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Chute libre de la Lune vers la Terre



  1. #31
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre


    ------

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    Et on arrive au centre de la Terre avec une vitesse nulle ?
    Ben non la vitesse est nulle a l'apoastre mais maximale au periastre.

    Le modele est idealisé car tu te seras ecrasé sur la Terre avant, la chute est calculée pour une masse donnée (equivalent trou noir) l'altitude a laquelle tu t'ecrases (rayon de l'objet) est une donnée qui n'entre pas dans le caclul de base.

    Est si tu faisais un trou dans la Terre pour arriver au centre la formule cesserait d'etre valable au passage de la surface

    -----
    Dernière modification par Mailou75 ; 28/06/2017 à 20h58.
    Trollus vulgaris

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  3. #32
    jacknicklaus

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Ce qui veux dire que la durée de chute radiale depuis une orbite circulaire de période T vaut T/(2.racine(2)) (et pas T/4)
    Je mets les points sur les i afin que Phys4 et Amanuensis nous rejoingent dans le trou, on va se tenir chaud !
    Bon, au moins ce fil aura permis d'établir et certainement de bien retenir cette intéressante relation...
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #33
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    Pour clarifier le sujet parce que je comprends maintenant le quiproquo. L'histoire du T/4 vient du fait que vous avez considéré une trajectoire circulaire "applatie" pour former une ligne traversant la Terre ayant la meme periode que l'orbite circulaire. D'où l'histoire du balancier... la particule test traverse le centre et remonte de l'autre coté, etc, la durée de chute jusqu'au centre est alors 1/4 du trajet total pour revenir au point de depart.

    De mon coté j'ai pris la formule de chute d'une ellipse degenerée comme representé ici ( http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4426595 ) en bleu. C'est en fait une ligne radiale, la forme d'ellipse c'est pour comprendre.
    Le dessin de gauche montre que si on envoie un caillou a 8743m/s a l'horizontale ou a la verticale depuis la surface de la Terre il atteindra Rmax dans les deux cas, pas tout a fait de la meme façon...

    Mais vous me mettez le doute ! quand la particule en chute arrive au "centre" de l'objet theorique, repart elle d'où elle est venue ou continue t elle pour faire le pendule ? Le calcul donné par le lien en debut de fil, jugé sérieux par Phys4, lui meme serieux... donne le resultat de la formule que j'applique pour l'ellipse degenerée bleue (4,85j) , ellipse "plate" dont une des extremité est le foyer (vitesse max au perigee). La formule T/4 (6,86j) est plutot un cercle "plat" dont le centre est au centre du segment (vitesse max au centre).

    A priori, la logique me pousserait a choisir le pendule mais certains systemes de coordonnees (Lemaitre pour ne pas le citer) sont issus de formules exterieures (non d'un simple changement de coordonnees d'une chute qui pourrait etre fausse) et coroborent la version "ellipse plate". De plus il existe, a ma connaissance, au moins trois "formules" de chute qui donnent le meme résultat.

    J'aimerais tout de meme comprendre pourquoi on considere que la particule test va faire demi tour en un point virtuel plutot que continuer sa route et faire le pendule !?

    Merci

    Mailou
    Trollus vulgaris

  5. #34
    phys4

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    J'aimerais tout de meme comprendre pourquoi on considere que la particule test va faire demi tour en un point virtuel plutot que continuer sa route et faire le pendule !?
    Le problème provient de la confusion entre un champ de force en R et un champ de force en 1/R2
    Les deux cas admettent comme solution une ellipse, centrée dans le premier cas, avec le point central sur un foyer dans le second.
    Dans le deux cas , la particule test fait donc le pendule, sur la moitié seulement du segment dans le second cas.

    C'était une bonne révision.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  6. #35
    Amanuensis

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    J'en arrivais là aussi. Du coup l'idée en T/4 en prenant 2d comme grand axe est fausse.

    L'idée que ce que soit T'/2, en prenant la limite l'ellipse avec les foyers tendant vers les extrémités (i.e., grand axe de d) est à vérifier, par exemple ne résolvant l'intégrale. (Cela donne alors T/4rac(2) de la période de l'orbite circulaire, ce qu'indique Resartus message #27-- auquel je présente mes excuses.)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  7. #36
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Cela donne alors T/4rac(2) de la période de l'orbite circulaire
    Ah ben oui, j'avais oublié de rediviser par 2 ^^ cette fois c'est la bonne !
    Trollus vulgaris

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  9. #37
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par phys4 Voir le message
    Le problème provient de la confusion entre un champ de force en R et un champ de force en 1/R2
    Les deux cas admettent comme solution une ellipse, centrée dans le premier cas (...)
    Concretement, le "balancier lineaire" est il la solution de qq chose de physique ?

    Merci
    Trollus vulgaris

  10. #38
    Amanuensis

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Concretement, le "balancier lineaire" est il la solution de qq chose de physique ?
    Oui, le champ de force en R est le cas d'un tunnel radial dans une sphère de masse volumique constante, une approximation pour la Terre. Le T/4 est alors le temps de chute de la surface au centre.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  11. #39
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Cela donne alors T/4rac(2) de la période de l'orbite circulaire
    La formule doit même être généralisable en T'=T*N3/2 avec N un multiple de l'orbite de départ, ici 1/2


    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Oui, le champ de force en R est le cas d'un tunnel radial dans une sphère de masse volumique constante, une approximation pour la Terre. Le T/4 est alors le temps de chute de la surface au centre.
    ¨
    Pas d'accord, dès qu'on franchit la surface de la sphère, la formule devient fausse car la courbure change en ce point. La formule est valable de l'infini à Rs, et même supposément 0 (singularité). Mais dès qu'il y a une surface, ou même un tunnel creusé dans la boule, ou une boule de faible densité qu'on puisse traverser, la formule change. Enfin c'est ce que j'ai compris, puisqu'il n'y a plus de gravité au centre d'une boule homogène, donc l'effet de balancier et vite "amorti" et on finit statique au centre.

    Merci
    Trollus vulgaris

  12. #40
    Amanuensis

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Pas d'accord
    Faudrait lire un peu mieux...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #41
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Faudrait lire un peu mieux...
    Petit éclaircissement stp ?
    Trollus vulgaris

  14. #42
    Amanuensis

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    le temps de chute de la surface au centre.
    . . .
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  16. #43
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le T/4 est alors le temps de chute de la surface au centre.
    Ok dsl, mal lu... et le balancier est un mouvement perpétuel ou est ce qu'on finit par stagner au centre ?
    Dans le second cas la formule doit être plus complexe...

    Merci
    Trollus vulgaris

  17. #44
    Amanuensis

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Sans frottement, conservation de l'énergie, c 'est perpétuel. Idéalisation, évidemment.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  18. #45
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Ok merci.

    Y'a une petite formule (classique) qui va bien genre t(r) pour la chute a l'interieur de la boule stp ? ca m'interesse

    Pour le cas trou noir penses tu qu'on suive la courbe de chute "exterieure" jusqu'à la singularité parce qu'on estime que toute la masse est concentree au centre ?

    Merci
    Dernière modification par Mailou75 ; 01/07/2017 à 19h29.
    Trollus vulgaris

  19. #46
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    En fait y'a 2 formules qui seraient intéressantes a etudier :

    - La premiere est la trajectoire du balancier t(r) qui a une vitesse maxi au centre et nulle à la surface qui nous donnerait au total T/4

    - La seconde est une trajectoire t'(r) telle que la vitesse au centre est calculée pour que, arrivé au bord de l'objet de densité homogene, on soit a Vlib pour rejoindre une courbe "exterieure" type ellipse degeneree (ca demandera donc d'utiliser les deux parametre de l'objet : rayon R et masse M)

    La seconde m'interesse meme plus que la premiere, quelqu'un aurait ça dans ses notes svp ?

    Merci

    Mailou
    Trollus vulgaris

  20. #47
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    J'ai dégotté ça de mes archives... vitesse de libération DANS un objet de masse M supposé homogène



    R rayon de l'objet et r la variable,

    Appliqué à la Terre on trouve 13,7km/s au centre et 11,2km/s au bord, ce qui se raccorde nickel à la courbe Vlib extérieure.

    L'ennui c'est que c'est une courbe de vitesse v(r) pas une trajectoire t(r), snif. J'ai bien essayé les intégrations automatiques en ligne mais je vous passe les résultats... qu'un saurait faire la suite svp, c'est du classique ? Je voudrais bien le t(r)

    Merci d'avance

    Mailou
    Trollus vulgaris

  21. #48
    Calvert

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    sauf erreur de ma part, on a:



    avec ,



    RT et MT les rayon et masse de la Terre respectivement, valable pour r <= RT.

    Les conditions initiales sont une vitesse égale à la vitesse de libération à la surface pour t=0 (donc, on a un tunnel à travers la Terre, on lance un objet en direction du centre de la Terre avec une vitesse égale à la vitesse de libération, et il ressort de l'autre côté avec la même vitesse).

    Edit : j'ai pris la Terre, mais on peut évidemment prendre n'importe quoi. J'ai supposé aussi une densité homogène.

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  23. #49
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Super, merci !

    Je regarde ce que ça donne dès que je peux (ce week end sans doute)
    Trollus vulgaris

  24. #50
    Calvert

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Petite correction:




    avec les mêmes notations.

    Plus généralement, en partant de la surface avec une vitesse initiale v0 dirigée vers le centre, je trouve


  25. #51
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Encore mieux !

    Comme ça on a les deux que je cherchais : vitesse initiale nulle pour voir si on retombe bien sur T/4 et vitesse initiale Vlib a la surface.

    Pendant que t'es chaud est ce que tu connaîtrais aussi la trajectoire de chute extérieure (en considérant seulement M donc et pas R) pour un objet lancé vers le bas a une vitesse supérieure a Vlib locale ? En gros si un objet tombe depuis l'infini d'espace il sera au mieux a Vlib, mais on pourrait lancer dans la même direction un objet a une vitesse supérieure.

    Merci bcp

    Mailou

  26. #52
    jacknicklaus

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Je ne vois pas du tout ce qu'on calcule... v(r) est apparemment une vitesse de libération en fonction de r et R, si r < R (!?)
    Soit, je n'ai pas vérifié ce résultat.

    Mais quelle signification physique donner à v(r) = dr/dt pour en tirer une loi r(t) ?
    Quel rapport avec une trajectoire ? Trajectoire de quoi d'ailleurs ?

    C'est un peu comme si, pour un objet à r plus loin que R, on utilisait la formule classique v(r) = Racine(2GM/(r)) pour en tirer un r(t)... qui signifierait quoi ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  27. #53
    Calvert

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Je ne vois pas du tout ce qu'on calcule... v(r) est apparemment une vitesse de libération en fonction de r et R, si r < R (!?)
    Soit, je n'ai pas vérifié ce résultat.
    C'est une chute libre à travers une sphère de densité homogène avec une certaine vitesse initiale à la surface, dirigée vers le centre.

    Il s'avère que si la vitesse initiale à à la surface (par exemple) est la vitesse de libération (au même rayon), alors une chute libre aura à chaque rayon la valeur de la vitesse de libération à ce rayon, par construction et conservation de l'énergie mécanique.
    La relation plus haut n'est évidemment valable qu'à l'intérieur de la sphère considérée. Si on veut poursuivre la trajectoire à l'extérieure, il faut les prolonger dans un champ de force en 1/r^2, et les équations sont un peu moins sympathique au premier abord, mais je n'ai pas encore approfondi.

    Ceci dit, je n'ai que superficiellement vérifié les résultats plus haut, on n'est jamais à l'abri d'une erreur.

  28. #54
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Mais quelle signification physique donner à v(r) = dr/dt pour en tirer une loi r(t) ?
    Quel rapport avec une trajectoire ? Trajectoire de quoi d'ailleurs ?
    v(r) c'est une vitesse. r(t) c'est la trajectoire en 1D+t, d'un objet test.
    Mais vu ton niveau, je crois que c'est moi qui ne comprends pas ta question

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    Ceci dit, je n'ai que superficiellement vérifié les résultats plus haut, on n'est jamais à l'abri d'une erreur.
    Ca a l'air de coller !

    La chute depuis la surface de la Terre à vitesse initiale nulle prend ~21.1min
    L'orbite à altitude nulle (40.000km à 7.9km/s) prend ~84.4min, la relation T/4 est vérifiée !
    ( v(Rt)=0 mais je ne connais pas v(0)... )

    La chute depuis la surface de la Terre avec une vitesse initiale de 11.2km/s (Vlib) pour attendre 13.7km/s au centre prend ~8.3min
    Ca parait plutôt crédible car traverser le rayon terrestre à Vlib prendrait ~9.5min, or le mobile accélère.

    Si on veut poursuivre la trajectoire à l'extérieure, il faut les prolonger dans un champ de force en 1/r^2, et les équations sont un peu moins sympathique au premier abord, mais je n'ai pas encore approfondi.
    Chute libre depuis l'infini :


    Chute libre depuis Rmax avec vitesse initiale nulle:


    Je n'ai pas la chute libre depuis Rmax avec vitesse initiale non nulle supérieure à Vlib
    (Attention la deuxième trace la courbe "à l'envers" de mémoire)
    Et je n'ai que les résultats, pas la démonstration qui t'intéresse sans doute plus

    Merci

    Malou
    Trollus vulgaris

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  30. #55
    Calvert

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    J'ai trouvé un peu de temps pour regarder le cas de chute libre pour une masse centrale de masse M. Les conditions initiales sont :

    A t=0, le petit corps (masse test) a une vitesse vi (dirigée soit vers le centre, soit vers l'extérieur), et se trouve à un rayon ri du centre de la masse centrale.

    On distingue trois cas, en fonction de l'énergie mécanique spécifique du système
    1. A = 0 (le petit corps possède exactement la vitesse de libération). On trouve :



      choisir le signe en fonction de la direction la vitesse initiale choisie.
    2. A < 0 (le petit corps est lié à la masse centrale et retombe toujours dessus). On trouve :



      avec A' = -A, et



      Dans ce cas, le rayon est limité à . Dans le cas vi = 0, on retrouve bien la relation de Mailou après un peu d'algèbre.
    3. A > 0 (le petit corps a une vitesse supérieure à la vitesse de libération et n'est pas limité radialement). On trouve :



      Ici,

      De nouveau le signe dépend du choix de la vitesse initiale.

    Aussi loin que j'ai pu vérifier, ces résultats semblent corrects.

  31. #56
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Joliii ! Je ne sais pas trop comment me servir de "A" mais je vais apprendre.

    .....

    Pour ma part je finissais de me battre avec la dernière équation pour la faire parler un peu... Voilà ce qu'il en ressort, interprétation partiellement personnelle : La formule donne une courbe "unique" pour laquelle il suffit d'adapter les unités pour obtenir un résultat !

    A gauche la Terre :
    Pour une chute libre au dessus de la surface, on prendra la courbe bleue qui se prolonge virtuellement jusqu'au centre, c'est notre ellipse dégénérée. Au moment où l'objet test franchit la surface il bifurque sur la courbe rouge qui va traverser l'objet. Les valeurs indiquées sur les axes sont Rt 6371km et la vitesse de libération a la surface 11,2km/s qui donne les unités de temps (total pour traverser 6371km à 11.2km/s = 9.49min) : on lit 8.26min pour la traversée dans le volume homogène et 6.32min pour un voyage théorique jusqu'en un centre où la masse serait concentrée.

    A droite un trou noir :
    En poussant le vice, on trouve la forme "critique" du trou noir pour lequel on sait qu'au moins toute la courbe bleue, pointillés compris, est valable. On suppose ici que le trou noir est plein et homogène et qu'on applique la même formule : rouge. On trouve les relations "idéalisées" avec Rs et Vlib=c, avec une vitesse au centre de 1,22c (no problem on est derrière un horizon... dans la version bleue la vitesse devient même infinie). On vérifie que 13,7km/s/11,2 km/s=1.22 !

    On voit en filigramme le z+1, interprétation relativiste du potentiel Newtonnien. Pour la Terre la situation non relativiste confond le z+1 avec l'hyperbole tandis que pour le trou noir on voit que la courbe du z+1 (pointillé gris) se détache clairement de la forme classique. Mais d'une part le z+1 a tout à voir avec ce qui est perçu par l'observateur à l'infini et pas forcément avec quelque chose de local, pourtant c'est cette forme qui est à l'origine du terme "trou". Et d'autre part comment expliquer que pour le trou noir la formule prise pour la courbe de chute (chez Painlevé, et donc chez tout le monde) soit la classique (bleue+ pointillé) si la forme de l'espace jusqu'au au centre, singularité, n'est PLUS la courbure bleue, classique ?

    En gros la chute correspond à une forme d'espace, donc si elle est inchangée pour un trou noir, pourquoi l'espace le serait il ? Ne serait il pas plus simple d'expliquer pourquoi lorsque l'espace est à 45° (c) on a un horizon ? Comme on est en espace "hyperbolique" ça ne devrait pas être difficile
    Pour finir, on voit que les courbes d'espace bleu et pointillé z+1 RG se rejoignent rapidement et à partir de 4Rs c'est kif kif, donc pas facile de trouver une expérience adaptée...

    Pour occuper vos dimanches : trouver la relation entre les unités du haut (1s/s pour le trou noir, son temps ne s'écoule pas en apparence, et 60microsecondes/jour a la surface de la Terre par rapport à l'observateur à l'infini) et les unités du bas.

    A plus,
    Je vais voir ce que racontent A et A'

    Mailou
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    Trollus vulgaris

  32. #57
    Calvert

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    toutes les expressions que j'ai données plus haut sont des expressions classiques sans RG. Je ne m'aventurerais pas dans le régime BH avec ces dernières.

  33. #58
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Salut,

    Attention pour moi il y a trois points distincts

    - Si on ne considère que la figure gauche, elle nous dit déjà que la courbe sera la même pour n'importe quel astre (masse et rayon) moyennant qu'on écrive les bonnes unités sur les axes. Seul il est déjà intéressant je trouve. La question de trouver le rapport entre les unités du haut et celles du bas reste d'actualité dans tous les cas non relativistes.

    - Ensuite on sait que la courbe bleue (+pointillé) est utilisée pour les trous noirs puisqu'on la retrouve chez Painlevé (et comme tous les autres systèmes de coordonnées pour les trous noirs disent la même chose, c'est bien que c'est la "trajectoire" juste de chute libre jusqu'à la singularité). Finalement l'hypothèse de l'ellipse dégénérée est poussée à son paroxysme puisque le phénomène théorique de masse concentrée est rendu "physique" par la supposition d'une singularité. La figure en bas à droite est donc elle aussi juste (pour la courbe bleue).

    - Enfin, et c'est peut être là que ça dérape, je suppose que trajectoire de chute et forme d'espace sont liés. Mais je trouve que c'est une vraie question... comment justifier que la trajectoire est la même alors que l'espace est supposé différent (version trou en pointillé gris, z+1)? Quand on a rempli les trois premières "cases" et que la proportionnalité est établie, comment la quatrième case (en haut à droite) peut elle être différente ? Si on admet que l'espace suit un dessin classique (bleu+rouge) et que le trou noir est plein (supposition allant avec le fait qu'en ajoutant de la matière il grossira, puisqu'il est déjà plein..) alors il n'y a qu'à expliquer pourquoi un espace penché à 45° est un horizon et je suggère que dans l'espace hyperbolique plat qu'est celui de l'observateur à l'infini la réponse soit triviale.
    Trollus vulgaris

  34. #59
    Mailou75

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    La question de trouver le rapport entre les unités du haut et celles du bas reste d'actualité dans tous les cas non relativistes.
    Easy... la courbe bleue du haut est aussi celle de 1-1/γ pour la vitesse de libération.
    Donc en prenant une journée de 86400 secondes et une vitesse de libération à la surface de 11187m/s on trouve :



    Ce qui est bien le décalage RG entre la surface de la Terre et l'observateur à l'infini.

    On comprend aussi que lorsque Vlib=c, cas du trou noir, le γ soit infini et donc le décalage vaut 1jour/j ~ 1seconde/s
    Dernière modification par Mailou75 ; 13/07/2017 à 15h17.
    Trollus vulgaris

  35. #60
    moijdikssékool

    Re : Chute libre de la Lune vers la Terre

    Y'a une petite formule (classique) qui va bien genre t(r) pour la chute a l'interieur de la boule stp ?
    en supposant les masses ponctuelles
    à la distance r du centre, il y a d'un côté la masse M1 en dessous qui attire avec une force G(M1-M2)m/r² et la masse au dessus égale à GM2m/(R-r)² avec V2 (volume de M2) = intégrale de pi.(r-z)², z entre 0 et r (merde, je sais plus calculer le volume d'une boule, j'obtiens 2pi.r^3/3)
    bref, c'est pas compliqué

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