D'accord ou pas d'accord ??

[invite9b1cab1b]

Voici un petit problème que l'on vient de me poser .....

- Tu participes à un jeu télévisé.
- On te propose de choisir entre 3 portes dont 2 cachent une chèvre et la troisième une voiture (évidemment, en théorie tu souhaites gagner la voiture !).
- Quand tu désignes la porte de ton choix, le présentateur, au lieu de l'ouvrir, ouvre une des autres portes derrière laquelle il y a une chèvre (il connaît l'emplacement des objets cachés).
- A ce moment, il te demande "confirmez-vous votre choix, ou souhaitez-vous choisir la porte fermée restante".

Comme tout le monde, j'ai répondu intuitivement, dans un premier temps, que le choix est indifférent et que comme les chances sont, a priori, de 50% de chaque côté, peu importe de garder le premier choix ou d'en changer....
Or, certains avancent que si l'on garde son premier choix, on a 1/3 de chances de gagner la voiture et si on change de choix, on a 2/3 de chances de gagner la voiture (il vaut donc mieux changer de choix).

Je n'ai jamais rien compris ni aux statistiques ni aux probabilités... qu'en pensez-vous ?

Atheris
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[alaink]

Effectivement il vaut mieux changer de choix.

Supposons qu'on joue mille fois à ce jeu et qu'on maintienne systématiquement son choix, alors la probabilité de gain est de 1/3 (car elle est identique à celle qu'on avait initialement, sans tenir compte de l'information fournie par le presentateur).

Si la probilité de gagner en conservant son choix est de 1/3 alors celle de gagner en changeant systematiquement est de 1-1/3=2/3 soit 2 fois plus! CQFD!

[invitebfd92313]

A partir du moment ou la porte est ouverte, la voiture a 1 chance sur 2 d'être derriere l'une ou l'autre porte, je ne vois pas pourquoi changer de choix augmenterait les chances de gagner.
Le raisonnement du 1/3-2/3 serait a mon avis bon dans le cas ou on dit "je choisis cette porte et je change après qu'on ait ouvert une des 2 autres portes".

[invitebfd92313]

A y réfléchir et après quelques recherches sur internet je suis plutôt convaincu qu'en fait il est vrai qu'il vaut mieux changer ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[SunnySky]

Ce problème est classique et je dois dire qu'il met à l'épreuve l'intuition de plusieurs...

Au départ, tu as une chance sur trois d'avoir la bonne réponse. Si on sait dès le départ que l'animateur connaît la situation et qu'il ouvrira une porte cachant une chèvre, alors la suite ne donne pas plus d'information. Tu as toujours une chance sur trois d'avoir fait le bon choix. Il y a alors 0 chance sur 3 que la porte ouverte soit la bonne et par conséquent 2 chances sur 3 pour l'autre porte, comme le disait alaink.

Exemple: Je choisis la porte 1. Si la voiture est derrière la porte...
1: il ne faut pas changer
2: le présentateur ouvre la porte 3 et changer me permet de choisir la porte 2. Changer me fait alors gagner
3: le présentateur ouvre la porte 2 et changer me permet de choisir la porte 3. Changer me fait alors gagner

On voit que la stratégie de changer fait gagner 2 fois sur 3.

Cependant, si le présentateur ouvrait une porte au hasard (sans savoir ce qu'elle cache ou encore en sachant ce qu'elle cache mais ayant décidé au hasard s'il dévoile une chèvre ou la voiture), alors changer n'augmenterait pas la probabilité de gain.

[Médiat]

100% d'accord avec SunnySky.

Une façon de rendre ce petit exercice plus intuitif est d'imaginer qu'il y a 1000 portes et non 3, avec toujours seulement une voiture, et que le présentateur ouvre 998 portes derrière lesquelles il y a une chèvre (en toute connaissance de cause et non au hasard, car cela change tout, comme l'a fait remarquer SunnySky) ; il me semble que la décision est évidente cette fois.

[invite6d0dce9b]

Ce petit problème s'appele l'énigme de Monty Hall. Moi aussi c'est un problème qui m'a beaucoup intriguée !

Une autre façon de comprendre :

Au départ, tu as plus de chances de choisir une porte cachant une chèvre (2 chances sur 3) que la porte cachant la voiture. (1 chance sur 3).

Imaginons les trois portes A, B, C. La porte A cache la voiture.

1er cas : Tu choisis la porte avec la voiture. (1 chance sur 3 d'avoir ce cas)

A B C
voiture chèvre chèvre

Le présentateur va automatiquement ouvrir une porte cachant une chèvre. Si tu gardes la porte, tu gagnes. Si tu changes, tu perd.

2ème cas : Tu choisis la porte cachant la chèvre. (deux chances sur trois d'avoir ce cas)

A B C
voiture chèvre chèvre

Le présentateur élimine forcément une mauvaise porte. Si tu changes de porte, tu gagnes. Si tu gardes la porte, tu perds.

Comme le deuxième cas est plus probable que le premier, il vaut mieux changer de porte.

Pour ceux qui ne sont toujours pas d'accord, il existe une simulation du jeu sur ce site : http://www.apprendre-en-ligne.net/random/monty/

[polo974]

En fait, il y a 2 possibilités:
le présentateur est malhonnête et propose de rechoisir que si on a bon du premier coup, donc ne pas changer d'avis...

Le présentateur est honnête et propose de rechoisir systématiquement, il faut changer car:
le choix initial pèse 1/3 de proba, et le groupe des 2 autres 2/3.
après élimination par le présentateur d'un choix perdant dans ce groupe, les 2/3 de proba restantes sont concentrées sur la dernière porte...

Mais j'ai dû cogiter pour me mettre d'accord avec moi-même...

[f6bes]

Bjr à tous,
Reste à savoir dans quelle optique on se place.
On DEPART il y a une possibilté sur 3. Donc 1/3 de chance.

Ensuite on PASSE à un "autre" jeu avec DEUX possobilités.

Cela n'est plus les memes conditions qu'aux départs.
Les chances de "gagner" à "CHAQUE ETAPE" du jeu AUGMENTE forcément a fur et à mesure que l'on élimine les "mauvaises réponses".
Donc deux possibilités = 50/50 !!
Cordialement

[Médiat]

Donc deux possibilités = 50/50 !!

Tu fais le même raisonnement avec 1000 portes et le présentateur qui en ouvre 998 mauvaises en toute connaissance de cause ? Si oui, je veux bien faire les paris avec toi

[invite9b1cab1b]

j'y vois un peu plus clair maintenant et je retiens que pour rentrer en limousine il vaut mieux changer de choix face aux 2 dernières portes... ou l'on risque bien rentrer à dos de cabri !!

Je vous remercie tous pour vos contributions....

Atheris

[invite78394a09]

Je suis d'accord. Mais pourquoi des chèvres? Ne me dites pas que c'est le hasard?
Le but est d'écouter et de renifler à travers les portes pour avoir plus de chance de gagner la voiture. Un aveugle, par exemple, y réussira très bien, bien que la voiture ne lui sera d'aucune utilité.

[polo974]

Bjr à tous,
Reste à savoir dans quelle optique on se place.
On DEPART il y a une possibilté sur 3. Donc 1/3 de chance.

Ensuite on PASSE à un "autre" jeu avec DEUX possobilités.

Cela n'est plus les memes conditions qu'aux départs.
Les chances de "gagner" à "CHAQUE ETAPE" du jeu AUGMENTE forcément a fur et à mesure que l'on élimine les "mauvaises réponses".
Donc deux possibilités = 50/50 !!
Cordialement

non, le premier choix pèse 1/3, les 2 autre portes pèsent 2/3
puis le présentateur élimine une mauvaise porte parmi ces 2 donc la dernière porte pèse 2/3.
démo:
la 1ère porte est celle choisie et représente 1/3 des probas,
les 2 autres représentent 2/3 des probas (entre accolade)
parmi ces 2, la porte (toujours perdante) ouverte par le présentateur (entre parenthèse).
soit 6 tirages possibles:

1 [ 0 (0)]
1 [(0) 0 ]
0 [ 1 (0)]
0 [ 1 (0)]
0 [(0) 1 ]
0 [(0) 1 ]

2 fois sur 6, c'est le 1er choix qui est gagnant
4 fois sur 6, c'est le choix modifié qui est gagnant.

ensuite pour le choix initial sur la 2^ème et 3^ème porte, c'est la même chose juste dans un ordre différent.

[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Problème classique de calcul de probabilités parfaitement résolu par polo976 et par sunnysky.
En réalité, la tromperie est l'ouverture des portes. Celle-ci n'apporte aucune information et ne change rien quant aux chances calculées selon la répartition des conditions de départ.
Sunny l'a parfaitement explicité : s'il y a 10 portes, ton choix de départ est 1/10 de gagner et corollairement 9/10 de te planter.
Que les portes soient ouvertes ou non ne font en rien varier la situation, il y a toujours une 1/10 chance d'un côté et 9/10 chance de l'autre.
IL N'Y A PAS DE SECOND CHOIX !!!! On ne demande pas de choisir UNE NOUVELLE PORTE, mais simplement de choisir par RAPPORT à la situation de départ (pas de choisir la porte non ouverte par le meneur de jeu, mais de choisir LES autres portes, dont une n'est pas ouverte. Autrement dit, dans le cas de 10 portes, de choisir entre 9 chances sur 10 ou 1 chance sur 10.
Pour la petite histoire, ce jeu s'est effectivement déroulé aux USA.
Manque de bol, des statisticiens s'en sont mêlé. Les organisateurs ont commencé à s'inquiéter lorsque le taux de réussite à avoisiné 66 % (ce qui correspond très exactement au calcul statistique du changement de choix).
En calcul de probabilité, il ne faut pas calculer sur UNE occurence, autrement dit la théorie ne vous permet pas de gagner à tous les coups, mais sur le long terme.

Amicalement

[invite9b1cab1b]

Humm humm, voilà que tout ce qui me semblait clair commence à ne plus l'être tout à fait !!!
Finalement, je me demande si ce n'est pas la méthode de Melik qui serait la bonne !!!

Je suis d'accord. Mais pourquoi des chèvres? Ne me dites pas que c'est le hasard?
Le but est d'écouter et de renifler à travers les portes pour avoir plus de chance de gagner la voiture. Un aveugle, par exemple, y réussira très bien, bien que la voiture ne lui sera d'aucune utilité.

Atheris'képérildesavie

[invite78394a09]

Merci Atheris, je suis intervenu parce que manifestement, l'auteur de cette devinette de statistique avait une idée derrière la tête, je ne peux pas imaginer qu'un truc bien pondu à la base comporte une stupidité telle que la chèvre (un animal doté de puissantes harmoniques, assez plaintif et mal odorant, coincé derrière une porte de surcroît). L'auteur, avec un leurs grammatical, nous induit en erreur automatiquement. Il aurait pu choisir des balles de tennis, ou des fours à micro-ondes. Mais non, il faut se taper une chêvre. Bouhhh

[inviteda0d0541]

Vraiment du mal avec tout ça moi !!!
Ok la probabilité de gagner avec la porte choisie au début est de 1/3... mais une fois que le présentateur a ouvert une porte, alors cette probabilité passe à 1/2 non ? Et pareil meme avec 1000 portes, à chaque porte perdante ouverte, la probabilité que celle choisie était la bonne augmente non ? Pourquoi resterait-elle bloquée à 1/1000 ?

[inviteda0d0541]

Mais d'un autre coté si l'expérience montre que changer augmente les chances, alors je dois très probablement me tromper... Je vais rereréflechir à tout ça je crois !!!

[invite92276dd8]

Bonjour a tous !

Il me semble que quelques petits trucs n'ont pas ete pris en compte dans vos raisonnements.
En particulier : le presentateur n'ouvre qu'UNE SEULE porte !
Ainsi, dans le cas des 1000 portes, on choisit une porte, le presentateur en ouvre une avec une chevre (c'est pas tres pratique a entretenir, 999 chevres ) et demande si on veut changer. Qu'on change ou non, pourquoi ouvrirait il une autre porte ?
On se retrouve avec 1 chance sur 999 de decrocher la voiture...

et que le présentateur ouvre 998 portes derrière lesquelles il y a une chèvre

Il n'y a pas de raisons d'ouvrir les portes, puisque ca ne va que dans l'interet du joueur !

Tu fais le même raisonnement avec 1000 portes et le présentateur qui en ouvre 998 mauvaises en toute connaissance de cause ? Si oui, je veux bien faire les paris avec toi

Moi aussi !

Melki, ce n'est pas precise, mais la chevre est une peluche

[Médiat]

En particulier : le presentateur n'ouvre qu'UNE SEULE porte !

Autre interprétation : le présentateur ne laisse qu'une seule porte fermée.

[yat]

Vraiment du mal avec tout ça moi !!!
Ok la probabilité de gagner avec la porte choisie au début est de 1/3... mais une fois que le présentateur a ouvert une porte, alors cette probabilité passe à 1/2 non ? Et pareil meme avec 1000 portes, à chaque porte perdante ouverte, la probabilité que celle choisie était la bonne augmente non ? Pourquoi resterait-elle bloquée à 1/1000 ?

Tu considères en fait instinctivement un autre cas de figure : le présentateur ouvre une des deux portes restantes au hasard, et il se trouve qu'elle cache une chèvre. Ce cas est très différent : on a toujours une chance sur trois de tomber sur la voiture du premier coup, mais il y a aussi une chance sur trois que le présentateur ouvre une porte qui cache la voiture. On a donc deux situations possibles :
-La porte ouverte par le présentateur cache une chèvre. Dans ce cas il y a une chance sur deux pour que la première porte choisie cache la voiture.
-La porte ouverte ar le présentateur cache la voiture. La probabilité que la première porte cache la voiture est nulle.
Le fait que la probabilité de la première porte augmente est due au fait que le choix du présentateur tranche entre deux possibilités. La probabilité de la première porte est d'1/2 dans 2/3 des cas, et de 0 dans 1/3 des cas. 1/2*2/3+0*1/3 = 1/3. On retombe bien sur la probabilité de départ de la première porte. Mais ici le choix du présentateur a une influence, puisqu'il donne une information supplémentaire quand on découvre ce qu'il y a derrière la porte qu'il a choisie.

Ici, ce n'est pas le cas. La porte ouverte par le présentateur cache forcément une chèvre. On a donc un seul cas de figure possible, la probabilité de la première porte ne peut donc pas changer.

[invite92276dd8]

Autre interprétation : le présentateur ne laisse qu'une seule porte fermée.

Ca serait une bonne chose pour le joueur, mais pas forcement le bon plan pour l'organisateur : quel interet si le joueur a 2 chances sur 3 de gagner ?

[Médiat]

Ca serait une bonne chose pour le joueur, mais pas forcement le bon plan pour l'organisateur : quel interet si le joueur a 2 chances sur 3 de gagner ?

Je n'en sais rien et je m'en fiche, c'est un fait facile à vérifier par le calcul, c'est tout.

[inviteea6fd0dc]

Bon, reprenons en détail :

3 portes ( A, B, C ) une voiture deux … n'importe quoi (chèvres ou lézards on s'en fout)

3 dispositions possibles x, y, z:


--A B C
x 1 0 0
y 0 1 0
z 0 0 1

Je choisis une porte, disons A (cela ne change rien que ce soit B ou C)

Première hypothèse, je CHANGE :

Dans la configuration x, je change je perds
Dans la configuration y, je change je gagne
Dans la configuration z, je change je gagne

En changeant, je gagne 2 fois sur 3


Deuxième hypothèse, JE NE CHANGE PAS :

Dans la configuration x, je ne change pas, je gagne
Dans la configuration y, je ne change pas, je perds
Dans la configuration z, je ne change pas, je perds

En ne changeant pas, je perds 2 fois sur 3

Je signale à tout hasard que cette démonstration à été faite dès le début de ce post.

Pour les non convaincus, je leur conseille de faire une recherche sur Google avec "Théorème des trois portes", ils y trouveront un site de l'Université Libre de Bruxelles tenu par Monsieur le Professeur Xavier Hubaut (professeur de stats), qui démontre en long et en large ce problème.

P.S. La voiture et les chèvres sont entièrement inondées de N°5 de Chanel, à l'odorat cela ne marche pas (joke)

Amicalement

[invite78394a09]

C'est bien compliqué en effet. 3 portes, tu en désignes une, le présentateur ouvre une porte différente de celle de ton choix, avec une chèvre, lol. Il reste 2 portes, une avec voiture, une avec chèvre. Là, on te demande si tu veux changer de porte, parce que tu peux encore changer. En fait, si tu changes d'avis, c'est vrai qu'on peut considérer que tu auras joué 2 fois... Bon! Je ne comprends vraiment pas pourquoi on aurait 2 chances sur 3 de gagner si on change son choix, et 1 sur 3 si on garde son choix initial. Pourquoi? Parce qu'on joue 2 fois? Parce que le présentateur sait où se trouve la voiture? Ok, tu joues donc 2 fois si tu changes ton choix initial, peut-être que sur un plan mathématique, on peut parler de la fraction 2/3, mais je ne vois rien qui va améliorer tes chance de gagner.

On a 1 chance sur 2 de gagner la voiture dans cette histoire. Enfin, c'est mon avis.

[inviteda0d0541]

A y est, j'ai saisi !!
En fait, il faut considérer qu'au début on a 2 "ensembles", un avec la porte que le joueur choisi, et un avec les 2 autres portes.
Les probabilités d'avoir la voiture dans ces "ensembles" sont évidentes, 1/3 pour le premier et 2/3 pour le 2ème...
Quand le présentateur ouvre la porte, il elimine une porte perdante.
Mais gardons la notion d' "ensemble" de portes...
Par la suite, le candidat a donc le choix entre garder son ensemble d'une seule porte avec la probabilité d'1/3, ou prendre l'autre ensemble de 2 portes avec la probabilité de 2/3 (sachant que cet ensemble contient toujours 2 portes et donc toujours une probabilité de 2/3, mais que ces 2/3 sont maintenant concentrés sur une seule porte).
Il est donc évident qu'il aura tout interet à changer !!
Voila, j'espere avoir été assez clair, je ne sais pas si ma façon d'expliquer aura pu en aider quelques uns, pour moi en tout cas c'est comme ça que j'ai enfin pu m'expliquer ce probleme !!

[invite78394a09]

Mhhhh, je campe sur mon idée, imaginez que votre premier choix est le bon, et seul le présentateur le sait, il ouvre sa porte avec biquette. Tu changes de choix, tu gagnes l'autre biquette. De 1/3 à 2/3, on repasse à 1/2. C'est plus un sophisme que des probabilités pures. Pour moi, on a 1 chance sur 2 de gagner la voiture.

Jecario, je suis d'accord, et c'est vraiment pas la peine de jouer à ce jeu débile, parce que si les chèvres sont en peluche, la voiture est certainement en plastique. Quelle arnaque!

[invite9c9b9968]

Non, c'est juste que tu n'as toujours pas compris le raisonnement et le calcul

[yat]

Mhhhh, je campe sur mon idée, imaginez que votre premier choix est le bon, et seul le présentateur le sait, il ouvre sa porte avec biquette. Tu changes de choix, tu gagnes l'autre biquette.

Et justement, ce cas de figure se présente exactement une fois sur trois : c'est ce qui se produit quand tu tombes sur la voiture du premier coup, et uniquement quand tu tombes sur la voiture du premier coup. Dans les autres cas, la seconde porte cache forcément la voiture

De 1/3 à 2/3, on repasse à 1/2.

Et par quel phénomène ? Tu mets quand même le doigt sur un élément qui simplifie énormément la chose : on a une chance sur trois de trouver la voiture du premier coup. Donc en appliquant la stratégie qui consiste à rester sur son premier choix, on gagne une fois sur trois. Ca ne devrait pas être difficile à comprendre.
Après, comme on n'a que deux choix différents possibles, il devient limpide qu'avec la stratégie inverse on gagne deux fois sur trois.

[invite78394a09]

Pardon, j'ai été un peu vite.
Imaginez que votre premier choix est le bon, et seul le présentateur le sait, il ouvre donc sa porte avec biquette. Tu changes de choix, tu gagnes l'autre biquette. Donc 2 chances sur 3 de gagner une biquette, horrible !
De la même manière, ton premier choix est mauvais, et seul le présentateur le sait, il ouvre sa porte avec biquette, tu changes de choix, tu gagnes la voiture. Résultat des courses, 2 chances sur 3 de gagner la voiture. Très bien.
Mais il ne faut pas oublier le libre arbitre du choix de départ et donc, il y a annulation. C'est plus un sophisme que des probabilités pures.
Pour moi, on a 1 chance sur 2 de gagner la voiture.