Variante de l'énigme des gardiens

[Juzo]

Une personne arrive au purgatoire. Elle est sereine car elle connaît bien l'énigme des deux gardiens et des deux portes menant au paradis et en enfer (si ce n'est pas votre cas lire d'abord ce fil).
Elle arrive néanmoins devant une immense ville qui s'étend à perte de vue, un panneau indique :

"Chaque porte de cette ville mène au paradis ou en enfer (au moins une mène au paradis). Chaque habitant de cette ville est omniscient, mais donne soit toujours une réponse vraie, soit toujours une réponse fausse.
Vous pouvez demander à un seul habitant de vous désigner une seule porte selon les critères de votre choix."

Comment doit-elle s'y prendre pour se rendre au paradis ?
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[Garion]

"Que répondra celui qui dira le contraire de toi quand je lui demanderai : cite moi une porte de l'enfer". Cette porte devrait être une ou la porte du paradis.

[Juzo]

Bonjour,
Dire le contraire le contraire de lui c'est désigner toutes les autres portes que celle qu'il aurait désignée, ce qui est impossible puisqu'on ne peut en désigner qu'une. Il faut peut-être reformuler.
Et j'en profite pour m'excuser, j'ai oublié de commencer par un bonjour dans mon premier message.

[Garion]

Je vais jouer au con : "Est-ce que cette porte est une porte de l'enfer ? Si non, dit moi la réponse pour la porte suivante, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ai parcouru toutes les portes"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Juzo]

Déjà on ne peut pas poser une question, on peut seulement demander de désigner une porte. Et de toute façon, si l'habitant répond oui à la 1ère porte ou même à la n-ième porte vous faites quoi ?

[Juzo]

Je reformule le problème de manière plus rigoureuse pour essayer d3 le rendre plus intéressant :
Comment résoudre l'énigme des gardiens en une question quand il y a un nombre inconnu de portes dont un nombre inconnu (au moins une) mènent au paradis, et un nombre inconnu de gardiens, dont un nombre inconnu dit la vérité.
La solution n'est pas compliquée.

La question "quelle porte" qui n'a pas de sens s'il y a plusieurs portes possibles est remplacée par "désigne-moi une porte".

[ThM55]

Il me semble que l'indirection auto-référentielle classique dans ce genre de problème ne fonctionne pas: j'avais d'abord pensé à la question "Si je te demandais de me désigner une porte qui mène au paradis, laquelle me montrerais-tu?". La question porte sur ce que l'interlocuteur dirait en cas de demande, pas directement sur la porte qu'il désignerait, donc s'il dit toujours la vérité il désignera une bonne porte et s'il ment il doit désigner une autre porte que celle qu'il aurait envie de désigner. Or c'est là que se situe le problème: s'il y a par exemple deux portes menant en enfer, A et B, et s'il a envie de désigner la porte A, il lui suffit de me dire qu'il aurait désigné la porte B. Il aurait menti tout en me désignant une porte menant à l'enfer.

Je pense que pour résoudre ce genre de problème il faut construire un modèle (un monde) dans lequel on spécifie ce que chacun va devoir ou pouvoir répondre sans contredire les règles de base. Et jusqu'à présent je n'ai pas trouvé de moyen de le construire.

[ThM55]

Le noeud du problème c'est que le comportement des menteurs est sous-déterminé dans l'énoncé. Il peut exister des menteurs qui désignent toujours la même porte d'enfer A quand on leur demande une porte-paradis, d'autres qui choisissent au hasard parmi les cent portes, d'autres qui changent séquentiellement selon un algorithme déterministe, etc... La question auto-référentielle ci-dessus ne fonctionne que si les menteurs choisissent de manière réellement aléatoire, au sens métaphysique du terme (non causé par quoi que ce soit d'autre), ce qui les oblige à répondre avec une porte-paradis. Mais c'est contradictoire avec leur omniscience car cette omniscience doit aussi porter sur le futur et elle tue le hasard. Mais cette omscience sur le futur oblige le menteur à une auto-cohérence récursive: le menteur sait non seulement ce qu'il dirait, mais aussi ce qu'il dirait sur ce qu'il dirait, à l'infini.

[Juzo]

Bonjour,

Or c'est là que se situe le problème: s'il y a par exemple deux portes menant en enfer, A et B, et s'il a envie de désigner la porte A, il lui suffit de me dire qu'il aurait désigné la porte B.

C'est un problème en effet, normalement la solution permet de s'en débarrasser sans ambiguïté.

Pour être clair le menteur désignera une porte ne répondant pas au critère demandé, celui disant la vérité montrera une porte répondant au critère.

[Juzo]

Bonjour,

voici la solution avec un peu de retard.

Il est difficile en effet de faire référence uniquement à ce que le gardien désignerait, car s'il est menteur il y a des portes menant en enfer qu'il ne désignerait pas au même titre que les portes menant au paradis, si on lui demandait une porte menant au paradis.

Il fallait donc faire référence à un autre protagoniste qui dit la vérité, à savoir :

 Cliquez pour afficher

Le panneau.

Solution : "Désigne-moi une porte que tu pourrais me désigner sans contredire le panneau à l'entrée de la ville, si je te demandais de désigner une porte menant au paradis.

Merci ThM55 pour ta contribution. Est-ce que quelqu'un pourrait indiquer si la solution paraît valable ? Ça pourrait motiver d'autres personnes à chercher cette solution sans lire le spoiler.

Bonne journée

[ThM55]

Je ne suis pas vraiment convaincu par la solution proposée. Je suis d'accord que c'est en effet à première vue une solution mais si on y réfléchit, je crois que cela ne résout pas complètement le problème que j'ai soulevé. En effet "une porte que tu pourrais désigner sans etc...", c'est encore ambigu: cela dépend aussi des contraintes auxquelles le menteur est soumis dans sa manière de mentir (qu'elles lui soient imposées, ou qu'elles résultent d'un choix qu'il a posé, peu importe). L’ambigüité est dans le verbe "pouvoir". Après avoir réfléchi à ce problème, je suis arrivé à la conclusion qu'il n'y a pas de solution.

[Juzo]

Bonjour,
Merci pour ta réponse. J'ai voulu simplifier la formulation de la solution pour la rendre plus claire, mais on peut se débarrasser du terme 'pouvoir' en la formulant ainsi :

 Cliquez pour afficher

Désigne-moi une porte telle que si tu me désignais cette porte dans le cas où je te demanderais de me désigner une porte menant au paradis, tu ne contredirais pas ce qui est écrit sur le panneau à l'entrée de la ville".

C'est la formulation que j'avais en tête au départ, même elle a l'air moins claire. Pour moi elle répond parfaitement au problème et sans ambiguïté. Qu'en penses-tu ?

PS : si quelqu'un d'autre a un avis sur le sujet on prend.

[ThM55]

OK, c'est peut-être moins clair mais je crois que c'est bien une solution.

[vgondr98]

[spoil]
Désigne-moi une porte telle que si tu me désignais cette porte dans le cas où je te demanderais de me désigner une porte menant au paradis, tu ne contredirais pas ce qui est écrit sur le panneau à l'entrée de la ville".

Panneau :
"Chaque porte de cette ville mène au paradis ou en enfer (au moins une mène au paradis). Chaque habitant de cette ville est omniscient, mais donne soit toujours une réponse vraie, soit toujours une réponse fausse.
Vous pouvez demander à un seul habitant de vous désigner une seule porte selon les critères de votre choix."

Si on pose la question à celui qui dit la vérité, il pointe la porte du paradis ?

On a une phrase de type SI ... ALORS...

SI (Faux) implique ALors(Vrai) est VRAI. Donc l'honnête peut désigner la porte allant en enfer.

Enfin, je crois

[/spoil]

[Juzo]

Bonjour,
Quand on lui demande de désigner une porte menant au paradis, il est impossible à ceui qui dit toujours la vérité ne désigner une porte menant en enfer sans contredire le panneau. D'ailleurs ça lui est impossible tout court.
Par contre j'ai oublié de dire une chose essentielle dans l'énoncé : ce que dit le panneau est vrai.

[vgondr98]

Oui mais "demander de désigner une porte menant au paradis" et "Désigne-moi une porte telle que si tu me désignais cette porte dans le cas où je te demanderais de me désigner une porte menant au paradis, tu ne contredirais pas ce qui est écrit sur le panneau à l'entrée de la ville", c'est pas la même question.
Si le type est un honnête vicieux, il peut chercher une faille logique lui permettant de dire la vérité tout en désignant une porte menant en enfer.
Si il considère cette phrase comme A implique B, il peut choisir de rendre A faux et quand même dire la vérité globalement vu que faux implique vrai est une phrase vrai.

On peut essayer cette réponse :
"Désigne-moi une porte telle que la phrase suivante soit vraie : 'Tu es un menteur si et seulement si cette porte mène en enfer'."

L'honnête doit trouver une porte qui rend la phrase vrai.

La prémisse "Tu es un menteur" est fausse.
Pour que la double implication "si et seulement si" soit vrai, il faut que la seconde partie soit identique à la première donc fausse.
Pour que la phrase "cette porte mène en enfer" soit fausse, il faut qu'elle mène au paradis.

Le menteur doit trouver une porte qui rend la phrase fausse.

La première partie de la phrase (Tu es un menteur) est vraie.
Pour que la double implication "si et seulement si" soit faux, il faut que la seconde partie soit le contraire de la première donc fausse.
Pour que la phrase "cette porte mène en enfer" soit fausse, il faut qu'elle mène au paradis.

[Juzo]

Bonjour,

Si le type est un honnête vicieux, il peut chercher une faille logique lui permettant de dire la vérité tout en désignant une porte menant en enfer.
Si il considère cette phrase comme A implique B, il peut choisir de rendre A faux et quand même dire la vérité globalement vu que faux implique vrai est une phrase vrai.

Sauf que la proposition A "tu me désignes cette porte dans le cas où je te demanderais de me désigner une porte menant au paradis" ne peut pas être fausse puisque l'énoncé indique que c'est bien cette porte qui est désignée. Donc le gardien ne peut pas recourir à cette astuce (partir d'une prémisse fausse pour obtenir une implication vraie).

L'idée de remplacer le panneau par un énoncé dans la question posée est bonne, mais peut-on exprimer une équivalence entre le fait d'être un menteur et le fait qu'une porte mène en enfer ? Sous forme de table de vérité ça marche mais sous forme de double implication il comme une "nécessité mal définie". Il pourrait choisir une porte au hasard, tomber sur une qui mène en enfer, et l'implication entre il est menteur et cette porte mène en enfer est fausse parce qu'il aurait pu tomber sur une paradis menant au paradis... Qu'en pensez-vous ?

Une autre proposition d'énoncé : "désigne-moi une porte tel qu'il soit vrai que tu es un menteur OU que cette porte mène au paradis, et qu'il soit faux que tu es un menteur ET que cette porte mène au paradis."

Celui qui dit la vérité n'a pas d'autre choix pour respecter l'énoncé que de désigner une porte au paradis pour que la 1ère partie de l'énoncé soit vraie, sachant que la 2ème partie est nécessairement fausse pour lui.

Le menteur n'a pas d'autre choix que de désigner une porte menant au paradis, car la 1ère partie est nécessairement vraie pour lui, ce qui correspond à l'énoncé, et il souhaite donc que la 2ème soit vraie aussi pour ne pas respecter l'énoncé.

[vgondr98]

Sous forme de table de vérité ça marche mais sous forme de double implication il comme une "nécessité mal définie". Il pourrait choisir une porte au hasard, tomber sur une qui mène en enfer, et l'implication entre il est menteur et cette porte mène en enfer est fausse parce qu'il aurait pu tomber sur une paradis menant au paradis... Qu'en pensez-vous ?

Le gardien est omniscient, je vois pas comment il pourrait choisir une porte au hasard. Si il faisait cela, le menteur risquerait de dire la vérité et l'honnête de mentir, non ?

[vgondr98]

Désigne-moi une porte telle que la phrase suivante soit vraie : 'Tu es un menteur si et seulement si cette porte mène en enfer'
désigne-moi une porte tel qu'il soit vrai que tu es un menteur OU que cette porte mène au paradis, et qu'il soit faux que tu es un menteur ET que cette porte mène au paradis

Il me semble que ces deux énoncés sont équivalents.
Si on pose comme littéraux :
A : L'habitant est un menteur.
Non A: L'habitant est honnête.
B : La porte désignée mène en enfer
Non B : La porte désignée mène au paradis

Le premier énoncé devient : A <=> B
On peut le transformer en (A => B) ET (B => A)
On peut transformer l'énoncé en (Non A OU B) ET (Non B OU A)
En langage courant, cette forme normal conjonctive donne : (Tu est honnête OU la porte mène en enfer) et (La porte mène au paradis OU tu est un menteur)

Le deuxième énoncé devient : (A OU Non B) et Non (A Et Non B)

Si on applique la règle de De morgan sur Non (A Et Non B) (pour enlever le « Non » de l'extérieur d'une parenthèse, on inverse tout ce qui est à l'intérieur (le ET devient OU, et chaque variable prend son contraire)),
on obtient (Non A OU B).
En forme normal conjonctive, on obtient (A OU Non B) ET (Non A OU B)