Equations avec des complexes

[invite57a1e779]

Ce sont les effectivement les racines de l'équation.
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[gg0]

"C'est correct?" Ben ... vérifie !! Tu n'as pas besoin d'un avis extérieur pour vérifier une solution d'une équation simple.

(z-1)^5 = (z+1)^5
Une première idée est de développer, on obtient une équation de degré 4 facile à résoudre.
Une autre, plus compliquée ici, est de remarquer que si z est solution, z-1 est non nul, et de se ramener à une équation de la forme Z⁵=1.

Ce qui est surprenant, c'est que tu n'aies pas essayé de toi même de développer, pour voir. Tu es quand même un peu paresseux (*), non ? C'est en cherchant seul, en essayant, qu'on progresse, et qu'on apprécie et retient les trucs qui simplifient.

Cordialement.


(*) c'est tellement plus simple de demander aux autres !

[Momo54500]

Bonjour,

Nous n'avons pas encore étudié les équations à degré 4 et j'ai essayé de prendre
w=z+1
on a donc :

w^5 = (w-2)^5

mais après je suis un peu perdu

Et non je ne suis pas paresseux ^^ c'est juste que quand j'ai un problème et que je bloque et bah.... je bloque

merci à vous.

[Merlin95]

Pour la solution consistant à calculer les racines 5ième de l'unité :

[Momo54500]

Ah oui c vrai je ne l'avais pas vu comme ça

[Momo54500]

du coup voilà ce que j'ai fait :

on pose w = (z-1)/(z+1)

on a alors w^5=1

Puis w=e^(2ikpi/n)
donc (z-1)/(z+1)=e(2ikpi/n)
et donc (z+1)e(2ikpi/n)=(z-1)

et après j'ai un peu de mal

merci à vous.

[invite51d17075]

Puis w=e^(2ikpi/n)
.

ben, que vaut n ici ? et quels sont les k possibles ?

[invite57a1e779]

C'est une équation du premier degré en z : (z+1)a=z-1.

Il ne faut pas se laisser intimider par l'écriture un peu compliquée du coefficient a.

[Momo54500]

n vaut 5
et k de 0 à n-1

oui c'est vrai j'avais pas vu qu'on aurait pu faire ça aussi

[gg0]

Quelle complication ici de passer par les racines cinquièmes de l'unité ! D’ailleurs, il y en a une à éliminer, il n'y a que 4 racines.

Quand on bloque, on essaie des chose simples. Ici, développer, ou bien passer tout d'un même côté et factoriser sont des techniques tellement classiques de résolution d'équations, utilisées dès la classe de troisième ou seconde, qu'il est dommage de ne pas essayer ....

Cordialement.

[Merlin95]

C'est vrai, c'est peut-être encore plus simple (le plus lourd dans cette solution c'est le développement de (z+-1)^5), mais bon je trouve que les deux sont dans l'esprit.

[Merlin95]

Bonjour,

en passant par les racines cinquième, je trouve (sauf erreur)

avec k allant de 1 à 4.

Par contre, en passant par le développement de la puissance de 5, je trouve z solution de



Dont les solutions sont là encore sauf erreur






Donc des solutions imaginaires pures, ce qui ne semble pas être le cas, avec la première méthode.

Voyez vous donc une erreur ou peut-être que la première méthode après simplification donne des solutions imaginaire pures ?

Merci,

[Merlin95]

Pardon pour les solutions de l'équation de degrés 4 c'est plutôt :

[Merlin95]

Doublon...

[Momo54500]

Bonjour

okay je vous remercie

il y'a aussi des équations qui sont assez compliquées ce sont les équations mélangeant complexes et sin/cos

comme par exemple

cos²(x)z²-sin(2x)z+1=0

Donc jai remplacé
sin(2x) par 2sin(x)cos(x)

Et puis j'ai trouvé un delta de cos²(x)(4(sin²(x)-1))

mais après je suis un peu perdu..

Merci à vous.

[Momo54500]

Bonjour,

en passant par les racines cinquième, je trouve (sauf erreur)

avec k allant de 1 à 4.

Par contre, en passant par le développement de la puissance de 5, je trouve z solution de



Dont les solutions sont là encore sauf erreur






Donc des solutions imaginaires pures, ce qui ne semble pas être le cas, avec la première méthode.

Voyez vous donc une erreur ou peut-être que la première méthode après simplification donne des solutions imaginaire pures ?

Merci,

Personnellement la première solution semble plus adéquate.

[invite51d17075]

il est plus difficile de résoudre ce pb avec la première méthode.
la seconde amène certes une équation en z^4 mais qui revient à une équation en Z² que l'on résout facilement, et on en déduit les 4 z.

[gg0]

Merlin,

je te l'ai dit par MP : "poste tes calculs". Pas seulement tes résultats. Les premiers sont à simplifier (le dénominateur est un complexe, on peut multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur). Pour le deuxième, une fois vérifié, aucune raison qu'il soit faux.
Donc il ne reste qu'à finir de transformer le premier pour voir que c'est bien un imaginaire pur.

Bon travail !

[gg0]

Momo,

pour ton équation cos²(x)z²-sin(2x)z+1=0, il convient d'abord de traiter les cas où elle n'est pas du second degré. Donc quand cos(x)=0 ce qui fait 2 cas :
* Si x= .... alors cos(x)=0 et l'équation devient ...
* Sinon, l'équation est de degré 2, Delta est un carré parfait (*), le calcul se fait bien.

Cordialement.

(*) Rappel ; 1-sin²(x)=cos²(x) donc sin²(x)-1 = ...

[Merlin95]

Merlin,

je te l'ai dit par MP : "poste tes calculs". Pas seulement tes résultats. Les premiers sont à simplifier (le dénominateur est un complexe, on peut multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur). Pour le deuxième, une fois vérifié, aucune raison qu'il soit faux.
Donc il ne reste qu'à finir de transformer le premier pour voir que c'est bien un imaginaire pur.

Bon travail !

C'est cela, je trouve bien des imaginaires purs en multipliant par le conjugué du dénominateur.

les solutions sont plus précisément (sans le détail, et puis ca laissera à Momo54500 la possibilité de retomber sur le résultat par lui-même) :

[Merlin95]

On peut encore simplifier