refroidissement d'un spaghetti (sans sauce)

[invite6097d8f3]

Bonjour, bonsoir tous!

Voici le problème de thermique (conduction uniquement):

Soit un spaghetti carré (ça commence bien), de longueur infinie (sans sauce bolognaise ni champignons) à une température de 180°C que je pose sur une surface infinie (plaque de tôle par exemple) maintenue à 10°C.

En combien de temps, suis-je certain que tout mon spaghetti est à 40°C ou moins ?

Bon, la partie du spaghetti en contact avec la plaque sera la première à être refroidie. L'endroit le plus "chaud" du spaghetti sera certainement la surface la plus éloignée de la plaque. C'est donc cette surface qui m'importe. Je doit être sûr que le spaghetti ne dépasse nulle part 40°C et ne sais pas calculer en combien de temps...

Alors je me doute qu'il y aura une equation différentielle quelque part, mais ne sais pas par où commencer... En fait, les équations doivent être le mêmes que pour le chauffage d'un spaghetti sur une plaque. Qu'en pensez-vous? Quelqu'un peut m'aider?

données supplémentaires :
- chaleur massique : celle de l'eau (4185 J/kg/K)
- masse volumique : celle de l'eau (1000 kg/m3)
- dimensions : 2 mm de large par 2 mm de haut (un beau spaghetti en fait)

Merci d'avance pour vos réponses

Vincent
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[invite6097d8f3]

suite du problème...

Je ne demande bien sûr à personne de me résoudre le problème. Ce serait bête d'exploiter le résultat sans comprendre d'où il provient.

Par contre, si des sites internet (mes recherches ont été infructueuses) vous paraissent en accord avec mon problème et me proposent des solutions concrètes, je suis preneur.

Si quelqu'un peut simplement m'aiguiller sur une démarche ou une autre, je suis également preneur.

Merci encore.

Vincent

[Coincoin]

Salut,
Tu n'aurais pas la chaleur massique du spaghetti (à moins que tu ne considères que ton spaghetti est en eau...) et surtout la conductivité thermique du spaghetti ?

[invite6097d8f3]

On peut effectivement dire que le spaghetti s'apparente à de l'eau, tant au niveau de la masse volumique que les propriétés thermiques. En réalité, ce n'est pas un "spaghetti" comestible qui est à refroidir, mais cette illustration me semble être assez sympathique.

Vincent

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Ok... Ca me parraissait bizarre comme spaghetti aussi...
Je pense que tu trouveras ton bonheur en faisant quelques recherches sur la loi de Fourier (attention, ce n'est pas (directement) lié aux séries de Fourier).

[invite6097d8f3]

Mouais,

C'est bien ce que je trouve sur le net... et je ne vois pas, mais alors vraiment pas comment appliquer tout ça.


Pas de victoire pour Vincent. Pourtant Vincent vient du latin vincere, qui signifie vaincre...

[Coincoin]

J'ai su faire ça dans ma jeunesse (l'année dernière ).
A partir de la loi de Fourier, tu peux montrer l'équation de la chaleur : laplacien(T)=1/D*d(T,t) (où D est la diffusivité thermique: le rapport de la conductivité divisée par la chaleur massique multipliée par la masse volumique) et d(...,t) la dérivée par rapport au temps). Bref si tu raisonnes en ordre de grandeur, ton laplacien est égal à la différence de température entre le haut du spaghetti (40°C) et le bas (10°C) divisée par la hauteur de ton spaghetti au carré, et la dérivée vaut la différence entre la température initiale et la température finale divisée par le temps recherché. Donc tu dois pouvoir trouver un bon ordre de grandeur du temps (la valeur de la diffusivité ou bien de la conductivité de l'eau doit pouvoir se trouver).

Mais dis-moi, dans ton spaghetti en eau, y a pas de convection j'espère ?

[Cécile]

Je ne vois pas comment ton spaghetti peut être à 180 °C alors que tu le fais cuire dans de l'eau liquide, qui ne dépasse donc pas 100°C.
Les spaghettis frites dans l'huile, ça ne doit pas être super
Ensuite, je ne pense pas que ce soit uniquement la plaque à 10 °C qui refroidisse ton spaghetti. L'air ambiant joue un rôle aussi. Or, on ne sait pas à quelle température il est.

[invite6097d8f3]

Alors il ne s'agit pas exactement d'un spaghetti.

C'est en réalité une sorte de polymère qui sort d'une extrudeuse à 180°C. En gros, c'est du plastique fondu (qui ne coule pas)

Pour ce qui est de la convection, je n'en tiens pas compte. Pourquoi? Parce que si je suis sûr de refroidir mon spaghetti avec juste de la conduction, l'effet sera d'autant meilleur avec de la convection. L'air est maintenu à 20°C avec un poids d'eau de 1.5 gr/kgas.

Voilà.

Si ça peut vous aider.

Ahhh! Ca devient moins marrant si on ôte la sauce des spaghettis!

Vincent

[Coincoin]

Si tu cherches à majorer le temps, tu peux en effet négliger la convection et le refroidissement par l'air qui ne feront qu'améliorer ce temps.
En cherchant sur Google, j'ai trouvé que la conductivité thermique de l'eau est d'environ 500 W.m^-1, donc la diffusivité vaut: D=500/(4.19*10³*10³)=1.2*10^-4 m².s^-1.
Donc le temps recherché est de l'ordre de : t=(180-10)/(40-10)*(2*10^-3)²/(1.2*10^-4)=0.2 s.
Je te conseille quand même de vérifier expérimentalement, parce que mon calcul est quand même plus que grossier...

[invite6097d8f3]

0.2 secondes me parait un peu léger.

Mais es-tu certain de cette formule? On parle bien de temps de transfert... c'est très curieux.

Je vérifie de mon côté. Parce que pour refroidir de 180 à 40 °C en moins d'une seconde... ça parait très curieux

Merci tout de même

Vincent le roi des gl....

[Coincoin]

Disons que ça doit être 0.2 secondes à quelques ordres de grandeur près
Même si ça n'est pas très grand, ça n'est peut-être pas aberrant : il faut voir que ça varie comme la carré de la hauteur qui est ici assez faible. Et tu n'as qu'à jeter une goutte d'eau sur une plaque brûlante pour voir que les échanges thermqiues ne sont pas si lents que ça...
Par contre, il est vrai que le calcul est vraiment très simplifié (la plaque reste à 10°C, les profils de température sont gentils, etc...). Avec ce genre de calculs d'ordre de grandeur, si ça marche tant mieux, si ça marche pas c'est normal

Mais c'est sûr que si tu avais la valeur expérimentale, ça serait plus simple pour la retrouver de façon théorique

[invite6097d8f3]

Sur la plupart de mes documents, je retrouve Fourier mais avec un "-P/K" dedans... qu'est ce que c'est? C'est la puissance échangée divisée par la conductivité thermique?

Vincent

[invite6097d8f3]

Bon, je lâche la question du "-P/K."

J'ai néanmoins une question: dans le calcul du laplacien, je ne peux pas prendre 40-10 comme différence de température puisqu'on a 180-10 à t=0 et 40-10 seulement à t=?
Ce raisonnement est-il faux? Faut-il que j'intègre cette variation de température dans le temps?

Admettons que mon spaghetti soit isolant (ce n'est plus de l'eau) avec une conductivité thermique de 0.4 W/m/K. Le temps de refroidissement sera plus long et par conséquent, l'augmentation de température en fonction du temps sera percepible. Du moins plus que 0.2 secondes...

Qu'en pensez-vous?

Merci.

Vincent

[invite94aef384]

Salut

Une precision pour coin coin : les séries de Fourier sont directement liées à la résolution de l'equation de la chaleur. En effet Fourier les a introduites pour la résolution de cette équation ( pour le régime transitoire )

Pour l'ouvrage correspondant de J. Fourier http://gallica.bnf.fr/document?O=N029061

@+
joa

[deep_turtle]

Bon, j'ai réfléchi à ton problème de spaghetti, j'ai fait le calcul de la diffusion non stationnaire, tu peux le trouver à l'adresse suivante ici en pdf. C'est le calcul brut, sans trop de discussion des hypothèses ni de l'aspect mathématique, alors ne le repiquez pas tel quel !
Le résultat final, c'est que le temps de refroidissement a 40 degres est de 25 millisecondes environ. Coin-coin avait vu juste, il lui manquait quelques facteurs numériques qui font la différence avec le présent calcul (j'ai repris sa valeur pour le coefficient de diffusion).

[invite6097d8f3]

Merci pour le super fichier de la mort qui tue.

MAIS : lorsque je fais tendre le temps "t" vers zéro (au tout départ), je trouve un température variable... , ce qui me pose un petit problème... comment faire alors? Le fais la somme avec les "n" de 1 à 29, mais ça converge pas...

Vincent

[deep_turtle]

normal, aux petits temps, la solution est singulière et le développement en série que j'utilise ne marche plus, à moins de prendre beaucoup de termes... Il faut ruser pour t petit... J'y reviendrai un peu plus tard ici même (là je dois filer...) !

[invite6097d8f3]

à 140 termes, je converge à 102.1°C

[deep_turtle]

OK, il y a une faute de frappe dans la premiere equation de la section 0.3 (le reste est bon) : la somme commence a n=1 (et non n>1 comm ecrit), et le prefacteur des exponentielles est 1/(2n-1)Pi et non
1/(2n+1)Pi.
Avec ca, si tu fais t=0, la somme se reduit a 1-1/3+1/5-1/7+1/9+...
qui vuat Pi/4, ce qui se simplifie avec le 4/Pi qui est devant la somme, et la temperature vaut bien 180 degres en t=0. Dis-moi si tu as toujours un problème...

Attention, il ne faut pas utiliser la formule que j'ai indiquee apres, avec la somme remplacee par une seule exponentielle ! Cette formule n'est valable qu'aux temps assez grands. Ca convient pour determiner quand la temperature atteint 40 degres, par pour les temps petits...

Je corrigerai le fichier pdf plus tard...

[invite6097d8f3]

la partie en "sinus" est dans l'expodentielle, n'est-ce pas?

[invite6097d8f3]

si je ne mets pas le (-1)^(n+1) dans l'expodentielle (comme j'ai fait avant), à t=0 je trouve 349.2 degrés, avec une somme n=1 jusqu'à n=140... je ne trouve pas le 180°C du départ.

je continue à rechercher...

Vincent

[deep_turtle]

Alors dans la formule avec les sinus (page 2, juste avant la section 0.2), le sinus est multiplié par l'exp (il n'est pas dedans).
Mais toi tu veux la température en z=L, et donc dans ce cas elle se simplifie pour donner la premiere formule de la section 0.3, dans laquelle il n'y a pas de sin, et dans laquelle le (-1)^(n+1) est multiplié par l'exponentielle (il n'est pas dedans).

Resumons :

T(z=L,t)= 10 + (180-10)*(4/Pi)*
Somme pour n>=1 de {(-1)^(n+1) * 1/(2n-1) * exp(-(2n-1)^2*t/tau)) }

avec tau = 13.4 millisecondes

[invite6097d8f3]

c'est bon, j'arrive à des résultats cohérents. Avec d'autres valeurs de onductivité thermique et chaleur massique, tout va bien. Ca a l'air de coller.

Merci beaucoup.

Je peux t'envoyer mon fichier excel si tu veux.