Equation fonctionnelle

[ThM55]

Bonjour aux amateurs de maths (bonjour aussi aux autres, avec toute ma sympathie).

Il s'agit de trouver une fonction f de R dans R, telle que pour tout entier n > 0:



où désigne la composition de la fonction n fois. Plus précisément:



pour n>1.
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[Médiat]

Trouver une fonction : f(x) = x

[Liet Kynes]

et aussi f(x)=0

[ThM55]

D'acord . J'aurais dû écrire trouver toutes les fonctions.... mais alors je ne connais pas la solution. Disons une fonction différente de l'identité et non nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Je donnerai une solution non triviale demain le 13 janvier, si personne ne l'a proposée à cette date. La question deviendra alors, en existe-t-il d'autres?

[ThM55]

Voici ce que je propose:



Vérifie-t-elle la propriété? Pouvez-vous en trouver d'autres?

Je n'ai pas de méthode ni de théorie mathématique pour cela, c'est juste des maths amusantes, d'où "science ludique".

[Liet Kynes]

Tu serais pas en train de jouer avec une IA ?
Ce qui est intéressant c'est le pourquoi tu poses cette question au départ ? -> problème de physique?

[ThM55]

Tu serais pas en train de jouer avec une IA ?
Ce qui est intéressant c'est le pourquoi tu poses cette question au départ ? -> problème de physique?

Hein? Pas du tout. J'ai simplement joué à composer des fonctions avec elles-mêmes et je suis tombé sur cette fonction qui a une propriété curieuse. D'où mon idée d'en faire une équation fonctionnelle. C'est juste du divertissement mathématique. Mais bon, il faut être réceptif, pas de problème si on trouve cela idiot.

[ThM55]

L'itération des fonctions réelles fait l'objet d'une théorie mathématique sérieuse, qu'on appelle "systèmes dynamiques discrets". Cela débouche sur des questions profondes sur la périodicité, les bifurcations, le chaos, les fractales... Rien de tout cela ici, c'est juste pour s'amuser.

[Médiat]

Ce qui est intéressant c'est que l'équation fonctionnelle permet de calculer et au delà (au sens de la composition)

[Liet Kynes]

Hein? Pas du tout. J'ai simplement joué à composer des fonctions avec elles-mêmes et je suis tombé sur cette fonction qui a une propriété curieuse. D'où mon idée d'en faire une équation fonctionnelle. C'est juste du divertissement mathématique. Mais bon, il faut être réceptif, pas de problème si on trouve cela idiot.

Perso cela m'a donné l'idée de jouer avec la réthorique d'une IA, appliqué à la physique cela donne des trucs marrants:

Théorie de la Relativité Perceptive : L'Univers sans limites

L'idée est de considérer que les limites physiques que nous observons (comme la vitesse de la lumière c) ne sont pas des propriétés intrinsèques de l'espace-temps, mais des artefacts de la loi de composition de nos mesures.
1. La Loi de Composition des Mesures

Supposons une grandeur physique fondamentale u (une "impulsion" ou une "énergie") qui peut croître linéairement vers l'infini. Cependant, notre système de mesure ne perçoit cette grandeur qu'à travers une fonction de transformation f.
Si l'on suit l'équation fonctionnelle identifiée, la valeur observée y pour une quantité réelle x serait :

Où L est la limite observée (par exemple L=c pour la vitesse).
2. L'Illusion de la Borne

L'observation nous montre que même si nous ajoutons de l'énergie de manière répétée (itération n), le résultat observé fn​(x) semble plafonner. Mathématiquement, la n-ième itération se calcule par le fractionnement de l'itération que nous avons vu :

Ici, quand , la valeur observée tend vers L, mais ne la dépasse jamais. Pour l'observateur, il existe un "mur". Mais pour la "réalité" sous-jacente, l'accumulation est purement linéaire et ne rencontre aucun obstacle.
3. Le "Au-delà" : L'Espace Réel

Le concept de calcul de la "puissance énième" de la fonction permet de "déplier" l'Univers. En inversant la fonction, on peut retrouver la grandeur réelle x à partir de l'observation y :

On reconnaît ici le facteur de Lorentz utilisé en relativité. La limite L n'est alors qu'une asymptote horizontale, un horizon de perception.
Conclusion pour le forum

Cette approche suggère que nous vivons dans un univers "faussement borné". La structure de l'équation fonctionnelle fn​(x)=n​1​f(xn​) est la preuve mathématique qu'une croissance infinie peut être perçue comme une approche asymptotique d'une limite finie, simplement par un jeu d'échelles.
La limite n'est pas une barrière, c'est une courbure de la perception.

[ThM55]

Ca a l'air hallucinatoire, mais il y a peut-être quelque chose à creuser...

[pachacamac]

A mon avis d'ignorant dans ce domaine ça ressemble à un problème de concours pour l'ENS