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Equations avec des complexes

  1. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Equations avec des complexes

    Bonsoir,

    Il y a un exercice avec lequel j'ai un peu de difficultés si vous pouviez m'aider ce serait super gentil.

    L'exercice est le suivant :

    1)Résoudre dans C l'équation : z² + (7-i)z -8 - 8i = 0.
    2) Résoudre dans C l'équation : (z^6) + (7-i)*(z^3) -8 - 8i = 0

    Rien que pour le premier je bug un peu

    Si j'ai bien compris il faut remplacer z par a + ib mais même dans ce cas je tombe sur un système du type :

    { a²+7a-8=0
    {2ab+7b-a-8=0

    et après je sais pas du tout quoi faire

    merci à vous.

    -----

     


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  2. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Re : Equations avec des complexes

    Une autre méthode également qui est de calculer le discriminant : delta = 80+18i

    mais là encore je suis bloqué pour la suite.
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    24 032

    Re : Equations avec des complexes

    en posant delta 80+18i , on en trouve facilement les racines opposées ( a+ib et-(a+ib))
    en passant par le système
    a²-b²=80
    2ab=18
    amène à une équation du degré 4 en a qui revient à une équation de degré 2.
    des deux racines complexes opposées, on ne garde que la première, ( prendre l'autre aboutit forcement aux mêmes résultats pour z )

    sinon, tes équations en prenant la première voie sont fausses et le système bien plus complexe à résoudre.
    Dernière modification par ansset ; 09/01/2018 à 05h56.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. CARAC8B10

    Date d'inscription
    janvier 2015
    Messages
    73

    Re : Equations avec des complexes

    La deuxième équation se ramène à la première en prenant pour inconnue
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Equations avec des complexes

    Bonjour,

    Pour résoudre l'équation : , et étant deux nombres réels, la considération des parties réelles et imaginaires conduit classiquement aux deux équations :



    et il pratique de rajouter une troisième équation :



    Par demi-somme et demi-différence des équations (1) et (3) on obtient :



    On utilise alors l'équation (2) pour le choix des signes : et ont même signe, donc les deux solutions sont : et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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  6. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Re : Equations avec des complexes

    Bonjour et merci pour votre réponse,

    excusez moi j'ai oublié de préciser que juste avant il y avait une question qui était

    résoudre z²=80+18i

    nous en cours on a vu que pour résoudre une équation on met sous forme exponentielle.
    et sincèrement j'ai un peu de mal à mettre sous forme exponentielle.

    Je sais que le module vaut 82 mais l'argument vaut combien ?

    merci à vous.
     

  7. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Equations avec des complexes

    L'argument vaut arcsin(9/41)…

    Le méthodes usuellement enseignées pour résoudre z2=80+18i utilisent la forme exponentielle, inexploitable ici, ou passe par la forme z=a+ib avec résolution d'une équation bicarrée auxiliaire.
    Je propose ici une méthode mixte, utilisant la forme a+ib et le module, mais pas l'argument, qui conduit à des calculs simples et pratiques dans toutes les situations.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  8. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Re : Equations avec des complexes

    Okay je vous remercie
    J en ai fait un autre pour m entraîner

    Pouvez me ce qui est correct et ce qui ne l est pas svp ?

    iz(conjugue) + 5 = z
    On prend z=a+ib

    Ce qui nous donne b+5-a+i(a-b)

    On a donc le système suivant :

    b+5-a=0
    a-b=0

    Et de la on peut en déduire que cette équation n a pas de solution

    C est juste ?

    Merci à vous
     

  9. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Equations avec des complexes

    C'est effectivement exact.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  10. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 602

    Re : Equations avec des complexes

    Une erreur : iz=ia - b; donc ce n'est pas b+5-a mais -b+5-a.

    Cordialement.
     

  11. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    iz(conjugue) + 5 = z
    Il n'est pas question de , mais de , du moins est-ce comme cela que j'ai interprété l'équation.

    Il est vrai que la bonne formulation serait conjugue(iz) ou i.conjugue(z) suivant le cas… et la meilleure solution est de donner les équations en TeX, surtout dans un forum « du supérieur ».

    Autre méthode, qui se pratiquait couramment naguère : faire les calculs dans sans séparer les parties réelle et imaginaire.

    On part de : (*)

    On conjugue :

    On reporte la valeur obtenue dans (*) : , équation de degré au plus 1 en
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  12. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Re : Equations avec des complexes

    Et pour finir une dernière équation

    (1+ia)z + 1-i=0

    Je trouve comme système
    a-ab+1=0
    b+(a^2)-1

    Et comme solution je trouve a=1
    Et b =0

    Or je pense que c'est incorrect car quand on remplace z par 1 on ne trouve pas 0

    Merci à vous
     

  13. Momo54500

    Date d'inscription
    septembre 2014
    Messages
    308

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Une erreur : iz=ia - b; donc ce n'est pas b+5-a mais -b+5-a.

    Cordialement.
    Il s agit de z conjuguée pas de z
     

  14. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : Equations avec des complexes

    Comme a est le nom d'un coefficient de l'équation, tu ne peux réutiliser ce nom pour la partie réelle de z ; du coup pose z=x+iy avec x et y deux nombres réels…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  15. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 602

    Re : Equations avec des complexes

    Désolé pour mon erreur, je ne sais plus lire
     


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