Spé Maths Terminale S

[GalaxieA440]

NOMBRES PREMIERS

Nombre de diviseurs
Somme de diviseurs
Produit de diviseurs

Je renvoi tout d'abord au message 45 page 3 de ce fil pour les ensembles de diviseurs et leur forme d'un nombre selon sa décomposition en facteurs premiers...

Pour ce qui est des sommes et produits de diviseurs, quelques fois demandés en exercices, il éxistes des formules toutes faites, mais qui changent selon le nombre de facteurs premiers, d'ou l'intérêt de connaitre la méthode, qui est un peu complexe, et surtout longue. Je renvoi à deux exos résolu qui traitent de cas plus ou moins généraux :

http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

Exercices 9 et 12. Le 12 est plus complet, il traite des trois cas... Les détails sont largement expliqués dans la correction. Ce genre de résolution est à appliqer ensuite avec d'autres nombres...

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[GalaxieA440]

NOMBRES PREMIERS

Formes d'un nombre premier
Carrés, Cubes...

A savoir...

Si quelqu'un a des trucs comme ça, je suis intéressé, dans la mesure ou j'ai DS vendredi sur les nombres premiers principalement Merci...

[invitec053041c]

Allez, un petit résultat, qui peut être montré par les complexes.

Tout produit de deux sommes de 2 carrés d'entiers est somme de 2 carrés d'entiers.

Autrement dit:




Preuve:

On peut le montrer naïvement en développant, sinon:

On sait que pour deux complexes z,z' on a

Donc (1)

En notant

On obtient


En reportant dans la formule 1, on trouve:




Ce qui est intéressant, c'est qu'on peut faire de même pour 4 carrés, mais cette fois-ci en passant par les quaternions.

[invite2220c077]

Ainsi que 8 carrés :












En fait, 2, 4 et 8 sont les seuls entiers pour lesquels on dispose de telles formules .

[GalaxieA440]

Les sommes de carrés c'est un bordel monstre. J'avais trouvé un site qui contenait des dizaines et des dizaines de formules (si je le retrouve, je le posterai) plus loufoque les unes que les autres. C'est pour ça que j'étais intéressé par la suite du cours d'olympiade de Zweig qui normalement a une partie qui traite de la somme de carrés. Dommage que cette suite n'éxiste pas...

En attendant, petite propriété :

NOMBRES PREMIERS

Suites de nombres composés consécutifs...

Voila un des rares types d'exos "standard" sur les nombres premiers : c'est à dire un type d'exo où il est bon d'avoir la méthode en tête. Pour le reste, les exos sur les nombres premiers demandent simplement une grosse réflexion

Propriété : "Il éxiste des suites arbitrairement longues de nombres consécutifs composés. Autrement dit, pour tout réel k, il est possible de trouver un entier n tel que ,n+1, n+2, ... , n+k soient composés"
La démonstration se fait simplement avec

en effet :





donc

, et est donc composé

, et est donc composé
...
, et est donc composé

Ainsi on a n+1,n+2,n+3,...,n+k, une suite de k entiers consécutifs composés...

Je posterai un exo prochainement si j'ai le temps, à moins que quelqu'un n'en post un avant...

[GalaxieA440]

Hello, petit résumé de cours sur le chapitre des PGCD

* Algorithme d'Euclide
* Théorème de Bézout + popriétés complémentaires
* Théorème de Gauss + popriétés complémentaires

* Petit théorème de Fermat
+ Rappel sur le principe de récurrence et les dénombrements...

Juste de cours et les formules indispensables (scan de qualité moyenne, désolé), j'ajoute bientôt de la méthode concernant l'utilisation du PGCD, équations diophantienne, etc....

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PS : en espérant que ça marche la pièce jointe parce que j'ai du bidouiller pour la compresser... sinon je recommencerai...

[sailx]

Salut.
Je voulais juste vous remercier (tous ceux qui on participer à ce post)
En effet, je m'intérésse au cours de spé maths pour mes connaissances personnelles. (je suis spé physique). Et vous avez de nombreux liens intéréssant, de nombreuses méthodes etc...
Alors Chapeau bas. Et merci. (votre travail n'est pas inutile loin de là)
Si cela intérésse, j'ai quelques méthode sous le bras sur l'arithmétique que je peux poster si j'ai le temps de les écrires.

[invite1237a629]

Plop,

J'ignore où poster ça, ni comment le poster parce que c'est une méthode générale. C'est pour dire que généralement, lorsqu'on demande de montrer que pgcd(a,b) = d = d' = pgcd(c,d), il est très difficile de vérifier que tous les diviseurs divisent l'un et inversement.

Le plus simple est de montrer dans un premier temps que d divise d' puis que d' divise d.
On y arrive grâce à des théorèmes mais aussi :
Si on a u et v tels que au + bv = d', alors d' divise d, puisque :
a = da'
b = db'
Donc da'u + db'v = d'
d' = d(a'u+b'v)

=> d divise d' (ne jamais confondre d et d')

'fin voilà, si ça intéresse quelqu'un de le mettre en forme...ou sous forme d'exo...

[sailx]

Je vais essayer.


Montrer que deux PGCD sont égaux
Soit


Pour prouver que PGCD (a,b) = d = d' = PGCD (c,e) il faut :

• Montrer que d divide d'
• montrer que d' divise d
• En conclure que d et d' sont identique

j'ai malheureusement pas encore trouver d'exercise pouvant illustrer cette méthode. si quelqu'un en à une. (et le TEX, c'est juste parce que j'ai ça

[GalaxieA440]

Hello

Pour continuer dans les pgcd et applications, un peu de méthode :

* Equations diophantiennes de la forme ax+by=d
- méthode classique...
- méthode semblable à celle utilisée pour les équations différentielles...
* Utiliser le PGCD de deux entiers premiers entre eux
* Montrer que deux entiers sont premiers entre eux
* Déterminer les coefficients de Bézout
* Equation du type ax+by=0

Voila, normalement tout ce qu'il y a de classique à faire est le dedans.....

++

[GalaxieA440]

Un petit programme pour CASIO pour trouver le PGCD de deux entiers :

?-->A
?-->B
While B <> 0
Intg(A/B) --> Q
A-B*Q --> R
B --> A
R --> B
WhileEnd
A

alors, <> est à remplacer par le signe "different", * par multiplier, --> est la flèche pour mettre en mémoire, / divisé...

++

[GalaxieA440]

Hello

Alors un petit bilan des différents type de raisonnement à utiliser dans les démonstrations (très utile en spe...) :

Démontrer une double implication (un si et seulement si)

ex pour deux popositions et , montrer que

Il faut alors procéder par double implication, et montrer que et .

Sauf dans certains cas ou on part d'un si et seulement si et on le trimbale tout le long, mais c'est assez rare

Raisonnement par l'absurde

Bon alors la c'est simple, on suppose qu'une proposition est vraie est on met en évidence une absurdité, ce qui concluera qu'elle est fausse. (ou l'inverse )

Montrer l'uncité d'une solution

Comme son nom l'indique, pour montrer qu'une solution est unique, on suppose que si une solution autre existe, les deux sont nécessairement égales...
On peut aussi utiliser le raisonnement par l'absurde assez souvent

Utilisation de la contraposée

On y pense pas toujours : Pour deux propositions et :



Voila je ne sais pas si c'est assez complet et/ou si il éxiste d'autre réflexes du genre à avoir...

++

[invite1237a629]

Plop toi,

Quelques remarques

1/ Les fautes d'orthographe

2/ Pour le point 1/, on peut aussi montrer que ¬P => ¬Q ET ¬Q => ¬P, ou même décortiquer P=>Q et Q=>P et en démontrer une (ou les deux) par contraposée.

3/ C'est spécifique à la spé maths ça ?

4/ La démonstration par récurrence aussi (nécessiterait une mise au point complète :/)

5/ La relation de contraposée est une relation d'équivalence et non pas une implication simple

[GalaxieA440]

Yop Molette

Pour les fautes, sincères excuses , et ce post n'est effectivement pas spécifique à la spe maths, seulement en spe, une question sur deux ou trois dans un exo de base consiste à démontrer quelque chose sans vraiement avoir la possibilité d'utiliser la calcul, pas comme dans "les autres mahts ", donc c'est très utilisé en spé, et c'est important de savoir par ou commencer

Pour le raisonnement par récurrence, c'est un gros oublis de ma part, et je l'ajouterai dans le prochain post dans lequel je corrigerai aussi la contraposé ...

Merci à toi petite Molette qui fait des plops encore de temps en temps par-ci par la

[invite1237a629]

Plouf

Ben pour les fautes, ce n'était pas une remarque méchante hein, c'est juste que ça fait mieux présenté

Yep tu as raison pour l'utilisation plus fréquente en spé maths qu'en maths normales.

Si t'as besoin d'aide pour la démonstration par récurrence, n'hésite pô.

Pour les différentes démonstrations A => B, on pourrait s'étaler sur plusieurs lignes...mais ce que t'as fait est bon ! (ben vi on va pas être négatif sur tous les points ^^)


PS : vous avez quoi avec mes plop ?

Bonne soirée

[invite05d0a348]

Tu peux rajouter le raisonement pas disjonction de cas ...
Exemple : n est pair, n est impair ...

[sailx]

Salut.
c'est bien de faire un petit truc là dessus. Car c'est toujours un peu flou (enfin, personnellement, quand je doit raisonner avec tout ça, je suis un peu dans le flou.
J'ai trouver dans mes cours / bouquins et recherches et j'ai trouver à peu prés les mêmes choses que toi avec la disjonction des cas.Et, j'ai presque un exemple pour chaque type de raisonnement. Si ça intéresse, je peux les mettre.

[GalaxieA440]

Raisonements à utiliser dans les démonstrations (suite)

Raisonnement par récurrence

Comment montrer q'une proposition est vraie

* Initialisation : Montrer que est vraie

* Hérédité : supposant que est vraie, montrer que l'est aussi.

* On en conclut que est vraie


Voila alors je ne sais pas trop comment présenter le raisonnement par disjonction des cas, j'y réfléchirai à moins que quelqu'un n'ait quelque chose à proposer...

Remarques, suggestion ???


Ce que j'ai avec les Plop ? je trouve mignone l'histoire de patatechnologie

[invite85d09bae]

Récurrence forte? c'est bien plus rare, je suis d'accord...

Concernant l'équivalence, tu disais (Galaxie) que c'est assez rare, mais je trouve qu'au contraire c'est assez commun (en tout cas très sympa et très facile ...pour l'instant...) par exemple, les solutions d'une équation différentielle? tous les exos sur les équa diff niveau term pratiquement ont une question dans laquelle tu dois partir d'une des 2 Propositions de l'énoncé, et utiliser les données pour arriver à la fin.


Voilà c'était juste 2 remarques en passant, sinon merci pour tous ces posts qui ont beaucoup de valeurs.

Pour ce qui est des disjonctions de cas, ce n'est pas systématique en spé, ce qu'il faut comprendre c'est que ca dépend souvent des cas et des exos. Je dirais plutôt qu'il faut chercher à bien comprendre l'intérêt de l'exo (regarder les questions suivantes, on remarque assez vite si l'on aura besoin de considérer différents cas) et de toute facon, lorsqu'on réfléchit à un problème, on s'aperçoit assez vite que les résultats diffèrent selon le cas. Pour conclure, je dirais qu'un bon nombre d'exos de spé fait vraiment du bien au raisonnement et sera un entraînement parfaitement convenable aux différents types d'exos pouvant tomber au bac...

Voili voilou, je vous souhaite bonne chance et bonne continuation, et moi! faudrait p'tete que j'taffe!

[invite1237a629]

Euh perso je pense la récurrence forte n'est vraiment pas trop utilisée... Et il serait dommage d'embrouiller l'esprit des gens avec cela.

Pour chaque type de démonstration, on pourrait donner un exemple, non ? En soulignant à chaque fois les étapes.

Démonstration par l'absurde : l'ensemble des nombres premiers est infini
Disjonction des cas : un exemple avec (-1)^n quelque chose et voir pour n pair ou n impair... ? Aucun exo en tête




Petit PS : oh moun diou, je crains avoir oublié de répondre à ton dernier mp galaxie... ^^

[sailx]

Moi, n'est des exemples :

Contraposition
Démontrer que

RAPPEL :
Pour deux propositions et :

 Cliquez pour afficher

En utilisant le raisonnement par contraposition, il faut montrer que

est de la forme ou bien , p étant entier.
est des la forme ou bien p étant un entier
est de la forme ou bien p étant un entier relatif.
est de la forme ou bien p étant un entier naturel.

Puisque et sont deux entiers, et sont les deux écritures possible de n² dans la division Euclidienne par 3. Le reste qui vaut 1 n'étant pas nul, n² n'est pas divisible par 3.

Finalement, on à : . ce qui équivaut à

PS:j'ai piqué un bout de ce que tu avait, écrit Galaxy, sur l'utilisation de la contraposition j'espère que tu ne m'en veux pas

[inviteec581d0f]

Salut Galaxie,

Juste une petite remarque,

#70 les scans sont trop petits on ne voit rien xD

bye

[GalaxieA440]

Hello !

Ils m'ont l'air bien lisibles avec le zoom. De toute manière leur taille est déja limite, difficile de plus les agrandir. Si d'autres n'arrivent pas à les lire, signaler le je posterai en dossier compressé. Kimuto si tu veux les scans, contact moi en mp je te les enverrais.

Bye A++

[GalaxieA440]

Hello tous.

D'abord je constate que Molette est passée modérateur, et oui, ça va faire un moment que je n'ai plus rien fait sur ce forum... (quelques semaines seulement, faut pas non plus éxagérer...)

Alors je reprend sur les dernières petites choses qui n'ont pas été abordées ici en arithmétique, puisqu'à cette époque de l'année, il est grand temps de laisser tomber ce chapitre pour se mettre aux similitudes planes en spe...

Donc voila :

PGCD et PPCM

tout t'abord pour tout entier a et b tels que :






ensuite, il est important de toujours savoir que :
si d est le pgcd de a et b, alors on peut noter :

et , avec a' et b' des entiers premiers entre eux...

Ce qui peut servir pour utiliser la propriété :

où m est le ppcm de a et b et d leur pgcd...

en effet on arrive alors en remplaçant à , et cette petite formule intervient dans la plus grande partie des exos faisant intervenir les ppcm....

Que dire d'autre sur ces ppcm, si ce n'est que les exos sont souvent assez long et nous obligent à tester beaucoup de possibilités. Mais ils sont pour finir presque tous pareils; il s'agit de bien être capable d'exploiter l'énnoncé

Voila ce que j'ai à dire la dessus , j'ajoute des exos dans le deuxième fil

++ A tous

[GalaxieA440]

Similitudes planes (directes), un peu de méthode...

Hello

Pour les similitudes, et surtout pour tous les petits trucs de base comme les éléments caractéristiques, il est bon de savoir qu'il y a deux méthodes à peu près tout le temps :

1/ La méthode "bourrine".
On utilise les complexes, pour ensuite trouver l'écriture complexe de la similitude. On utilise ensuite les formule du cours pour trouver le rapport, l'angle et le centre. Si l'écriture complexe est déja donnée, c'est plus simple, mais c'est assez lourd si on a rien, il faut définir un repère, avoir les affixes des points, résoudre un système, et faire tout un tas de calculs avec des complexes qui peuvent êtres longs...

2/ La méthode géométrique.
On peut déterminer :
Le rapport : en sachant que les rapports entre les longueurs et les "images de ces longueurs" sont égaux...
L'angle, si on arrive à calculer l'angle orienté entre un vecteur et son image par f.
Le centre, peut être plus délicat, il faut mettre en évidence le point invariant. Pour cela, on a souvent recours à la composé .

Remarque qui peut servir : si on connait l'écriture complexe d'une similitude f, on peut imédiatement en déduire l'écriture complexe, et donc les éléments caractéristiques de la similitude réciproque de f, en effet, si on sait que z'=az+b, pour avoir l'écriture de la réciproque, il suffit d'exprimer z en fonction de a, b et z'...

Voila pour un début, le reste : à venir

+++

[sailx]

Salut.
Déjà un grand merci pour ce que tu fait. c'est nickel
seulement là, y'a un truc qui me chiffonne

Remarque qui peut servir : si on connait l'écriture complexe d'une similitude f, on peut imédiatement en déduire l'écriture complexe, et donc les éléments caractéristiques de la similitude réciproque de f

serait ce une coquille ?

[GalaxieA440]

Pas du tout :

Soit une similitude directe ayant pour écriture complexe : avec a un complexe non nul et b un complexe, alors :

admet pour écriture complexe :

[sailx]

ça y'est
j'ai trouvé ou
en faite,je n'avait vu que le début, sans vraiment comprendre le sens de la phrase. (ça m'a choqué de voir si on connait l'écriture complexe on peut en déduire l'écriture complexe ..)
Honte à moi...

[GalaxieA440]

Similitudes planes directes, point invariant

Alors souvent dans les exos on doit montrer que le point invariant est le point d'intersection de deux cercles (cf l'exo sur les similitudes que j'ai posté dans l'autre fil). Or les cercles ont presque toujours deux points d'intersection. Il faut donc choisir le bon.

La méthode la plus rapide, c'est de considérer un angle orienté qui contient ce point invariant, et de regarder si cet angle est direct ou indirect. Ainsi, on pourra considérer deux triangles contenant les points d'intersections éventuels, et choisir lequel est le bon....

C'est bon à savoir, plutôt que de se lancer dans des démonstrations de géométrie super longues....

+++

[GalaxieA440]

Bon ok, je révise mon bac, je vous fait partager

Nombres en base 10

C'est souvent la galère les exos avec des nombres dont on ne donne que l'écriture en base 10...

Un truc à retenir absolument, et que j'avais oublié (of course ).....




Ca peut aider par exemple à déterminer des critères de divisibilité : exemple :

Critère de divisibilité par 11

Soit :


On sait que
donc

Donc

vaut alternativement 1 et -1....

D'ou N est divisible par 11 si et seulement si la somme altérnée des chiffres de son écriture décimale est divisible par 11....