

    Re : Défi nombres premiers

    j'ignorai que cette formule était "bien connue".
    est elle juste ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    ansset

    Re : Défi nombres premiers

    D'autant ( pardonnes moi ) que je ne connais pas ce symbole "grand L"
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    Deedee81

    Re : Défi nombres premiers

    Salut,

    Tu as raison, ce n'est pas repris dans les formules données dans wikipedia. Ceci dit, elle est peut-être quand même bien connue des spécialistes du domaine.
    Elle ressemble quelque peu (mais ce n'est pas la même) à la formule qui "simule" le crible d’Ératosthène (voir wikipedia).

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    D'autant ( pardonnes moi ) que je ne connais pas ce symbole "grand L"
    Je crois que c'est "partie entière de".

    Citation Envoyé par V13 Voir le message
    De tenter de faire disparaître les sommes présentes dans cette formule et de les remplacer par des intégrales
    C'est vraiment possible ça ? Tu connais une solution ou tu as une idée de la manière dont ça pourrait être fait ?
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    V13

    Re : Défi nombres premiers

    La formule est ici et sa démonstration est assez élémentaire :
    http://f-dupre-mp.wifeo.com/documents/Minac.pdf

    Je pense qu'il serait intéressant de faire disparaître les sommes, ou du moins d'essayer de la simplifier (je pense par des intégrales assez difficiles à calculer au vue de la complexité pour qu'il faut pour trouver un nombre premier). Les outils pour manipuler des sommes/suites de parties entières sont assez compliqués mais je pense que ça peut valoir le coup d'essayer de voir le problème sous forme "continue".
    Comme par exemple en introduisant une fonction donc l'expression serait similaire à la formule, mais dont la variable serait continue et d'essayer d'adapter la formule. Plutôt peut-être fonctionner de manière heuristique...

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  10. #7
    Deedee81

    Re : Défi nombres premiers

    Salut,

    Mais donc, tu n'as pas d'information sur la faisabilité ?

    Ma foi, ça peut être un sujet de réflexion. Déjà peut-être en partant d'un cas plus simple (pas les nombres premiers), histoire de voir si un tel changement est possible.

    Par exemple : Somme (de n = 1 à l'infini) de partie entière "formule dépendant de n". Peut-on remplacer ça par une intégrale ?

    J'ai de sérieux doutes.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  11. #8
    V13

    Re : Défi nombres premiers

    Peut-être pas conserver directement le rapport avec les nombres entiers et en particulier les nombres premiers.

    Mais comme on le sait, en élargissant à des cadres plus larges (réels, complexes, quaternions) on peut au final retomber sur des études plus précises des nombres premiers, je pense qu'une généralisation formelle peut aider.

    De plus le fait que des parties entières s'immiscent dans le problème peut faire penser à des suites récurrentes avec parties entières qui se retrouvent assez fréquemment en calcul de complexité algorithmique.
    Voir cette formule comme une la formulation explicite de la suite des nombres premiers.
    Peut nous emmener à chercher une relation de récurrence peut-être entre les nombres premiers (forte ou simple) et ainsi pouvoir dérouler des outils bien connus sur les suites récurrentes à parties entières.

    Il y a de multiples idées à avoir je pense, autant d'analyse que d'informatique/combinatoire, c'est plus une question ouverte, une proposition de petites manipulations

  12. #9
    Deedee81

    Re : Défi nombres premiers

    Citation Envoyé par V13 Voir le message
    je pense qu'une généralisation formelle peut aider.
    Oui, aucun problème avec ça.
    C'est clair.

    Mais ma question est : ici, est-ce que c'est possible ? C'est tout de même une question à se poser avant d'essayer de généraliser ou de faire quoi que ce soit de ce type !!!!!
    Et c'est pour ça que je propose de voir si on peut le faire sur un cas nettement plus simple.
    Somme sur n de partie entière de Fct(n)

    Est-ce qu'on peut vraiment remplacer ça par une intégrale ?

    Si la réponse est non ou même "je ne sais pas", alors il n'y a même pas de sujet.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

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