Nombres de Carmichaël

[invite51c9e6f8]

Bonjour, j'aurais juste voulu savoir si quelqu'un a entendu parler des nombres de Carmichael? Ca peut le faire a votre avis pour un tipe sur la dualité?
Merci.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Dans le numéro de Juin 2005 de La Recherche, il y a une très brève news sur les nombres de Carmichaël, à propos de cet article : http://fr.arxiv.org/abs/math.NT/0504119

[invitec314d025]

Personnellement, j'ai du mal à y voir une quelconque dualité.

[invite51c9e6f8]

Bonjour,
je me disais que des nombres non premiers qui ont les caracteristiques des nombres premiers, c'est paradoxal, non? En tout cas ca m'impressionne!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

des nombres non premiers qui ont les caracteristiques des nombres premiers

certaines caractéristiques.
A priori, ça ne pose pas trop de problème de s'éloigner un peu du thème, si j'en crois ce qui a été dit récemment sur ce forum, mais il faut alors faire un TIPE béton.
Sinon, c'est vrai qu'il y a des choses intéressantes à dire sur ces nombres (s'intéresser à la réciproque du petit théorème de Fermat notemment).

[invite88ef51f0]

Salut,
Je rappelle que l'essentiel dans un TIPE, c'est l'Initiative Personnelle. Je pense qu'un jury appréciera plus quelqu'un présentant un petit programme de sa conception permetttant de trouver les nombres de Carmichaël rapidement, que quelqu'un listant leurs propriétés...

[invite51c9e6f8]

J'en prend bonne note. Je pense que ca ne doit pas etre compliqué d'exhiber quelques nombres pseudo premiers a l'aide de Maple, parcontre ce que je me demande, meme si la question parait creuse, c'est quelle doit etre la longueur d'un tipe. Je veux dire, est ce que des tipe courts, ou tres longs peuvent etre penalises?

[invite88ef51f0]

La présentation du TIPE n'est pas très longue : 10 min de présentation (et pas plus ! si au bout de 10 min tu n'en es pas à ta conclusion, les examinateurs n'hésiteront pas à te couper), et 10 min de questions. Donc généralement, on en a trop à dire plutôt que pas assez !
Pour moi, un bon TIPE sur les nombres de Carmichaël serait un TIPE qui se fixe des objectifs (par exemple, trouver ces nombres) et qui utilisent des propriétés mathématiques pour atteindre cet objetif (par exemple : "on peut voir que les nombres de Carmichaël ont telle propriété, donc on peut d'emblée éliminer de notre recherche tous les nombres tels que..."). Je connais un MP qui a fait un très bon TIPE avec ce genre d'approche (faut dire qu'à mon époque le thème était "Contrôle et Optimisation"). Bref, si je devais faire un TIPE en maths, et si je savais me débrouiller un minimum en programmation, c'est ce que je ferais.
Un "mauvais TIPE" serait un TIPE qui n'est qu'une présentation sans travail vraiment personnel. Passer 10 min sur une démonstration n'a d'intérêt que si c'est TA démonstration.

[invite51c9e6f8]

Merci de cette reponse. Dans mon lycee on ne nous a pas franchement aidés, mais a force de parcourir le forum je me rends compte que les tipe, il vaut mieux que ca ne soit pas theorique(ce que je comprends ca serait trop penible) et qu'il y ait des manipulations. C'est vrai que spontanément j'ai pensé que refaire une demonstration des propriétés de ces nombres etait pas une bonne idée comme coeur du sujet, et l'idée que vous me donnez me plait. Mais refaire brièvement une démo des propriétés avant de s'en servir pour trouver les premiers nombres, ca peut etre interessant. Cependant j'ai peur que ca fasse un peu court pour un travil de plusieurs mois, non?

[invite88ef51f0]

Cependant j'ai peur que ca fasse un peu court pour un travil de plusieurs mois, non?

J'avoue que je ne sais pas. Je ne connais pas assez le sujet pour savoir ce qu'on peut en tirer... Mais je pense qu'il doit déjà y avoir de quoi s'amuser pour un petit bout de temps !
Le TIPE ne doit effectivement pas être théorique, mais plutôt "expérimental", mais il doit quand même être un peu poussé (c'est pas un TPE !).

[invite51c9e6f8]

Ouai c'est ce que je me dis aussi. Je vais voir ce que ca donne! Merci en tous cas

[inviteb0cf188d]

Bonjour,
J'ai sous la main le livre "The Little Book of Bigger Primes" de Paulo Ribenboim (un SUPER bouquin). Il parle des nombres de Carmichael en page 100 (3.IX) et en 4.VII et 4.VIII .
Les plus récents résultats qu'il donne datent de 1998. J'ai l'impression que cette partie du livre n'a pas été rafraîchie lors de cette seconde édition (2004). Si vous ne pouvez pas avoir ce livre et désirez des infos, je peux vous fournir un résumé dans ce forum. Par exemple, il parle d'un record de nombre de Carmichael ayant 20 millions de chiffres et 1,3 millions de facteurs premiers.

Il me semble qu'il est un peu illusoire d'espérer trouver des résultats théoriques sur ces nombres, car ils sont connus depuis longtemps et beaucoup de mathématiciens y ont mis leur nez. En ce qui concerne l'établissement d'un record, ou la recherche de nombres de Carmichael d'un type particulier, je crains qu'il ne faille disposer de programmes de calcul très efficaces (FFT) et d'une ou plusieurs machines puissantes. En recherchant les publications de records récents, vous pouvez peut-être mettre la main sur les sources d'un programme efficace que vous pourriez adapter à votre but. Mais il faut disposer d'un compilateur C (donc sous Linux) et de pas mal de compétences en programmation (Maple n'est pas assez efficace).

Une suggestion : trouver une catégorie particulière de nombres et en chercher des pseudo-primes. C'est ce dont parle Ribenboim juste après les nombres de Carmichael à propos des nombres de Lucas Pseudoprimes (page 220). Il dit que ce concept de nombres a été étudié très récemment (1980) et que l'on connaît peu de choses sur eux.
Si les nombre de Lucas vous intéressent, je connais un peu et pourrais vous donner quelques infos.

Sinon, je peux aussi vous suggérer l'étude de nombres de Fermat généralisés (d'abord par Monsieur Saouter, puis par moi-même).
Les nombres de Fermat sont de la forme: . On peut les généraliser ainsi : .
Les nombres de Fermat apparaissent avec k=1 et m=2^n . Les nombres de Saouter apparaissent avec k=2 et m=3^n .
Monsieur Saouter a montré que ses nombres ont des propriétés très proches de celles des nombres de Fermat.
On peut généraliser avec k+1 premier .
Et on peut alors chercher des nombres de Fermat généralisés premiers. Il ne me semble pas avoir vu d'autre papier là-dessus (mais je ne suis qu'un amateur).

Bon courage et félicitation de vous mettre à chercher un sujet de TIPE dès maintenant !

Amicalement,

Tony Reix