Calcul Dim et Ker Matrice

[John_Doe_50]

Bonjour ,

Soit une matrice ( 2*2)
ligne 1: a et 0
Ligne 2 : b et a

On cherche les valeurs propres puis ensuite intervient ( dans mon exercice )

dim { ker ( A-aI) } = 1
La somme fait 1 car un seul vecteur l'engendre ( selon le corrigé )

Je ne comprends pas ce que l'on cherche a déterminer avec le ker et dim

Merci beaucoup pour vos reponses

[Antho07]

Q'as-tu trouver comme valeurs propres?

Qu'est-ce que ker(A-aId)?
Qu'est-ce que la dimension d'un espace?

(b doit etre supposer non nul à quelque par non?)

[John_Doe_50]

( A - aI) ( x1 x2 ) = ( 0 0 )

soit bx1=0 -> x1=0 -> ( 0 1 )

Mais en fait , je ne comprends pas pourquoi dans le cas d'une recherche de vecteur propre et valeur propre , on cherche la ker et dim

Je ne vois pas ce que represente ker et dim

Dans un autre exercice , on a
R² espace vectoriel sur R
C² espace vectoriel sur C

2 valeurs proposes Lanbda1=lanbda+ et lanbda 2=lanbda-

et la , on annonce R²=ker(A-(lanbda-)*I)+ker(A-(lanbda+)*I)

dim R²=1 et dim des deux termes=1

Je ne comprends pas a quoi ca sert !?

Desolé d'etre confu , mais je ne comprends pas et la correction de l'exo est très confuse egalement

Merci de m'éclairer

[Antho07]

On a fait une recherche de valeurs propres et de vecteurs propres de A, matrice représentative d'un endomorphisme u dans la base canonique.
On veut savoir si la matrice est diagonalisable, autrement dit si il existe une base de l'espace uniquement constituée de vecteurs propres de A.
Es-tu d'accord que ,exprimé dans une telle base, la matrice représentative de u est diagonal?

Bon alors comment savoir si c'est diagonalisable. En cherchant une telle base.
Lorsqu'on a trouvé les valeurs propres, on a cherché ensuite une base de chaque espace propre.

Si est une valeur propre , on appele espace propre associé à ,

On peut montrer que les espaces propres associé à des valeurs propres différentes sont en somme direct.

Cette somme direct est clairement inclus dans l'espace E tout entier.
En d'autre terme si on note les valeurs propres de A, l'espace associé à la valeur propres , alors on a



La matrice A est diagonalisable si et seulement si il y a égalité.
On a une inclusion , il suffit juste alors de vérifier les dimensions.
A est diagonalisable si et seulement si


Revenons maintenant à ton premier exercice.
Tu as trouvé une seul valeur propre a.
Tu a montrer que la dimension de l'espace propre associé à a est 1.
(La dimension d'un espace est le cardinal d'une base de cette espace qui est 1 ici)
Or dim(E)=2 (la matrice est une matrice 2*2)

et 1 est different de 2.

La matrice n'est donc pas diagonalisable.


Suis-je compréhensible?

[John_Doe_50]

Excellente explication

Merci beaucoup Antho07