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Equations avec des complexes




  1. #1
    Momo54500

    Equations avec des complexes

    Bonsoir,

    Il y a un exercice avec lequel j'ai un peu de difficultés si vous pouviez m'aider ce serait super gentil.

    L'exercice est le suivant :

    1)Résoudre dans C l'équation : z² + (7-i)z -8 - 8i = 0.
    2) Résoudre dans C l'équation : (z^6) + (7-i)*(z^3) -8 - 8i = 0

    Rien que pour le premier je bug un peu

    Si j'ai bien compris il faut remplacer z par a + ib mais même dans ce cas je tombe sur un système du type :

    { a²+7a-8=0
    {2ab+7b-a-8=0

    et après je sais pas du tout quoi faire

    merci à vous.

    -----


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  3. #2
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Une autre méthode également qui est de calculer le discriminant : delta = 80+18i

    mais là encore je suis bloqué pour la suite.

  4. #3
    ansset

    Re : Equations avec des complexes

    en posant delta 80+18i , on en trouve facilement les racines opposées ( a+ib et-(a+ib))
    en passant par le système
    a²-b²=80
    2ab=18
    amène à une équation du degré 4 en a qui revient à une équation de degré 2.
    des deux racines complexes opposées, on ne garde que la première, ( prendre l'autre aboutit forcement aux mêmes résultats pour z )

    sinon, tes équations en prenant la première voie sont fausses et le système bien plus complexe à résoudre.
    Dernière modification par ansset ; 09/01/2018 à 04h56.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !


  5. #4
    CARAC8B10

    Re : Equations avec des complexes

    La deuxième équation se ramène à la première en prenant pour inconnue

  6. #5
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    Bonjour,

    Pour résoudre l'équation : , et étant deux nombres réels, la considération des parties réelles et imaginaires conduit classiquement aux deux équations :



    et il pratique de rajouter une troisième équation :



    Par demi-somme et demi-différence des équations (1) et (3) on obtient :



    On utilise alors l'équation (2) pour le choix des signes : et ont même signe, donc les deux solutions sont : et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Bonjour et merci pour votre réponse,

    excusez moi j'ai oublié de préciser que juste avant il y avait une question qui était

    résoudre z²=80+18i

    nous en cours on a vu que pour résoudre une équation on met sous forme exponentielle.
    et sincèrement j'ai un peu de mal à mettre sous forme exponentielle.

    Je sais que le module vaut 82 mais l'argument vaut combien ?

    merci à vous.

  9. #7
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    L'argument vaut arcsin(9/41)…

    Le méthodes usuellement enseignées pour résoudre z2=80+18i utilisent la forme exponentielle, inexploitable ici, ou passe par la forme z=a+ib avec résolution d'une équation bicarrée auxiliaire.
    Je propose ici une méthode mixte, utilisant la forme a+ib et le module, mais pas l'argument, qui conduit à des calculs simples et pratiques dans toutes les situations.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  11. #8
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Okay je vous remercie
    J en ai fait un autre pour m entraîner

    Pouvez me ce qui est correct et ce qui ne l est pas svp ?

    iz(conjugue) + 5 = z
    On prend z=a+ib

    Ce qui nous donne b+5-a+i(a-b)

    On a donc le système suivant :

    b+5-a=0
    a-b=0

    Et de la on peut en déduire que cette équation n a pas de solution

    C est juste ?

    Merci à vous

  12. #9
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    C'est effectivement exact.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #10
    gg0

    Re : Equations avec des complexes

    Une erreur : iz=ia - b; donc ce n'est pas b+5-a mais -b+5-a.

    Cordialement.

  14. #11
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    iz(conjugue) + 5 = z
    Il n'est pas question de , mais de , du moins est-ce comme cela que j'ai interprété l'équation.

    Il est vrai que la bonne formulation serait conjugue(iz) ou i.conjugue(z) suivant le cas… et la meilleure solution est de donner les équations en TeX, surtout dans un forum « du supérieur ».

    Autre méthode, qui se pratiquait couramment naguère : faire les calculs dans sans séparer les parties réelle et imaginaire.

    On part de : (*)

    On conjugue :

    On reporte la valeur obtenue dans (*) : , équation de degré au plus 1 en
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #12
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Et pour finir une dernière équation

    (1+ia)z + 1-i=0

    Je trouve comme système
    a-ab+1=0
    b+(a^2)-1

    Et comme solution je trouve a=1
    Et b =0

    Or je pense que c'est incorrect car quand on remplace z par 1 on ne trouve pas 0

    Merci à vous

  16. #13
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Une erreur : iz=ia - b; donc ce n'est pas b+5-a mais -b+5-a.

    Cordialement.
    Il s agit de z conjuguée pas de z

  17. #14
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    Comme a est le nom d'un coefficient de l'équation, tu ne peux réutiliser ce nom pour la partie réelle de z ; du coup pose z=x+iy avec x et y deux nombres réels…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #15
    gg0

    Re : Equations avec des complexes

    Désolé pour mon erreur, je ne sais plus lire

  19. #16
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    ah oui c'est vrai merci à vous de me l'avoir fait remarquer ^^

  20. #17
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Rebonjour il y'a deux autres questions qui avec lesquelles j'ai des difficultés :

    1) z²-(5-14i)z-24-10i = 0
    2) iz²+(4i-3)z+i-5=0*


    Pour la première , j'ai fait ça :

    delta = b²-4ac= -75-100i

    Puis (a+ib)²=-75-100i

    donc le système suivant :

    a²-b²=-75
    2ab=-100
    a²+b²=125

    je trouve donc z1=5-10i et z2= -5+10i

    mais en remettant z1 et z2 dans l'équation initiale je ne trouve pas zéro

    merci à vous

  21. #18
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    pareil pour la 2 où je trouve 1-2i et -1+2i mais je ne trouve pas 0 non plus en remplacant z.

    merci à vous.

  22. #19
    gg0

    Re : Equations avec des complexes

    Pourquoi voudrais-tu que tes z1 et z2 soient les solutions de ton équation initiale ? Que sont-ils, vraiment ??

  23. #20
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Bah c est le principe d une résolution d equation non?

    En faite j ai pas très bien compris
    Du coup c est juste ou faux ce que je trouve ?
    Et si c'est faux comment trouver la solution ?
    Merci

  24. #21
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    M'enfin ! et sont les solutions de l'équation
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  25. #22
    ansset

    Re : Equations avec des complexes

    tes z1 et Z2 sont les racines de ton discriminant, pas de ton équation initiale.
    il n'est donc pas étonnant que tu retrouves deux valeurs opposées qui ont le même carré.
    mais une seule suffit pour trouver les racines finales qui font ( tu le sais) intervenir les deux signes opposés justement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    Okay je pense avoir compris et du coup c'est quoi la formule qui permet d'utiliser ces delta pour trouver la solution finale?

    Merci à vous.

  27. #24
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    La formule habituelle pour les équations du second degré…

    Science sans conscience n'est que ruine de l'âme.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  28. #25
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    ah ok!!!

    du coup on fait

    Z1=-b-z1/2a et Z2=-b-z2/2a c'est ça ?

    mais du coup on aura 4 solutions?

  29. #26
    God's Breath

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    mais du coup on aura 4 solutions?
    Ah bon ! Lesquelles ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  30. #27
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    okay je viens de comprendre lol

    c'est quand même long

    j'avais oublié que les premières solutions correpondaient au solution de z²=delta

    donc les solutions sont bien 5-12i et 2i pour la première nan ?

  31. #28
    ansset

    Re : Equations avec des complexes

    Citation Envoyé par Momo54500 Voir le message
    donc les solutions sont bien 5-12i et 2i pour la première nan ?
    presque, il y a une erreur de signe pour l'une des deux.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  32. #29
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    okay je vous remercie

    il y'avait également une autre équation avec laquelle j'ai du mal

    (z-1)^5 = (z+1)^5

    je sais pas trop par où commencer si quelqu'un peut me guider ce serait parfait !

    merci à vous

  33. #30
    Momo54500

    Re : Equations avec des complexes

    et pour la deuxième que j'avais calculé

    iz²+(4i-3)z +i-5=0
    delta = -3-41
    on obtient donc le système suivant :

    x²-y²=-3
    2xy=-4
    x²+y²=5

    on a alors deux solutions :

    z1=1-2i
    z2=-1+2i

    puis en solutions finales je trouve

    Z1=-1-i
    Z2=-3-2i

    C'est correct?

    Merci à vous.

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