Énigme archéologique

[invite6de5f0ac]

Bonjour à tous,

Il y a quelques années de ça, je suis allé visiter les grottes de Lascaux. Enfin, la copie. Parce que, pour éviter les dégradations sur un site aussi bien conservé, estimé à 15 ou 20 000 ans, ils en ont construit une réplique à 200 mètres.

Dans 15 ou 20000 ans, les archéologues vont trouver deux grottes identiques très bien conservées. Et pour ne pas les saloper, ils vont en construire une réplique à 200 mètres. On aura donc 4 grottes identiques...

Vous avez compris où je veux en venir. Dans combien de temps les archéologues extra-terrestres vont-ils trouver une planète totalement couverte de grottes identiques, à 200 mètres les unes des autres?

On considérera que la Terre est une sphère uniforme de 40000km de circonférence, et qu'on peut creuser partout, on va pas s'embêter avec les océans, la dérive des continents, et tout le toutim. On pourra prendre 20000 ans entre deux "générations" de grottes.

Attention, le problème n'est pas simple mathématiquement, et d'ailleurs je n'ai pas la réponse...

-- françois
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[invitea6bfc760]

salut concernant cette énigme, il ne me semble pas que cela soit vraiment difficile ou alors j'ai pas bien cerné le pb.
par une suite assez simple j'arrive à en temps de 340 000 ans pour arriver à faire le tour de la planète mais bon avec cette valeurs les dernières duplications de pourront pas toutes etre faites car nous repassons la première.

voilà en attende d'autre réponse pour vérifier la miènne

[yat]

Selon l'énoncé, les différentes versions de la grotte doivent toutes être distantes d'au moins 200m les unes des autres. Au minimum chaque grotte a donc un territoire propre qui est un cercle de 100m de rayon. Ca nous fait une surface supérieure à 314m².

On peut donc aisément calculer la borne supérieure du nombre de grottes qu'on peut placer sur la terre en divisant sa surface par 314m².
Le rayon de la terre est inférieure à 12 732 396m, donc sa surface est inférieure à 2 037 183 448 423 744m². On peut donc placer sur terre moins de 6 487 845 377 146 grottes. On aura dépassé ce nombre à la 43ième duplication, c'est à dire au bout de 860 000 ans.

C'est une borne supérieure, bien sur. On n'arrivera pas à agencer les grottes aussi parfaitements, donc il y aura de la surface perdue entre les territoires des grottes. En imaginant qu'on ne puisse en placer qu'environ deux tiers du chiffre théorique annoncé plus haut, on aura rempli la surface terrestre à l'étape d'avant, c'est à dire en 840 000 ans.

[invitea6bfc760]

ok , je n'ai pris en compte que la ligne droite!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Oki yat,

L'idée est bien celle-là.

Là où le problème est loin d'être trivial, c'est qu'on ne sait pas (enfin, moi je ne sais pas) si cette borne supérieure peut être atteinte. Et si ce n'est pas le cas (ce qui est probable), comment peut-on caser le maximum de points sur une sphère, en garantissant une distance minimale entre deux points.

C'est en fait le problème de "paver" une surface sphérique. Déjà que dans le plan je ne suis pas certain que le pavage hexagonal soit optimal (il l''est parmi les pavages réguliers)...

-- françois

[yat]

Là où le problème est loin d'être trivial, c'est qu'on ne sait pas (enfin, moi je ne sais pas) si cette borne supérieure peut être atteinte. Et si ce n'est pas le cas (ce qui est probable), comment peut-on caser le maximum de points sur une sphère, en garantissant une distance minimale entre deux points.

Hélas, ce problème a déjà été soulevé dans le coin, et il est ouvert.
Maintenant, comme on est dans un contexte ou le nombre de grottes est multiplié par deux à chaque étape, ce n'est pas vraiment un problème, puisqu'on peut être sur qu'il existe un remplissage qui permette d'occuper au moins la moitié de la surface de la sphère. Si le 860 000 ans suppose un remplissage beaucoup trop optimal, on peut donc être sur que c'est faisable en 820 000 ans, voire même à 840 000 si on peut atteindre un rendement de 67%.

[SunnySky]

Selon l'énoncé, les différentes versions de la grotte doivent toutes être distantes d'au moins 200m les unes des autres. Au minimum chaque grotte a donc un territoire propre qui est un cercle de 100m de rayon. Ca nous fait une surface supérieure à 314m².

Je m'exprimerais différemment. Soit A la première grotte. B devra être construite à 200m de A. C devra être à 200m de A et de B. À mon avis, la solution optimale est de créer un triangle équilatéral. Du moins en géométrie plane... alors que la Terre est une sphère... Problème.

Mais ce n'est probablement pas très grave. Si les civilisations futures acceptent à l'occasion un 199,2m à la place d'un 200m, tout va bien. Et même s'il n'acceptent pas, mon calcul sera erroné, mais très peu car le nombre de grottes suit une loi exponentielle.

Imaginons donc que le développement des grottes se fait par triangles équilatéraux. Les 2 premiers existent. La troisième ferme un triangle d'aire = 34640m². Et chaque nouvelle grotte entraînera la création d'un nouveau triangle. Chaque nouvelle grotte nécessitera 34640m².

Cette valeur diffère sensiblement de la tienne pour deux raisons: l'aire, c'est pi*R² et non pi*R et ton calcul ne permet pas de tenir compte des pertes d'espace entre les cercles.

Par contre, les dernières grottes creusées rejoindront les premières, ce qui fait que les premières limiteront l'expansion à la fin. En réalité, elles "occupent" quand même 34640m².

Le rayon de la Terre étant de 6 380 000m (ne pas confondre avec le diamètre), la surface de la Terre avoisine 510 067 420 000 000m².

Cela permet de construire environ 14 700 000 000 grottes.

Je crois donc qu'en 34 générations (donc 680 000 ans), la Terre serait couverte de trous... Cela permet des pertes de 20% dues à la sphéricité, ce que je crois très réalisable.

[yat]

Hé hé... je suis quand même un sacré boulet
Donc, en effet, j'ai réussi à me planter sur le calcul du "territoire" de chaque grotte ET sur le rayon de la terre. Mais j'ai une excuse : on était lundi matin.

Bref... en dehors de ces bourdes de calcul, nos deux méthodes reviennent au même. Tes triangles reviennent à utiliser autour des grottes des territoires hexagonaux au lieu de circulaires. Moi je réunis les pertes de surface entre les disques et celles dues à la sphéricité de la terre, c'est tout. Ca peut paraitre moins précis, mais de toutes façons pour un pavage de sphère, on est obligé d'y aller à la louhe à un moment ou à un autre. Même avec ta méthode des triangles, tu seras frcément bien vite obligé de rogner bien plus que les 80 centimètres que tu espères : il y aura par ci-par là des grottes qui seront entourées de 5 autres grottes au lieu de 6, ce qui modifiera complêtement les dimensions des triangles du coin, qui ne ressembleront plus du tout à des triangles équilatéraux.

Concrètement, je corrige mon application numérique :
surface de la terre : 509 295 817 894 066m²
suface d'un territoire de grotte : 31 416m²
rapport de surfaces : 16 211 389 382

Donc dans tous les cas, comme c'est ici une borne supérieure que je calcule, j'obtiens bien une terre nécessairement recouverte à la 34eme génération (17 179 869 184 grottes).
Et pour qu'elle le soit également à la 33eme génération (8 589 934 592) grottes, il faudrait que le rendement soit inférieur à 53%. On en est très loin, donc je confirme tes 680 000 ans