Calcul de vitesse de rotation

[meka45]

Bonjour,

Je souhaite résoudre le problème suivant. Peut-être pouvez-vous m'aider.

Le problème:

Une droite AB qui peut pivoter par rapport au point O. L'angle θ1 varie.

Une seconde droite BC, lié à la droite AB et qui peut pivoter par rapport au point B. L'angle θ2 varie.

Je souhaite déplacer le point C parallèle à l'axe des ordonnées.

Le point C se déplace selon l'axe y , entrainant en rotation les droites. Les angles θ1 et θ2 varient.

Je voudrais trouver la formule mathématique permettant de définir la vitesse de rotation (rad/s) de chaque droite en fonction de la vitesse de déplacement du point C (mm/s) et de sa position sur l'axe des abscisses x= a mm.
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[le_STI]

Salut.

A première vue, il te suffira d'utiliser de simple formules de trigo pour t'en sortir.

Le tout étant de bien décomposer ton schéma pour déterminer les formules à appliquer.

[mécano41]

Bonjour à tous,

...A première vue, il te suffira d'utiliser de simple formules de trigo pour t'en sortir...

Hum!...pas si sûr...

Voici, pour info., un calcul que j'avais fait, donnant les angles en fonction de la position de l'extrémité (2 solutions). Le résultat n'est pas donné par une simple formule mais pas une suite de calculs qui se terminent en cherchant la solution, dans le bon quadrant, à partir de sinus et de cosinus...et il ne s'agit que de position. Il faudrait ensuite passer en vitesse en dérivant...

Je pense que cela se traite autrement et se rapproche plus des modèles cinématiques inverses des robots (selon un modèle simplifié ici, car deux bras seulement et dans le même plan). Cela fait appel à des notions mathématiques, tenseurs, matrices jacobiennes et autres finesses que je ne possède pas, donc, je m'arrêterai là

Cordialement

[djodjo44]

Bonjour,

Je souhaite déplacer le point C parallèle à l'axe des ordonnées.

Le point C se déplace selon l'axe y

Cela me parait incompatible. Soit le point C, reste parallèle à l'axe Ox, soit à l'axe Oy, soit, c'est fonction des angles téta 1 et téta 2, soit d'autres points à déterminer pour avoir une "patatoïde".

[A voir en vidéo sur Futura]

[mécano41]

J'ai supposé qu'il parlait de déplacer l'extrémité C sur une "verticale" du dessin (// à Oy passant par le point C du dessin) mais de toute façon, je ne pense pas que cela simplifie beaucoup le problème par rapport à un déplacement quelconque de C dans le plan XOY.

Cordialement

[Jaunin]

Bonjour,
C'est juste pour information.
Cordialement.
Jaunin__

http://maplesoft.com/products/maples...tail.aspx?id=7

[Sanglo]

Bonjour,

On suppose que c'est le point C qui est moteur et il se déplace suivant un axe parallèle à OY.
Ce point C se déplace comment ?... à vitesse constante ou suivant une loi bien définie ?

La course du point C est c= 2* (a+b) sin alpha
Quand le point C arrive en bout de course et qu'il repart en sens inverse le mouvement de a et b est aléatoire (position rouge ou position bleue).
La vitesse de rotation des bras varie constamment au cours du mouvement.

Pour devoir calculer la vitesse de rotation des bras, c'est un problème d'école ou il y a une application bien définie ?
Je comprendrais mieux qu'on demande l'équation de la trajectoire du point central et les vitesses de déplacement de ce point en fonction de différentes positions mais je ne vois pas à quoi peut servir de connaître la vitesse de rotation des bras.

Pour trouver une solution quelque soit le problème il faut être prêt à sacrifier pas mal de neurones .

A++

[meka45]

Bonsoir,

Le point est C est moteur et se déplace à une vitesse constante de 5 mm/s selon une verticale // à l'axe y. Il y a des limites mini et maxi de déplacement de ce point. Les limites sont à définir, mais elle seraient par exemple y=10 et y=100

En effet; la vitesse de rotation des droites varient constamment lors du déplacement du point C.

j'ai réalisé une simulation graphique et j'ai noté la valeur des angles des droites sur plusieurs points de déplacement du pt C. Cela m'a permis de construire la courbe de vitesse de chaque droite (voir pièce jointe)

Peut-on définir une fonction de chaque courbe ?

A+

[yaadno]

bonjour:serait-ce l'étude du moteur à combustion interne avec bielle/manivelle et piston?

[Sanglo]

Bonjour,

Je ne sais pas comment tu as calculé les vitesses de rotation des deux bras mais une chose certaine c'est que ces courbes de vitesse doivent toutes les deux passer par un point zéro lorsque le mobile est en bout de course.

A++

[le_STI]

Ce que je ferais pour Teta1:

Soient Xc et Yc les coordonnées du point C.
Xc est constant au cours du temps, Yc=K.t avec K la vitesse de C.

Teta1=atan(Yc/Xc)+acos[(AB²+AC²-BC²)/(2.AB.AC)]

avec AC=racine(Xc²+Yc²)

Il "suffit" ensuite de dériver par rapport au temps pour obtenir la vitesse angulaire.
J'ai fait un essai à l'aide de Wolframalpha et cela parait probant (en tous cas, je retrouve bien une vitesse diminuant jusqu'à s'annuler lorsque les deux bras sont alignés).

@Meka45: Pourrais-tu nous donner les variables et les mesures qui t'ont permis de tracer ces courbes?

[mécano41]

Bonjour à tous,

Ci-joint, l'appli. précédente juste adaptée au problème et avec calcul des vitesses en numérique...

Il faut autoriser les macros. (fonction spécifique calcul arc)

A mettre à jour selon tes données. A vérifier!

Cordialement

[mécano41]

Bonjour,

...en tous cas, je retrouve bien une vitesse diminuant jusqu'à s'annuler lorsque les deux bras sont alignés...

Il me semble que n'est pas lorsque les bras sont alignés que la vitesse s'annule, mais lorsque le premier bras (OA dans mon appli.) change de sens...(voir courbe en mettant Yb maxi = 102,469507 ..ne pas regarder les cacas en fin des autres courbes, il reste des choses à améliorer...)

Evidemment, dans le cas "physique", lorsqu'on arrive à l'alignement, le point B va s'arrêter mais les bras sont alors lancés à une certaine vitesse et le point A tendra à aller plus loin que l'alignement, les bras tendant à se plier en sens inverse si l'on ne retient pas le point B...mais c'est un autre problème...

Cordialement

[le_STI]

Ma formule ne s'applique probablement que dans le cas où les bras sont dans la configuration que sanglo a représentée en rouge et pour Yc>0, mais j'ai pu constater sur le tracé de la dérivée de Teta1 qu'elle s'annulait lorsque les bras sont alignés (à l'erreur de lecture près).

J'avoue ne pas avoir pris le temps d'approfondir mon analyse... (je ne passe que peu de temps sur le forum)

[Sanglo]

Bonjour,

Dans le schéma que j'ai posté le mobile est en fin de course à l'angle alpha (quand les deux bras sont alignés) sinon il sort de sa trajectoire qui est parallèle à OY.
Ca implique que le mobile vienne en butée avant de repartir dans l'autre sens.
Il faut également un dispositif sur les bras (butée escamotable) si on veut forcer ceux-ci à prendre l'une ou l'autre position (bleue ou rouge) au démarrage en sens inverse mais comme dit mécano41 c'est une autre histoire.
On ne peut faire que supposer puisqu'on a pas d'indications suffisantes et qu'on ne sait toujours pas si c'est simplement un exercice théorique ou s'il y a une application réelle à la clé.

A++

[meka45]

Bonsoir,

Voici les dimensions des éléments et les limites mini et maxi. Je n'avais encore défini ces valeurs lorsque j'ai exposé mon problème.

Les deux droites sont des bras tubulaires en position horizontal.

Le bras n°1 AB qui pivote en O à une longueur de 2200 mm. Le bras n°2 BC qui pivote par rapport au bras AB au point B, à une longueur de 2000 mm.

Le point C se déplace // à l'axe y, entre y= 1700 mm et Y=4000 à une vitesse de 50 mm/s.

Les courbes de vitesse de rotation des bras ont été réalisées par graphique lorsque le point C est situé en x=0.

Le problème est ainsi mieux défini.

Cordialement.

[Sanglo]

Re,

Le problème est ainsi mieux défini.

Et de manière incomplète puisqu'on ne sait pas quelle est la distance entre l'axe OY et l'axe de déplacement du mobile.

Pour la dernière fois, exercice théorique ou application réelle ?

A++

[Sanglo]

Encore une chose:

Le point C se déplace // à l'axe y, entre y= 1700 mm et Y=4000 à une vitesse de 50 mm/s.

Les courbes de vitesse de rotation des bras ont été réalisées par graphique lorsque le point C est situé en x=0.

Comment le point C peut-il être en x= 0 ?
Ca impliquerait que le déplacement entre y= 1700 mm et Y= 4000 mm se fait sur l'axe OY et non parallèlement à celui-ci.

Mais peut-être que je n'ai rien compris à tout ce que tu as écrit jusqu'à présent.

[le_STI]

...
Il me semble que n'est pas lorsque les bras sont alignés que la vitesse s'annule, mais lorsque le premier bras (OA dans mon appli.) change de sens...

Salut.

Effectivement, après avoir analysé plus finement le graphe, je me suis rendu compte que la vitesse s'annule bien avant que les bras soient alignés. L'erreur de lecture dont je parlais était de près de 20% .
Comme tu le dis très justement, la position en question correspond forcément au point de rebroussement du point B.

J'ai choisi comme valeurs AB=7, BC=5, Xc=9 et j'ai choisi arbitrairement une vitesse de 1 :

[meka45]

Bonjour,

Ce projet est pour l'instant à l'état de théorie. Si je parviens avec votre aide à définir les courbes de vitesse de rotation des bras, le projet pourra passer à l'étape de développement.
Les limites que j'ai fixées (y=1700 et y=4000) permettent de ne pas avoir de vitesses qui arrivent à 0.

Effectivement dans ma simulation graphique le déplacement du point C se fait sur l'axe des y à x=0. Il pourrait se faire à x= 100 mm, dans ce cas les vitesses seraient différentes. Essayons de définir les courbes dans le cas ou x=0 dans un premier temps.

Cordialement

[Sanglo]

Bonjour,

Je me suis amusé à mettre ton application en graphique pour effectuer des relevés dimensionnels.
Posiition des bras suivant 5 positions du mobile.
Le bras de 2200 mm AB se déplace avec A comme centre de rotation.
Le point B a pour trajectoire BB' qui est un arc de cercle de 2200 mm de rayon et le bras de 2000 mm a pour centre de rotation B ... qui se déplace suivant BB'.

Un petit tableau Excel où on peut calculer la vitesse angulaire moyenne pour chacun des bras entre deux positions.
Pour tracer un graphique des vitesses il faudrait multiplier les points ... mais ça je t'en laisse le soin

Pour ce qui est de la mise en équation, le calcul différentiel est très très loin derrière moi mais peut-être que d'autres sont encore en plein dedans.

A++

[mécano41]

Bonsoir Sanglo,

Ce sont exactement ces valeurs que je trouve avec mon appli. en faisant les moyennes sur chaque période (après passage des vitesses en ° par s)...

Cordialement

[Sanglo]

Bonsoir mécano41,

Donc une méthode par calcul de ton côté et une méthode graphique réalisée sur un logiciel CAO du mien avec les mêmes résultats.

A++

[meka45]

Bonsoir,

La simulation graphique réalisée avec un pas de 50mm permet de définir la courbe de vitesse que j'ai posté précédemment. Par contre je ne sais pas les tracer par calcul.

Pouvez m'orienter ?

Cordialement

[Sanglo]

Bonjour,

Voilà le tracé des courbes que j'obtiens en reportant les relevés du tableau Excel
En premier la courbe brute et en second les courbes lissées (le lissage est effectué par le logiciel CAO utilisé).

Il est bien évident que plus tu as de points, plus la courbe se rapproche de la réalité.

Si tu veux le faire par calcul tu as l'appli de mécano41.

Maintenant si tu veux l'équation des courbes il faut passer par le calcul différentiel mais ça comme déjà dit ce n'est plus de mon ressort.
Après quelques dizaines d'années sans pratique je n'ai pas envie de me recoltiner la théorie et les exercices .

A++

[mécano41]

Bonsoir,

J'ai jeté un nouveau coup d'oeil sur le problème. Comme les angles ont un débattement limité, on doit pouvoir, pour le premier levier (OA dans mon appli) se contenter d'utiliser la forme de sin alpha de mon calcul, de la passer en fonction de t puis de dériver ASIN(alpha) par rapport à t.

C'est ce que j'ai fait mais le résultat ne me satisfait pas ; l'écart avec le calcul numérique est trop grand... Pour info. j'ai mis la fonction de départ et le résultat du calcul fait par MAXIMA dans la feuille Calculs manuels et les calculs correspondants à droite de la feuille Calculs.

Si quelqu'un veut se pencher sur la question... car moi, je n'ai pas vu où est l'erreur...

Cordialement

[Sanglo]

Bonsoir,

De ce que je me rappelle, ce genre d'exercice faisait partie d'un cours appelé Mécanique Rationnelle
On trouve un exercice du même genre avec la solution à la page 331 de ce pdf http://s2.e-monsite.com/2010/03/15/1...ratio-supe.pdf

Si ça peut aider ...

A++

[le_STI]

Salut.

Je viens de jeter un oeil à ton fichier, et j'ai constaté trois choses:

1. V ox oa est calculé en utilisant les lignes précédente et suivante (alors que logiquement, tu devrais faire le rapport du delta angulaire sur le delta de temps de la ligne précédente avec la ligne courante). Par exemple, en AD31, j'aurais écrit "=(L31-L30)/(C31-C30)".
2. Dans la colonne AJ, je ne comprends pas d'où vient la formule. Je ne retrouve par exemple pas le début de la formule "((a*Vb*(Ybmin+t*Vb)*R_^2) " dans la deuxième feuille.
3. Avec les paramètres que j'ai choisis (dans l'ordre, 7;5;9;1;0;13), la colonne AD est décroissante alors que la colonne AJ est croissante (c'est probablement dû au choix de epsilon).

[mécano41]

Bonjour à tous,

Merci à Sanglo pour l'info.

1. V ox oa est calculé en utilisant les lignes précédente et suivante (alors que logiquement, tu devrais faire le rapport du delta angulaire sur le delta de temps de la ligne précédente avec la ligne courante). Par exemple, en AD31, j'aurais écrit "=(L31-L30)/(C31-C30)".

J'utilise une méthode qui procure une plus grande précision (c.f : http://aristote.obspm.fr/phynum/cour...s/lecon3e.html) mais sinon, le résultat reste le même.

2. Dans la colonne AJ, je ne comprends pas d'où vient la formule. Je ne retrouve par exemple pas le début de la formule "((a*Vb*(Ybmin+t*Vb)*R_^2) " dans la deuxième feuille.

Désolé, je me suis trompé de copie d'écran MAXIMA (c'était celle d'un autre essai...!) J'ai remis la bonne...

3. Avec les paramètres que j'ai choisis (dans l'ordre, 7;5;9;1;0;13), la colonne AD est décroissante alors que la colonne AJ est croissante (c'est probablement dû au choix de epsilon).

Oui, je constate la même chose (voir fichier)... et l'on voit bien que c'est le résultat obtenu en calcul numérique qui est le bon...Avec tes valeurs (appli. valable jusqu'à la ligne 91 où Yb=7,93) on voit qu'au moment du changement de sens du levier OA le signe de la vitesse change, ce qui est normal...mais pas dans la fonction calculée...

Merci pour l'intérêt porté au sujet.

Cordialement

[le_STI]

Je n'ai plus le fichier sous les yeux (je suis au travail) mais, si je ne me trompe pas, les valeurs données par calcul correspondent bien au graphe que j'ai posté plus haut.

Je m'y replongerai probablement ce soir.

PS: Merci pour l'info sur la méthode de réduction des erreurs, je ne la connaissait pas