Hasard et "paradoxe".

[Juzo]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour élucider une petite énigme que je me pose :

Supposons que je joue aux cartes avec une autre personne, et d'après la distribution de ma main je sais que j'ai 50% de chance de gagner.
Je sais aussi que si je triche sans que mon adversaire ne s'en aperçoive j'aurai 100% de chance de gagner, cependant il y a 90% de chance que mon adversaire s'en aperçoive et dans ce cas-là je serai déclaré perdant.

Logiquement je me dit que je n'ai pas intérêt à tricher, puisqu'en trichant je n'ai que 10% de chance de gagner alors qu'en jouant normalement j'ai 50% de chances de gagner.

Mais d'un autre côté, étant donné que j'ai 50% de perdre, il y a une chance sur deux que je sois perdant à la fin de la partie, et dans ce cas-là en tant que futur perdant j'ai intérêt à tricher (on met les questions morales etc. de côté )
Il y a donc une chance sur deux que j'aie intérêt à tricher (dans le cas ou je suis perdant d'après la distribution de nos deux mains), ce qui contredit l'hypothèse précédente censée guider mon choix, et selon laquelle je ne devais pas tricher.

Qu'en pensez-vous ? Selon vous, comment expliquer ce "paradoxe" ? Je pense que ça a peut-être un rapport avec le problème de Monty Hall mais je compte sur vos lumières.

Merci et bonne soirée !
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[Deedee81]

Salut,

L'erreur de raisonnement est là :

Mais d'un autre côté, étant donné que j'ai 50% de perdre, il y a une chance sur deux que je sois perdant à la fin de la partie

C'est vrai dans un jeu sans tricher. Mais si tu triche, ce n'est plus le même jeu et cette relation change.

Le bon raisonnement est :
jouer honnêtement => 50 % de chance de perdre
ou
jouer en trichant => 90% de perdre
Et de là choisir.

Plus de paradoxe. Il est bien entendu que si on change les règles, les probabilités changent (parfois avec usage de probas conditionnelles, etc...) et on doit en tenir compte. Les probabilités dépendent autant des informations que des choix. Et donc ça peut vite se compliquer.

Ce paradoxe là est encore assez simple. D'une manière générale les problèmes de probabilités sont souvent formulés en langage naturel. Or celui-ci est extrêmement piégeux car imprécis, pleins de sous-entendus.... Ce qui peut fausser fortement le raisonnement si on n'y prend pas garde.

Beaucoup d'énigmes probabilistes sont posées ainsi, on connait le fameux problème de Monty Hall https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%..._de_Monty_Hall qui doit être un des trucs qui a fait couler le plus d'encre (et la polémique autour de ce problème fut une grosse surprise pour les réalisateurs de l'émission qui a allumé la mèche).

Il en est de même des problèmes de comptage. "J'ai 100 francs, je fais ceci, cela, à la fin je compte l'argent et il y a 90, où sont passés les 10 francs ?". Il a déjà été discuté sous plusieurs formes dans ce forum : faire la somme des restes au lieu des variations (assez simple), et le fameux problème très connu aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ollar_manquant

Ou alors cela joue sur des ambiguités voire des biais cognitifs (j'en ai vu par exemple sur le nombre de naissances garçons/filles, sur le biais provoqué par l'impression de perdre plus quand on joue gros même si l'espérance de gain est inchangée, etc....). Voire des paradoxes liés à l'infini (doublage de mise à chaque fois qu'on perd par exemple ) ou des régressions infinies (l'histoire du paris avec deux enveloppes et un génie omniscient, ça été discuté ici aussi). (*)

Certaines de ces énigmes peuvent vraiment être épineuses. Et parfois même dans un cadre non classique (en physique quantique sous la formulation "temps symétrique", le paradoxe des trois boites, difficile trouver, j'en parle dans mes vidéos sur la MQ, ou le paradoxe de de Broglie). Ou en physique statistique le paradoxe de Gibbs. Etc... etc... (je ne parle que des paradoxes qui font intervenir les probabilités/statistiques ou le comptage). Sans compter les problèmes quelque peu vertigineux liés au "libre-arbitre"

(*) EDIT d'ailleurs pour des raisons sans doute essentiellement psychologiques certains problèmes pourtant assez simples engendrent des incompréhensions, des contestations et des discussions interminables. C'est le cas de Monty Hall. Et cela ne se limite pas aux probas (exemple : le paradoxe des jumeaux en RR, qui est le "faux paradoxe" le plus simple alors qu'on ne discute presque jamais des autres pourtant parfois fort intéressant et fort éclairant sur la "nature profonde" de la RR, ou encore en maths avec le 1 = 0.999... ou certains "1=2" ou encore les séries divergentes. Combien de discussions sur ces divers sujets ont dû être fermées à cause de ça ???). J'ignore quelles sont les ressorts psychologiques en jeu. Mais ça pourrait faire un beau sujet de thèse

[Deedee81]

Combien de discussions sur ces divers sujets ont dû être fermées à cause de ça ???

Un exemple avec Monty Hall : https://forums.futura-sciences.com/s...d-daccord.html

[stefjm]

http://vasy.inria.fr/people/Claude.Chaudet/enigmes.html

Raymond Smullyan ("Le livre qui rend fou", "Ca y est, je suis fou" et "Quel est le titre de ce livre" - Editions Françaises : Dunod)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Juzo]

Bonjour, merci Deedee81 pour cette réponse.

Pour l'instant je ne la comprends pas totalement, je vais prendre plus de temps pour la saisir.

Dans le cas de Monty Hall, on règle la question par un calcul de probabilité : puisqu'on avait une chance sur 3 de choisir la bonne porte, il y a deux chances sur 3 pour que le lot soit derrière l'autre porte. Il est donc faux d'affirmer que c'est une chance sur 2 parce que le lot se trouverait derrière l'une des deux portes restantes. J'aimerais faire un calcul similaire pour la situation que j'ai présentée.

J'ai oublié de préciser que l'issue du jeu de carte ne dépend que de la distribution de cartes effectuée. Je suis donc déjà perdant ou gagnant au moment où je choisis de tricher ou non.
Pour rendre le problème plus parlant, on peut imaginer que j'ai choisi entre deux portes, un lot se trouvant derrière l'une d'elles (un plein d'essence gratuit par exemple ). On me propose alors de tirer un nombre au hasard entre 1 et 10 pour gagner le lot.

La décision de tirer au sort est bonne si elle permet de gagner alors qu'on aurai( perdu autrement : la probabilité est 0,5 (mauvaise porte)x0,1 = 0,05.
La décision est mauvaise si elle fait perdre alors qu'on aurait gagné autrement : la probabilité est de 0,5x0,9 = 0,45.
La décision est neutre si elle ne change pas l'issue de la partie : la probabilité est 0,45 + 0,05 = 0,5.

Dans le peudo-paradoxe présenté initialement il était donc faux d'affirmer que c'est une mauvaise décision de tirer au sort si on était gagnant, et que c'est une bonne décision de tirer au sort si l'on est perdant : il fallait prendre en compte les cas où la décision ne change pas l'issue de la partie.

Qu'en pensez-vous ?

[Juzo]

Re, possible les calculs du message précédent n'apportent rien de plus à part préciser les probabilités.

Le problème est de considérer que le jugement sur la décision prise en sachant qu'on est perdant s'appliquerait dans le cas où on n'a pas l'information de si on est perdant ou pas. Ce qui correspond sûrement à ce que vous disiez.

[MissJenny]

à mon avis il manque une donnée : la probabilité que ta tricherie soit découverte.

[Liet Kynes]

Le problème est de considérer que le jugement sur la décision prise en sachant qu'on est perdant s'appliquerait dans le cas où on n'a pas l'information de si on est perdant ou pas.

"Décision sachant qu'on est perdant"-> on choisi le tirage au sort qui ramène la probabilité de gain de 0 à 0.1
"on n'a pas l'information de si on est perdant ou pas" : cela n'enlève pas l'information de départ qui est que l'on 50% de chances de gagner ou perdre.

[Juzo]

Bonjour,

à mon avis il manque une donnée : la probabilité que ta tricherie soit découverte.

1/10, cette donnée est dans le 1er message. À présent je propose de parler de tirage au sort.

"Décision sachant qu'on est perdant"-> on choisi le tirage au sort qui ramène la probabilité de gain de 0 à 0.1
"on n'a pas l'information de si on est perdant ou pas" : cela n'enlève pas l'information de départ qui est que l'on 50% de chances de gagner ou perdre.

Il est clair que si l'on a l'information qu'on est perdant il faut choisir le tirage au sort. Mais pour autant si on n'a pas l'information et qu'on a donc 50% de chance d'être perdant, choisir le tirage au sort n'est pas une décision qui a 50% de chance d'être bonne (ou bonne à 50% ?), puisque dans un cas on a une petite chance de transformer la défaite en victoire, et dans l'autre cas on a de grandes chances de transformer la victoire en défaite.
C'est la bonne conclusion, non ?

[Liet Kynes]

Il est clair que si l'on a l'information qu'on est perdant il faut choisir le tirage au sort. Mais pour autant si on n'a pas l'information et qu'on a donc 50% de chance d'être perdant, choisir le tirage au sort n'est pas une décision qui a 50% de chance d'être bonne (ou bonne à 50% ?), puisque dans un cas on a une petite chance de transformer la défaite en victoire, et dans l'autre cas on a de grandes chances de transformer la victoire en défaite.
C'est la bonne conclusion, non ?

Ben non, situation de départ est une chance sur deux et c'est toujours plus avantageux qu'une chance sur dix. Ton biais est de considérer à l'avance comme vrai le fait de perdre dans la situation de départ.

[MissJenny]

1/10, cette donnée est dans le 1er message.

ah oui j'avais pas vu.

dans ce cas le calcul est tout bête.

si tu ne triches pas Proba(perdre)= 0.5

si tu triches
Proba(perdre) = P(perdre|découvert)*Proba(être découvert) + Proba(perdre si non découvert)Proba(non découvert)

si je comprends bien la deuxième proba conditionnelle est nulle et il reste le premier terme qui vaut 1.0*0.9 = 0.9

il vaut mieux ne pas tricher.