vous connaissez surement l histoire de la fleche qui a parcouru la moitié de son chemin...il lui reste encore la moitié a parcourir, puis la moitié de la moitié et ainsi de suite jusqu a l infiniment petit..
...mais elle n arrive jamais
qu'en pensez vous?
que se passe til qd la fleche se rapproche?
se produit il une distorsion de temps ?
Non elle n'atteint jamais son but à moins de fixer sur R*+ un plus petit élément a qui n'est pas divisible. Mais là c'est plus compliqué.
Pardon ?
Euh... je pense que l'expérience n'est pas très compliquée à faire.
Si la distance qui reste à parcourir ne fait que tendre vers zéro sans jamais l'atteindre, le temps tend vers l'instant de l'impact, sans jamais l'atteindre.
Quand je parle de ne jamais atteindre ces limites, c'est uniquement en ce qui concerne les termes de la suite et cette suite ne permet pas de voir ce qui se passe à partir de l'instant de l'impact.
...ça ne risque pas d'empêcher le temps de s'écouler, l'instant de l'impact arriver, et la flèche de se planter dans l'arbre.
Ceci montre bien que le "t" dans les équations de la Physique est un artifice théorique pour nombrer le mouvement. Mais si on s'en tient à cette définition du temps alors ni le lièvre ni la tortue ne peuvent avancer (puisque Q est dense dans R) !
Si l'on divise le trajet à parcourir en n parties, nous pouvons dire (en supposant que notre flèche va toujours à vitesse constante v) que notre flèche prend un même temps t pour parcourir chaque partie. Ainsi elle atteindra le but en T=n.t .
Si nous imaginons que n devient très grand, notre flèche atteindra toujours le but en T=n.t . Or, étant donné que notre flèche atteint bel et bien le but après être passée par l'infinité de points cités plus haut, c'est qu'alors ces points doivent être considérés comme des infiniments petits. Ainsi il vient toujours T=n.t où n->oo et t->O
C'est Leibniz et l'Analyse Infinitésimale qui a réglé ce problème.
En tout cas c'est ainsi que je vois la chose
Amicalement
Rudy
les séries géométriques répondent simplement à votre problème : on est face à une somme infinie qui a une valeur finie, aussi bien pour la distance que parcoure la fleche que pour le temps qu'elle met.
dans la même veine, on peut penser à la balle qui rebondit et remonte a la moitie de sa hauteur de chute avant de recommencer et ainsi de suite ...
d'accord la balle fait une infinité de rebonds mais cela ne veut absolument pas dire qu'elle rebondit pendant un temps infini.
encore une fois ceci est dû à ce que la somme des puissances consécutives de 1/2 est finie et vaut d'ailleurs 2.
comme quoi les math ont parfois du bon ...
Tu as tout à fait raison Robert et ton exemple de la balle qui rebondit est plus pertinent encore que celui de la flèche. Quand à moi, j'ai fait dire à Zénon ce qu'il n'a pas dit. En fait, la flèche atteint son but parce que le temps qu'elle prend est comme une progression géométrique dont la raison est 1/2. Cela préparait d'ailleurs les travaux d'Eudoxe et sa méthode d'exhaustion.
A+
L'histoire que tu raconte ne parle pas de l'arrivé de la fléche, mais ça ne signifie pas qu'elle n'arrive jamais... simplement l'histoire s'arrête avant... point de si gros mystèreEnvoyé par Heimdall-asgard
vous connaissez surement l histoire de la fleche qui a parcouru la moitié de son chemin...il lui reste encore la moitié a parcourir, puis la moitié de la moitié et ainsi de suite jusqu a l infiniment petit..
...mais elle n arrive jamais
qu'en pensez vous?
que se passe til qd la fleche se rapproche?
se produit il une distorsion de temps ?
D'un point de vue strictement logique, le problème se résout. Mais d'un point de vue métaphysqiue non !
Pour qu'il y ait un courant, il faut une différence de potentiel. Pour que l'eau s'écoule, il faut une certaine pente. Donc "le temps" est nécessairement discontinu dans la réalité des choses ... D'ailleurs seul existe objectivement l'instant présent, puisque le passé n'est plus et le futur n'est pas encore !
pas tout à fait d'accord pour une discontinuité.. il peut trés bien être continue alors que l'espace temps serait fractale... imaginez par exemple une nappe froissé dont chaque surface serait finement froissée.. le temps serait alors le théatre d'une infinité de brisure reconnaissable, et pourtant toujours continue...
ou bien la surface d'un arbre au branche infinie..
discontinuité implique succession d'instant non lié.. hors il y a toujours un lien entre chaque instant : il y a toujours des instants entre.. qui explique la transition ... donc pour moi : temps continue.. mais infiniment complexe c'est à dire que la forme de l'histoire est infiniment complexe.. pas de trajectoire, mais une succession de grand bon, séparé par des petits bons, séparé eux même par de petits bon...
Le tout est à la fois continue (puisque entre chaque grand bon, il y a une infinité de petit bon) mais discontinue (puisqu'il n'y a pas de mouvement inexpliqué par une relation directe avec le reste de l'univers)..
Un peu comme l'effet d'un gaz sur un petit solide dans le mouvement browsien... ou comme l'ensemble IQ dans IR...
bon d'accord au sens mathématique, c'est discontinue...
mais ça n'est pas une succession (même si c'est à priori ordonné à chaque échelle) : aprés chaque instant, il n'y a pas de suivant formélement identifiable...
Pour moi, le problème ce répond à lui même si je puis dire.vous connaissez surement l histoire de la fleche qui a parcouru la moitié de son chemin...il lui reste encore la moitié a parcourir, puis la moitié de la moitié et ainsi de suite jusqu a l infiniment petit..
...mais elle n arrive jamais
qu'en pensez vous?
que se passe til qd la fleche se rapproche?
se produit il une distorsion de temps ?
Je m'explique.
(...) Il lui reste encore la moitié a parcourir, puis la moitié de la moitié et ainsi de suite : En effet, on fragmente donc une distance en une infinité de sous ensemble (des moitiés) et ceux sans fin. C'est là, à ce moment que l'on introduit la notion d'infinie et que du coup la flèche ne peux vraiment atteindre sa cible. En effet comme l'a très bien fait remarqué jdh si on est d'accord pour introduire un plus petit élément non divisible (la distance de Planck de la physique par exemple), l'infinie n'existe plus.
Ensuite le fait de diviser cette distance en N sous partie, N pouvant tendre vers un nombre astronomique, ne représente en faite que la précision, la finesse de l'unité choisie.
Bonjour,
si je peux me permettre, il semblerait que notre système metrique, soit incapable d'étaloner un continuum.
Même si nous prenons une progression géomètrique, quelque soit sa raison, subsite toujour un espace d'un valeur à l'autre
amicalement
Supposons qu'on tire la flèche en x=0, et que la cible se trouve en x=1. La flèche parcourt donc le segment [0,1] en partant de 0. Supposons que sa vitesse v est constante.
Alors, la distance totale à parcourir en considérant qu'il faut toujours parcourir la moitié de la distance qui reste est :
On sait que cette série converge vers 1 qui est la longueur du segment [0,1], mais on ne va pas en tenir compte pour uniquement étudier comment avance la flèche à vitesse constante sur des distances toujours plus petites. Le temps t mis pour parcourir une distance x vaut t=x/v, on a donc que le temps total requis est :
La série du membre de droite converge vers 2, et le temps total mis pour parcourir successivement les moitiés des distances restantes vaut :
La flèche ne mettra donc pas un temps infini pour toucher sa cible.
Conclusion : la flèche a beau devoir parcourir toujours la moitié de ce qui reste, elle parcourera chaque moitié en 2x moins de temps que la moitié précédente. Plus les moitiés deviennent petites, plus vite la flèche les parcourera, ce qui compense. Au final, la flèche touche évidemment sa cible.
Très intéréssant, mais par vos équations il me semble que la fléche, arrivée à la plus "petite distance" qui lui reste à parcourir fasse un "bon" pour atteindre sa cible ignorant d'autre subdivision de l'espace restant à parcourir, même si vous faites intervenir le facteur "temps". Ou alors quelque chose m'échappe.
Ben ça, personne sur Terre ne saura répondre. Le temps de Planck n'est pas tout à fait la plus petite distance qui existe, c'est plutôt la plus petite distance utilisable dans les théories actuelles. De plus, il ne faut pas commencer à injecter de la physique quantique dans n'importe quel phénomène en le décomposant à l'échelle microscopique. Les phénomènes macroscopiques sont parfaitement maîtrisés et étudiés avec les théories macroscopiques, utiliser de la physique quantique pour étudier une flèche qui bouge, c'est une perte de temps et d'énergie.
Tout à fait d'accord.
Zenon dans ces paradoxes, voulait simplement mettre en évidence que le mouvement et le temps sont des notions que nous apprehendon qu'en prenant des points des repairs, et que notre esprit était dans l'incapacité de mesurer l'écoulement, le continuum.
D'ailleurs certaines de nos technologies (film) en sont la preuvent. Ce ne sont que des successions d'images (25 im/sec) qui défilent devant nos yeux creant l'illusion du mouvement. Mais entre chaques imges, il n'y a rien.
Amicalament à ++
non mais arrêtez avec cette histoire, il y a même pas de paradoxe..
on dirait que les gens prennent pas la peine de lire...
L'histoire ne parle pas du moment ou la fléche arrive par construction, elle ne parle pas dutout de ce moment.. peut importe qu'elle dure infiment l'histoire de zenon, elle se déroule pas en même temps que la fléche atteint sa cible.. c'est une histoire ..
La fléche atteint sa cible quand Zénon arrête de raconter des conneries.. "il lui reste encore la moitié du chemin .. etc.. etc .. "
L'histoire peut bien durée l'éternité et parler de la même chose, ça veut pas dire que la fléche met un temps infinie... mais que Zénon prend à malin plaisir à décrire infiniment une chose finit.. oui il y a une inifinité de point entre 0 et 1, il y a 0,1 0,01, 0,03, 0,04 .. on pourrait en éécrire des kilomètres.. et ce que ça implique qu'un métre ai une longueur infinie ?
Dire "aujourd'hui je suis allé à Paris, puis à Strasbourg, puis à Lille.. puis sur Mars, puis sur chacune des milliars d'étoile, puis un peu plus à gauche, " ne signifie pas que je ne soit jamais allé à Marseille..
Sinon Zénon voulait juste faire le malin ! ça ne sert exclusivement qu'à ça la philosophie.
Haha, mouais.
Tout ceci me fait penser à une variante de Zenon, que voici :
Je peux très bien m’imaginer un mobile partant du 0 d’une demi-droite graduée et atteignant 1, dans un mouvement accéléré, au bout d’une seconde ; puis 2 au bout d’ 1+1/2 sec (donc il aura parcouru la distance 1-2 en ½ sec.); puis 3 au bout d’ 1+1/2+1/4 ; puis 4 … 1+1/2+1/4+1/8 etc. Je peux me l’imaginer, car je peux m’imaginer qu’un mobile puisse accélérer de façon à parcourir une mesure en deux fois moins de temps que la mesure de même longueur qu’il vient de parcourir. Or, puisque le temps coule irrémédiablement, dans notre cas le mobile aura atteint l’infini au bout de deux secondes. Dans la même veine, nous pourrons nous demander ce qu’il advient de notre mobile après deux secondes (mais peut être est-il plus raisonnable de penser qu’au bout de 2 sec il se trouvera à nouveau en 0 et donc qu’il se retrouvera en 1 au temps t = 3 sec. … .)
Où est la faille du raisonnement ? Du fait qu'il est inimaginable qu’un mobile puisse accélérer de façon à parcourir une mesure en deux fois moins de temps que la mesure de même longueur qu’il vient de parcourir ?
Rudy
Moi je persiste à penser qu'on ne peut pas résoudre un problème métaphysique comme on résoudrait un problème de mathématiques. Il y a là deux ordres de rationalité distincts, qu'il convient de ne pas confondre.
Prenons l'analogie de la locomotive qui tire des milliards de wagons. La science décrit le mouvement d'un wagon par celui du wagon antécédent (causalité temporelle) etc., mais l'existence actuelle (causalité ontologique) d'un seul de ces milliards de wagons celle-là : qui la racontera ?
D'où ma signature,
Tout à fait. Non seulement l'accélération nécessaire demande une énergie de plus en plus grande, et qui tendra donc rapidement vers l'infini même si l'on s'en tient à Gallilée, mais en plus on arrive très vite à des vitesses relativistes...
ami lecteur bonjour,
mathematiquement, les nombres n'ont aucune raison de s'arreter, alors, le chemin de la fleche ne s'arretera jamais et elle n'atteindra pas son but.
Materiellement, nos observations d'espace dans l'infiniment petit tendent à parvenir à la dimension ( mesurée ?) des particules les plus petites qui existent. Mais peut etre y a t il plus petit encore: pourquoi pas. Cependant, materiellement, elle atteindra son but. Mais nous aboutirons à une telle petitesse de dimension que je doute de trouver une fleche de cette taille là !.
Merci
SEAFIRST 19/01/05
Les nombres ne s'arrêtent pas, c'est vrai, mais c'est ptêt aussi parce qu'ils ne bougent pas ... mathématiquement ou matériellement, la flèche mathématique (et physique) va s'arrêter qd-même
Bonjour.ami lecteur bonjour,
mathematiquement, les nombres n'ont aucune raison de s'arreter, alors, le chemin de la fleche ne s'arretera jamais et elle n'atteindra pas son but.
Materiellement, nos observations d'espace dans l'infiniment petit tendent à parvenir à la dimension ( mesurée ?) des particules les plus petites qui existent. Mais peut etre y a t il plus petit encore: pourquoi pas. Cependant, materiellement, elle atteindra son but. Mais nous aboutirons à une telle petitesse de dimension que je doute de trouver une fleche de cette taille là !.
Merci
SEAFIRST 19/01/05
Nous essayons de faire correspondre un sytème métrique, figé statique, purement conceptuel à une réalité quadridimentionnelle "continuum" qui en lui même n'a aucun point de repair.
Yat, à ma question: " Où est la faille du raisonnement ? Du fait qu'il est inimaginable qu’un mobile puisse accélérer de façon à parcourir une mesure en deux fois moins de temps que la mesure de même longueur qu’il vient de parcourir ?"
Tu me réponds: "Tout à fait. Non seulement l'accélération nécessaire demande une énergie de plus en plus grande, et qui tendra donc rapidement vers l'infini même si l'on s'en tient à Gallilée, mais en plus on arrive très vite à des vitesses relativistes..."
Je suis d'accord pour l'énergie, à la limite tu pourrais même me dire que l'énergie disponible est limitée et que donc aucun véhicule ne pourra etc.
Mais posons alors le problème autrement, mettons que par la pensée nous imaginions qu'un point se déplace sur une demi droite graduée. Alors ma proposition reste acceptable: je peux m'imaginer que dans un mouvement accéléré notre point puisse parcourir une distance donnée en un temps t, puis la même distance en t/2.
Non ? (il n'est plus question ici d'énergie ou de masse, mais juste de notre imagination ou encore de notre entendement)
Or nous arrivons alors à une absurdité. En effet, notre entendement nous dit que le temps s'écoule inexorablement et qu'ainsi non seulement notre point aura parcouru un espace infini en deux secondes, mais en plus, on ne voit pas très bien ce qu'il en advient après ces deux secondes.
Quel leçon pouvons-nous tirer de ceci ?
Que notre entendement peut nous égarer ?
Que le point est une notion toute mathématique a manipuler avec précaution (voir le continuum de ClaudeH) ?
J'aimerais que vous cogitiez encore la-dessus
Merci
Rudy
Ok, si on ne considère plus un objet matériel soumis aux lois physiques, le raisonnement est autre. Tu définis le déplacement (donc sa position, son abscisse) d'un point sur une demi-droite en fonction du temps. La position du point tend tout naturellement vers l'infini quand le temps tend vers deux secondes. Virtuellement, notre point aura effectivement parcouru une distance infinie en deux secondes, mais ce n'est qu'une variable réelle qu'on fait varier en fonction d'un parametre. Le comportement de la fonction 1/(2-x) dans l'interalle[0;2[ ne m'émeut pas plus, et c'est globalement la même chose.
Pour le comportement du point après les deux secondes, la réponse est pour moi tout aussi simple : dans ta définition de ce mouvement, tu décris ce qui se passe avant cette échéance. Pas ce qui se passe après. En effet, tu fais tendre t vers 2 sans jamais l'atteindre, donc tu ne t'intéresse qu'à ce qui se passe entre les instants 0 et 2. C'est comme si je disais "une voiture bleue de masse m=1000Kg, de longueur l=4m se dirige vers un croisement. Quelle direction va-t-elle prendre au croisement ?"
La faille de ton raisonnement est que d'abord il faut de l'énergie pour accélerer ton mobile, parce qu'un mobile, bien que tu puisse l'imaginer, dans la réalité, ça n'accèlère jamais tout seul... ton imagination est fausse, c'est pas plus compliqué que ça..
tout comme je peux imaginer un tigre à tête de girafe, sans pour autant que cela soit, en l'état actuelle des choses, possible... (parce que dans les deux cas, il y a probablement des possibilités que l'on ignore)..
Ensuite quand vient même, il resterait la realtivité restreinte qui restreint invariablement la vitesse du mobile à c..
imaginons alors qu'on est les moyens de construire ce mobile...
C'est éventuellement possible et là point de probléme en faite..
Déjà un objet qui dépasse c perd tout contact avec notre réalité, toute communication... il disparait littérallement.. alors sa position... En théorie, les photons qu'il émet vers nous vont dans l'autre sens.. (puisqu'il le suivent)
donc son image apparait de l'autre coté de l'univers... c'est tout con en faite.. l'univers est fermé topoliquement : si tu dépasse c, paf ton double apparait de l'autre coté, mais en sens inverse dans le temps..
drole d'affaire.. ça mérite un calcul..
