La somme impossible

[SunnySky]

Bonjour,

Je viens tout juste d'apprendre que 1+2+3+4+5+6+.... jusqu'à l'infini... ça donne -1/12. Alors je me suis dit qu'il fallait absolument que je partage cette révélation!

Pour les sceptiques, s'il y en a, la démonstration est ici: https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Inutile de me remercier...
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[CM63]

Bonjour,

Pas mal, mais bon, évidemment, il fait deux choses qu'il n'a pas le droit de faire: regrouper les termes d'une somme et modifier l'ordre dans lequel on fait la somme.

Mais bon, c'est marrant, on devrait pouvoir "prouver" que cette somme est égale à n'importe quoi.

Ce que je ne comprends pas c'est qu'il dit que ce résultat est utilisé en physique.

Sinon, je m'attendais à une preuve par les nombres décadiques.

Bonne journée.

[NicoEnac]

Bonjour,

A partir du moment où vous manipulez quelque chose qui mathématiquement n'existe pas (et que vous dénaturez par là-même la signification du signe "="), vous pouvez aboutir à n'importe quel résultat.
Le fait d'écrire 1+2+3+... = S n'a aucun sens tant que la convergence n'a pas été prouvée. A partir de là, on peut faire toute sorte de manipulation.

Le fait de citer la physique quantique n'est là que pour convaincre les personnes suffisamment crédules pour qui le mot "quantique" renvoie forcément à quelque chose qu'ils ne comprennent pas. Idem pour la théorie des cordes.

Évidemment, je suppose que SunnySky n'y croit pas étant donné qu'il l'a posté dans la partie ludique du forum mais je me permets de réagir car un de mes proches m'avait déjà montré cette vidéo en pensant que la démonstration était valable.

il fait deux choses qu'il n'a pas le droit de faire: regrouper les termes d'une somme et modifier l'ordre dans lequel on fait la somme.

Ces opérations sont permises. C'est plutôt le fait de poser une égalité en supposant la convergence qui est à l'origine de la supercherie.
La méthode de poser des sous-suites ou des suites qui se téléscopent est une méthode utilisée dans le cadre de suites qui convergent.

[ansset]

je trouve ça très amusant ! même si les manips sautent aux yeux.
ce qu'il oublie de manière flagrante c'est la marge d'erreur dans les approximations successives ( 2*S2 en particulier )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

C'est assez rigolo ce genre d'égalités, et mathématiquement, c'est "presque" justifiable :

Pour , on note


peut se prolonger analytiquement sur , et alors on peut montrer que

Et ensuite, si on remplace s par -1 dans la série de départ, on trouve le résultat. C'est biensur cette dernière étape qui est illicite.

[Amanuensis]

peut se prolonger analytiquement sur , et alors on peut montrer que

Le prolongement n'est certainement pas unique.

Est-ce que le prolongement analytique est unique?

[ansset]

prolongement comme on veut.
ici par exemple : dans le calcul de S-S2, en fait
pour n pair.

[ansset]

inutile : Je rejoins NicoEnac sur les convergences.

[Tryss]

Est-ce que le prolongement analytique est unique?

Le prolongement analytique a un ouvert plus grand d'une fonction analytique définie sur un ouvert est toujours unique (par le théorème qui dit que si f est analytique et s'annule sur un ouvert, alors f est identiquement nulle, il suffi alors de prendre deux prolongements f et g, et alors f-g s'annule sur l'ouvert de départ, donc f = g sur l'ouvert plus grand)

[acx01b]

salut, pour :





donc <--- méthode de sommation des séries divergentes





donc







donc

par contre je ne retrouve pas le nom de cette méthode de sommation des séries divergentes, à mon avis elle a bien les propriétés de stabilité/unicité/linéarité

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...s_de_sommation

ça serait la méthode de sommation d'Abel

http://sciencetonnante.wordpress.com...s-divergentes/

[SunnySky]

@ NicoEnac:

Je te rassure, je n'ai jamais cru qu'une somme de nombres positifs puisse donner un résultat négatif. Cette vidéo m'apparaissait donc amusante par sa présentation sérieuse d'un résultat ridicule.

Par contre ce qui a immédiatement attiré mon attention, c'est le résultat de la première somme. Je n'ai pas le niveau mathématique de plusieurs intervenants ici mais j'ai été surpris (euphémisme...) qu'on puisse dire que 1-1+1-1+1-1+1-1+...... =1/2. Pour moi, c'est simplement non convergent. Ça peut donner 1 ou 0 mais ça ne peut pas donner 1/2.

@ acx01b:

Je ne connaissais pas la méthode de sommation des séries divergentes. C'est vraiment accepté par les mathématiciens? Je m'incline. Un gros gros merci pour le deuxième lien de ton dernier message: excellent!

[Médiat]

Bonjour,

pour :





donc

pour :



Jusque là je suis d'accord.

pas de problème ; mais le "donc", ci-dessus, qui mélange les deux lignes, est largement abusif, et la commutativité des limites est admises sans aucune justification ce qui est bien la source de ce genre de "résultats".

Que ce genre de résultats soient utiles et même justifiables, pourquoi pas, mais il faut avoir conscience qu'il y a un glissement des sens de l'addition et /ou du signe égal pour en arriver là (je reconnais que côté marketing, c'est très fort).

PS : mes critiques ne s'adressent pas à acx01b, bien évidemment.

[stefjm]

Quelques liens explicatifs.

http://sciencetonnante.wordpress.com...7/1234567-112/
http://forums.futura-sciences.com/ma...-negative.html
http://www.brouty.fr/Maths/zeta.html

[ansset]

ce mode de calcul purement formel est intéressant ( je le découvre )
mais je me demande en quoi il peut être utile en physique.
car au premier abord, il n'a aucune utilité de modélisation .

le théorie des cordes a été citée, mais je saisi mal.
merci

[stefjm]

Je n'ai pas trié mais il y a l'embarra du choix...
https://www.google.fr/search?q=zeta+renormalisation

[ansset]

merci,
je vais essayer de lire ça.
ça ne semble pas du tout trivial !

[SunnySky]

Eh bien zut... moi qui croyais avoir trouvé quelque chose de drôle, j'ai plutôt trouvé quelque chose d'extrêmement sérieux.

Je vais donc profiter de mon millième message sur Futura-Sciences pour remercier toute la communauté d'esprits scientifiques de haut niveau qui nous permettent d'évoluer. Toutes ces contributions bénévoles sont de grande valeur.

Merci donc à tous ceux qui ont contribué à ce fil... mais aussi à tous les autres qui contribuent sur les autres fils!

[stefjm]

Que ce genre de résultats soient utiles et même justifiables, pourquoi pas, mais il faut avoir conscience qu'il y a un glissement des sens de l'addition et /ou du signe égal pour en arriver là (je reconnais que côté marketing, c'est très fort).

Bonjour Média,
C'est un glissement plus fort que celui fait pour la convergence d'une série de rationnelle de Cauchy vers un réel?
Cordialement.

[Tryss]

Bonjour Média,
C'est un glissement plus fort que celui fait pour la convergence d'une série de rationnelle de Cauchy vers un réel?
Cordialement.

Oui, c'est beaucoup moins "trivial", ne serrait-ce que parce que l'on a



Dit autrement, dans ce cas, l'objet n'a absolument aucun rapport avec l'objet

[Médiat]

Bonjour stefjm

C'est un glissement plus fort que celui fait pour la convergence d'une série de rationnelle de Cauchy vers un réel?

Enormément plus fort, la convergence des séries de Cauchy est un moyen de définir de nouveaux nombres (on a donc le droit de "tout faire" avec ses nouveaux nombres), et en plus les propriétés de ces nouveaux nombres sont tout à fait cohérentes avec les nombres existants, or ici 1/2 n'est pas un nouveau nombre, et on peut faire des calculs incohérents du genre :

, or et donc or et donc

[edit]grillé par Tryss

[acx01b]

, or et donc or et donc

est-ce qu'on peut faire rentrer ça dans les méthodes de sommation et leurs propriétés (régularité,linéarité,stabilit é) ?

tu utilises quoi comme méthode de sommation ?
qu'est-ce qui donne des résultats incohérents ? c'est le manque de régularité, de linéarité, ou de stabilité ?

[Médiat]

Tout ce que je veux dire c'est qu'écrire est au mieux un mensonge car soit l'addition, soit le signe =, soit ne sont pas les symboles usuels (sinon il n'y a aucune raison de ne pas faire les opérations usuelles avec et on arrive rapidement à des incohérences, comme celle que j'ai citée), je n'ai fait qu'utiliser les propriétés imaginaires qui sont utilisées pour affirmer que (voir aussi la remarque de Tryss).

[stefjm]

Merci pour les informations, il va falloir que je réfléchisse à tout cela et lire ceci :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_alternée_des_entiers

[ansset]

Dit autrement, dans ce cas, l'objet n'a absolument aucun rapport avec l'objet

oui, c'est l'énorme différence de formalisme.
( il me semble que dans beaucoup de cas, il n'y ni régularité ni stabilité, je peut me tromper)
donc pour moi on ne calcule pas de somme au sens arithmétique
on fait autre chose.

un exemple si on prend la somme de grandi:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
on peut la traiter comme une série télescopique mais de deux manières différentes
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. ou
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

l'autre point quand on la considère globalement est d'écrire
S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, donc 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = S,
ayant pour résultat S = 1/2.
On postule l'existence de S pour calculer S
de fait pouvoir mettre les parenthèses ou on veut et de faire de l'arithmétique sur elles, on peut arriver à deux conclusions :
-la série 1 − 1 + 1 − 1 + … n'a pas de somme
-sa somme devrait être égale à 1/2. ( si on postule l'existence de S )

plus largement , ( mais je n'ai tj pas saisi la portée de ce formalisme en physique( pas encore lu le lien ))
on applique des manipulations à la somme "comme si" elle était convergente.
et on en déduit une valeur mais qui n'est pas la limite de la somme.
comme le reprécise Tryss.
je la vois donc comme une valeur hypothétique/virtuelle que l'on obtiendrait en cas de convergence.

Ainsi, l'intérêt purement mathématique me semble avoir une portée accessoire, alors que dans le champ de la physique, cela permettrait de s'affranchir de contraintes, ou de déplacer une problématique....

[Celestion]

Cela a déjà été discuté ici.

[stefjm]

Bonjour,

Il me semble que le passage à l'infini parait moins naturel dans le cas où il apparait une incohérence de signe sur R. (Le problème ne se posant pas sur C)

A part cela, une somme infinie de rationnel qui ne converge pas vers un rationnel, ne me choque pas plus qu'une somme infinie d'entier qui ne converge pas vers un entier.

Mais il est vrai que je n'ai jamais rien compris aux réels, que j'utilise pourtant tout le temps...

[Tryss]

A part cela, une somme infinie de rationnel qui ne converge pas vers un rationnel, ne me choque pas plus qu'une somme infinie d'entier qui ne converge pas vers un entier.

Moi beaucoup plus, parce que dans le sur ensemble qui contient et les rationnels et leurs limites, les rationnels sont de plus en plus près de leur limite, ce qui n'est pas le cas ici avec ces entiers

[kalish]

Apparemment, c'est le fait d'avoir plusieurs démonstrations différentes qui donnent le même résultat et aussi de trouver des résultats physiques en accord avec les calculs qui légitiment ce résultat.
Je dirai que le truc, c'est que lorsque nous voyons nous faisons d'abord (inconsciemment) puis alors que l'écriture impliquerait plutôt de passer d'abord par l'infini, et ensuite de sommer, et c'est peut-être là où on a du mal à comprendre le sens de la somme.
Concernant la physique, il se trouve que ça apparait quand on a des divergences, les divergences ne sont ni bien définies mathématiquement, ni physiquement. Dans le cas de l'effet casimir, je me demande si il ne s'agit pas d'une coincidence entre les calculs qu'on peut faire avec les forces de van der Waals retardées et le type de divergences qu'on rencontre en électrodynamique quantique.

[Médiat]

Bonjour,

Pour résumer plusieurs interventions dont la mienne :
Soit une application dans un ensemble dans lequel une addition est définie, donc l'addition d'un nombre fini d'élément de est aussi définie, ce qui n'est pas le cas d'une somme infinie, plus simplement :
a un sens ; n'a pas de sens a priori.

Dans le cas où existe dans , alors il paraît raisonnable (si les opérations sur cet objet sont compatibles avec les opérations sur ) de poser : (on peut même étendre cette définition à quand cela a un sens).

Si malgré tout (quand la limite des sommes partielles ne convergent pas) on veut associer une opération spéciale sur les séries formelles, pourquoi pas, mais dans ce cas il faut la définir formellement.

Pour reprendre l'exemple de stefjm sur les suites de Cauchy, il est clair (pour moi) que la notation n'a pas de sens dans et que l'on ne peut utiliser cet objet comme si c'était un rationnel comme un autre (et pour cause) ; par contre les suites de Cauchy ayant certaines "bonnes" propriétés, il est possible de les utiliser pour définir formellement une nouvelle classe de nombres () dans laquelle l'écriture a un sens (elle est, d'ailleurs, construite dans ce but).

Je ne vois aucun inconvénient à ce que l'on définisse des opérations sur , et que l'une de ces opérations que je note (*) ait pour résultat (et autres résultats du même genre), mais évidemment cela demande des définitions formelles et cohérentes, et cela perd tout sensationnalisme.

(*)

[ansset]

Ces opérations sont permises. C'est plutôt le fait de poser une égalité en supposant la convergence qui est à l'origine de la supercherie.
La méthode de poser des sous-suites ou des suites qui se téléscopent est une méthode utilisée dans le cadre de suites qui convergent.

En fait il y en a une autre énorme à mon gout dans le calcul de la somme des entiers.
Qui est de faire passer 4S(n/2) pour 4S(n)
Sous prétexte qu’on prolonge à l’infini.
Si on suit bien la démo du début en regardant précisément les termes pris en compte à chaque ligne, on retrouve exactement S(n)=n(n+1)/2.
Donc si il ne s’agit que d’un jeu de boneto sur des pseudo suites non homogènes entre elle, et d’une supposition de convergence pour pouvoir en faire le calcul. C’est bêtement attrape nigaud.

Est-ce plus puissant, je me suis posé la question ?

Ce que je ne sais pas c’est si une manipulation de l’objet « suite à l’infini » , sans considération de limite à un sens en arithmétique, sachant que l’inf n’est pas inclus dans R.
Ou alors, on est dans une arithmétique que j’ignore et qui travaillerait sur une sorte de |R fermé.
Ou les règles serait différentes.
A la lumière de cette démo, elles semblent obscures.