Métrique de la sphère de Poincaré

[alain_r]

Cela pose un problème de continuité, il me semble. Parce que le long du tour sur S3, on aura fait 10 tours (dans le cas centre/centre face) dans SP, dont rencontré 10 fois le point. Par hypothèse de continuité à chaque passage, les directions spéciales sont dans les mêmes positions relatives par rapport à la triade. Et je ne vois pas comment c'est possible avec en moyenne 1/10ème de tour de ces directions par rapport à la triade.

Oubliez S3 et Poincare pour l'instant et penchez vous sur l'espace quart de tour dans R3 (dans la terminologie du papier precite). Ici, vous pavez R3 avec des cubes, mais dans une des directions, vous ne translatez pas seulement le cube, mais lui faites subir aussi une rotation de 90 degres lors du pavage. Au bout de 4 traversees de votre cube dans cette direction (ou de votre prisme carre, peu importe), vous etes revenu dans une configuration identique a celle initiale (normal, l'espace quart de tour est lui meme un tore quotiente par un groupe discret a 4 elements). Cependant, au bout d'une seule traversee de votre cube, celui ci apprait tourne de 90 degres par rapport a vous. Plus visuellement, si vous regardez dans la direction particuliere, vous verrez une image de vous, mais tournee a 90 degres par rapport a vous, ainsi que tout le decor environnant. Si vous vous translatez, tout se passe comme si des le depart vous etes deja tourne de 90 degre par rapport a votre image et au decor environnant vers lequel vous vous dirigez, qui de fait va etre tourne de 90 degres par rapport a vous quand vous l'atteindrez apres votre traversee (pas sur d'etre clair).
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[invité576543]

mais il me semble que tu mélanges deux problèmes bien distincts

Fort possible. Mais la bonne interprétation est que je cherche à comprendre...

euh, en fait c'est ça que je ne vois pas bien, et le problème est peut être là à la base. C'est quoi ta "rotation"? les directions ne tournent pas lors du transport parallèle sans torsion : lors du passage d'une face à une autre, elles sont permutées justement par le groupe d'homotopie qui les laissent globalement invariantes non? en "recollant" une face pentagonale sur une autre, toutes les autres faces et donc les directions du réseau sont invariantes, il n'y a aucune rotation.

Ce n'est pas le passage de la face qui pose problème. C'est l'ensemble des points sur la ligne. On peut aussi prendre le centre du dodéca, aller de ce centre à lui-même en allant en ligne droite et en passant par le centre d'une face. Si on part du centre dans les deux directions opposées "comme si on était dans S3", à l'arrivée sur les faces la position n'est pas la même. J'ai l'impression qu'il faut une discontinuité quelque part...

Tu ne peux de toute façon pas obtenir un champ continu sur une variété courbe par transport parallèle, sur aucun espace !

Ca OK.

et il n'y a aucune raison non plus que le transport parallèle sur une géodésique fermée te redonne le même vecteur a la fin

Bien sûr qu'il n'y a pas de raison, ne serait-ce qu'avec une connexion avec torsion ! C'est au centre de la question que je me pose. Ce que je voudrais comprendre est, par exemple, quel est le rapport entre la torsion et la rotation obtenue lors de la fermeture d'une géodésique fermée.

Il ne me semble pas dire de connerie en disant que la rotation obtenue sur un tour d'un lacet trivial de taille infinitésimal et plan est le tenseur de Riemann appliqué à deux vecteurs définissant le plan, c'est la courbure de la surface infinitésimale délimitée par le lacet. Sur un tel lacet pas trop grand, la rotation est l'intégrale du tenseur de courbure sur la surface.

La rotation obtenue le long d'une géodésique fermée doit bien correspondre à quelque chose. A quoi?

La torsion me semble avoir un rapport parce que, à ce que j'en comprend, c'est la rotation quand on va tout droit, alors que le tenseur de courbure c'est la rotation quand on tourne sur place. Or, aller tout droit, c'est bien suivre une géodésique, non?

Cordialement,

[invité576543]

Oubliez S3 et Poincare pour l'instant et penchez vous sur l'espace quart de tour dans R3

L'avantage de S3 est qu'il y a des géodésiques fermées dans S3. Dans R3 il n'y a pas l'équivalent.

Il y a une possibilité, qui est de voir l'espace quart de tour comme non pas un quotient de R3, mais un quotient de T3 (par 4 il me semble). Mais j'ai plus de mal à voir cela que SP dans S3.

Néanmoins, c'est peut-être une approche me permettant de formuler une question proche. Il y a une différence de topologie entre T3 quotient par une translation d'un quart sans rotation (T3 encore), par une translation avec 1/2 tour ou par une translation avec 1/4 tour, non? Or il me semble que la description que vous donnez s'applique identiquement aux trois cas. Où est la différence de topologie, alors?

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Après réflexion les espaces quart de tour et demi-tour, vu comme quotient de T3, m'amène à me poser la même question que sur SP. On y gagne l'avantage d'un espace plat. Et la question revient à comprendre l'impact de la différence entre T3, l'espace quart de tour et l'espace demi-tour.

Si je comprend bien ce que propose Gilles, il n'y aurait strictement aucune différence locale. En particulier l'aspect chiral des variétés quart de tour ou demi-tour n'aurait aucun effet local nulle part, il existe globalement, c'est tout.

Je vais regarder en détail l'article sur les variétés multiconnexes plates, celui cité par Alain R., avec ces questions en tête. Je trouverai peut-être quelques éléments de réponses applicables aussi au cas courbe de SP.

Cordialement,

[invité576543]

Une question plus basique.

Si je prend R3 euclidien, on peut prendre une triade orthonormée (u, v, w) partout continue. Elle correspond à la connexion de Levi-Civita de la métrique euclidienne.

Si je prend la triade tout aussi continue , est-ce qu'elle correspond à une connexion avec torsion non nulle (et partout identique), ou est-ce la même connexion?

Si c'est une connexion avec torsion non nulle, est-elle compatible avec la métrique euclidienne?

Et est-ce que le tenseur de torsion est tel que dans la triade (u, v, w) ses composantes sont et ?

(C'est fort possible que mes propositions soit n'importe quoi, mais alors une correction me permettra de réaliser certaines de mes idées fausses.)

Cordialement,

[GillesH38a]

Bonjour

Ce n'est pas le passage de la face qui pose problème. C'est l'ensemble des points sur la ligne. On peut aussi prendre le centre du dodéca, aller de ce centre à lui-même en allant en ligne droite et en passant par le centre d'une face. Si on part du centre dans les deux directions opposées "comme si on était dans S3", à l'arrivée sur les faces la position n'est pas la même.

euh, comment ça? si tu prends deux directions opposées, tu arrives bien au centre de deux faces opposées non? ensuite ces faces sont "recollées" sur deux autres faces, pas les mêmes effectivement, ce qui veut dire que ta géodesique complète retraverse plusieurs fois la maille en tournicotant d'une face à l'autre jusqu'à ce qu'elle reboucle sur elle-même, mais je ne vois pas où est la rotation, ni la discontnuité...

Pour visualiser ça, on peut prendre S2 quotienté par le groupe du dodecaedre, cette fois la maille fondamentale sera un pentagone curviligne correspondant à une face du dodécaedre inscrit projeté sur la sphère, si je ne m'abuse. Une géodesique (grand cercle équatorial) traverse 10 pentagones aussi je pense, avant de revenir au point de départ. Il n'y a pas de discontinuité...

Bien sûr qu'il n'y a pas de raison, ne serait-ce qu'avec une connexion avec torsion ! C'est au centre de la question que je me pose. Ce que je voudrais comprendre est, par exemple, quel est le rapport entre la torsion et la rotation obtenue lors de la fermeture d'une géodésique fermée.

Il ne me semble pas dire de connerie en disant que la rotation obtenue sur un tour d'un lacet trivial de taille infinitésimal et plan est le tenseur de Riemann appliqué à deux vecteurs définissant le plan, c'est la courbure de la surface infinitésimale délimitée par le lacet. Sur un tel lacet pas trop grand, la rotation est l'intégrale du tenseur de courbure sur la surface.

OK, et ça ne fait pas intervenir la torsion (je pense que l'influence de la torsion s'annule sur une courbe fermée). Je pense d'ailleurs que ce résultat est valable sur n'importe quel lacet de classe nulle (réductible a un point), un genre de formule de STokes généralisée.

La rotation obtenue le long d'une géodésique fermée doit bien correspondre à quelque chose. A quoi?

Peut etre juste aux propriétés topologiques de la géodesique mais j'avoue que je n'en sais rien !

La torsion me semble avoir un rapport parce que, à ce que j'en comprend, c'est la rotation quand on va tout droit, alors que le tenseur de courbure c'est la rotation quand on tourne sur place. Or, aller tout droit, c'est bien suivre une géodésique, non?

Cordialement,

Bon je vais te dire comment je visualise les choses en tant que physicien (un matheux va peut-etre sauter au plafond ! )

On peut partir de la métrique qui va uniquement définir des distances entre points, repérés par des coordonnées quelconques.

A partir de ça on peut construire des systèmes de coordonnées localement euclidiennes (ou pseudo euclidiennes), et définir des géodésiques comme minimisant l'integrale de la métrique entre deux points assez voisins.

On peut ensuite définir un transport parallèle associé à la métrique (sans torsion) qui a les propriétés suivantes (entre autres)
* les composantes ne changent pas dans le système de coordonnées localement euclidiennes
* elles changent d'après les connexions de Levi-Civita (Christoffel) dans un système quelconque
* les géodésiques correspond à un transport parallèle du vecteur tangent.

Tout ceci peut toujours etre fait pour n'importe quel espace (dont SP) et c'est ce qui est choisi dans la RG standard.


Maintenant on peut rajouter de la torsion. Si on veut le faire avec la même métrique, il faut garder les mêmes géodésiques. Comment est ce possible? en gardant le transport parallèle des vecteurs tangents, on a encore la possibilité de faire "tourner" les vecteurs perpendiculaires autour de cette direction. On modifie donc le transport parallèle, et donc la connexion, en autorisant une rotation autour de l'axe du déplacement. CA rajoute une composante antisymétrique aux connexions. Vu dans le système de coordonnées localement euclidiennes, le transport parallèle fait alors "tourner" les vecteurs dans un mouvement hélicoidal, c'est pour ça qu'il n'est plus "canoniquement" lié à la métrique, mais seulement compatible (les distances et les géodésiques n'ont pas changé dans l'opération, c'est juste l'opération de transport parallèle qui a été modifiée). Donc c'est une possibilité de rajouter de la torsion, mais jamais une obligation.

Est-ce qu'on est d'accord sur cette vision ?

cdt

Gilles

[invité576543]

euh, comment ça? si tu prends deux directions opposées, tu arrives bien au centre de deux faces opposées non? ensuite ces faces sont "recollées" sur deux autres faces, pas les mêmes effectivement, ce qui veut dire que ta géodesique complète retraverse plusieurs fois la maille en tournicotant d'une face à l'autre jusqu'à ce qu'elle reboucle sur elle-même, mais je ne vois pas où est la rotation, ni la discontnuité...

Je ne comprend pas. Dans le cas de la ligne qui va de centre à dodéca à centre de face, c'est direct, il n'y a pas d'autres traversées. Ce que tu décris s'applique à d'autres lignes, mais pas celle-là.

Pour visualiser ça, on peut prendre S2 quotienté par le groupe du dodecaedre, cette fois la maille fondamentale sera un pentagone curviligne correspondant à une face du dodécaedre inscrit projeté sur la sphère, si je ne m'abuse. Une géodesique (grand cercle équatorial) traverse 10 pentagones aussi je pense, avant de revenir au point de départ. Il n'y a pas de discontinuité...

Je suis perdu. Je regarde sur S3 pas S2, et il me semble que la ligne dont je parle n'a qu'un seul composant un domaine fondamental, i.e., ne traverse qu'une fois le domaine. Et c'est bien cela qui crée la discontinuité

Par contre la ligne correspondante dans S3 recouvre bien 10 fois la ligne dans SP, en traversant 10 pentagones.

(je pense que l'influence de la torsion s'annule sur une courbe fermée).

Je m'étais dit cela, mais je pense maintenant que c'est le passage à la limite (faire tendre la surface inscrite vers 0) qui annule l'influence de la torsion.

(suite plus tard, cause repas...)

Cordialement,

Michel

[alain_r]

Je suis perdu. Je regarde sur S3 pas S2, et il me semble que la ligne dont je parle n'a qu'un seul composant un domaine fondamental, i.e., ne traverse qu'une fois le domaine. Et c'est bien cela qui crée la discontinuité

Si vous être dans S3 et que vous prenez une géodésique, vous revenez à votre point de départ. Si vous pavez S3 par le domaine fondamental de l'espace de Poincaré, alors sur la géodésique précédente, il vous faudra traverser dix domaines fondamentaux avant de revenir à votre point de départ.

[GillesH38a]

Je ne comprend pas. Dans le cas de la ligne qui va de centre à dodéca à centre de face, c'est direct, il n'y a pas d'autres traversées. Ce que tu décris s'applique à d'autres lignes, mais pas celle-là.

oui tu as raison je dis des betises , ces géodesiques retournent sur elle meme au bout d'une traversée (ca doit d'ailleurs etre les seules ?). Donc effectivement, le transport parallèle sans torsion ramène la triade au point de départ avec une rotation de 2pi/10. Ce que je pense, c'est que ce n'est pas genant en soi, parce que (selon moi) rien n'oblige à ce que la triade ne tourne pas en faisant un tour sur une géodesique fermée. C'est surement une caractéristique de l'espace de Poincaré, que tu peux appeler une torsion "globale" : effectivement si on *impose d'avoir une absence de rotation au bout d'un tour, ca demande probablement de rajouter une torsion locale pour annuler cette rotation. Mais c'est un choix possible, pas obligatoire!

Pour ce qui est de construire un champ continu, ca impose effectivement qu'il fasse ces rotations de 2pi/10 [2pi] en voyageant à travers la maille. mais c'est une condition liée à la topologie globale (un peu comme les modes propres), pas a la torsion qui est elle locale : elle porte sur la condition de continuité du champ (tout comme un champ de vecteur sur S2 doit forcement s'annuler en un point), pas sur la métrique ou la connexion en elle-meme.

Cdt

Gilles

[invité576543]

Pour visualiser ça, on peut prendre S2 quotienté par le groupe du dodecaedre, cette fois la maille fondamentale sera un pentagone curviligne correspondant à une face du dodécaedre inscrit projeté sur la sphère, si je ne m'abuse. Une géodesique (grand cercle équatorial) traverse 10 pentagones aussi je pense, avant de revenir au point de départ. Il n'y a pas de discontinuité...

Désolé, je n'avais pas compris en deuxième lecture... Comme j'arrive suffisamment à "voir" S3, je ne regarde plus S2. Le problème de S2, c'est qu'on ne peut pas mettre de torsion, et donc on ne peut pas "voir" le problème du recollement.

Cordialement,

[invité576543]

effectivement si on *impose d'avoir une absence de rotation au bout d'un tour, ca demande probablement de rajouter une torsion locale pour annuler cette rotation. Mais c'est un choix possible, pas obligatoire!

C'est comme ça que le vois aussi. Si on veut garder l'homogénéité, on se retrouve à "distribuer" de manière uniforme quelque chose. J'aurais dû le préciser plutôt, mais c'est les solutions homogènes qui m'interpellent. Si on accepte des zones ou des lignes ou des points singuliers, on peut garder le reste "comme on veut". Mais c'est déjà le cas avec la courbure, et l'hypothèse usuelle est l'homogénéité à grande échelle, non?

Cordialement,

[invité576543]

Si vous être dans S3 et que vous prenez une géodésique, vous revenez à votre point de départ. Si vous pavez S3 par le domaine fondamental de l'espace de Poincaré, alors sur la géodésique précédente, il vous faudra traverser dix domaines fondamentaux avant de revenir à votre point de départ.

Oui, mais sur SP on n'en traverse qu'un, parce qu'on referme sur exactement le même point et exactement la même direction. Certaines lignes doivent traverser SP pas mal de fois avant de se fermer proprement, mais la ligne centre de cellule/centre de face traverse une seule fois. (Ou une infinité, mais il n'y a pas de nombre significatif entre les deux.) C'est pour cela que je parle principalement de celle-là.

Gilles pose la question si c'est le seul type. Il me semble que oui, mais je n'en suis pas sûr. J'ai "décrypté" la ligne centre cellule/sommet, elle passe le long d'une arête avant de plonger dans la cellule finale (avec 1/6 tour de rotation, et exactement 1 tour sur S3); et la ligne centre cellule/centre arête, qui passe dans le plan de deux faces avant de plonger dans la cellules finales (avec 1/4 tour de rotation, et exactement 1 tour sur S3). Les nombres 10, 6 et 4 sont en relation directe avec les symétries du dodéca.

(Je fais joujou avec un système d'assemblage appelé Zometool, qui est parfait pour ces petits jeux, on peut faire des modèles de portions d'hyperdodéca avec...)

Cordialement,

[GillesH38a]

C'est comme ça que le vois aussi. Si on veut garder l'homogénéité, on se retrouve à "distribuer" de manière uniforme quelque chose. J'aurais dû le préciser plutôt, mais c'est les solutions homogènes qui m'interpellent. Si on accepte des zones ou des lignes ou des points singuliers, on peut garder le reste "comme on veut". Mais c'est déjà le cas avec la courbure, et l'hypothèse usuelle est l'homogénéité à grande échelle, non?

ca ne me semble pas etre un probleme d'homogeneité : localement la métrique est partout la même, il n'y a pas de probleme. C'est juste le transport parallèle qui ne permet pas de fabriquer un truc continu, mais ça arrive dans d'autres situations analogues: par exemple bien que la métrique de Kerr soit axisymétrique, tu ne peux pas synchroniser le temps sur un cercle autour de l'axe : en faisant un tour complet tu aboutis à une discontinuité.

Par ailleurs je ne suis pas sûr que tu puisses adjoindre une torsion qui évite la rotation pour toutes les géodésiques , a moins que tu n'aies trouvé une solution??

cordialement

Gilles

[invité576543]

Je reviens au texte de Gilles sur la vision de physicien...

Bon je vais te dire comment je visualise les choses en tant que physicien (un matheux va peut-etre sauter au plafond ! )

On peut partir de la métrique qui va uniquement définir des distances entre points, repérés par des coordonnées quelconques.

Pourquoi pas. Mais je me pose la question si la métrique ou la connexion est première, et Rincevent a fait plusieurs fois, il me semble, une allusion à l'idée que c'est un sujet de débat.

A partir de ça on peut construire des systèmes de coordonnées localement euclidiennes (ou pseudo euclidiennes), et définir des géodésiques comme minimisant l'integrale de la métrique entre deux points assez voisins.

Les coordonnées ne sont pas nécessaires pour définir les géodésiques il me semble. Ensuite, un système de coordonnées définit un vielbein et donc (?) la connexion s'est déjà introduite subrepticement via les coordonnées, non?

On peut ensuite définir un transport parallèle associé à la métrique (sans torsion) qui a les propriétés suivantes (entre autres)
* les composantes ne changent pas dans le système de coordonnées localement euclidiennes
* elles changent d'après les connexions de Levi-Civita (Christoffel) dans un système quelconque
* les géodésiques correspond à un transport parallèle du vecteur tangent.

Oui.

Tout ceci peut toujours etre fait pour n'importe quel espace (dont SP) et c'est ce qui est choisi dans la RG standard.

Peut toujours être fait localement, oui. Mais il peut y avoir des points singuliers. Et la question est si le recollement à grande échelle en topologie compacte est toujours possible, non?

Maintenant on peut rajouter de la torsion. Si on veut le faire avec la même métrique, il faut garder les mêmes géodésiques. Comment est ce possible? en gardant le transport parallèle des vecteurs tangents, on a encore la possibilité de faire "tourner" les vecteurs perpendiculaires autour de cette direction. On modifie donc le transport parallèle, et donc la connexion, en autorisant une rotation autour de l'axe du déplacement. CA rajoute une composante antisymétrique aux connexions. Vu dans le système de coordonnées localement euclidiennes, le transport parallèle fait alors "tourner" les vecteurs dans un mouvement hélicoidal, c'est pour ça qu'il n'est plus "canoniquement" lié à la métrique, mais seulement compatible (les distances et les géodésiques n'ont pas changé dans l'opération, c'est juste l'opération de transport parallèle qui a été modifiée). Donc c'est une possibilité de rajouter de la torsion

Là tu confirmes le modèle que je me suis fait suite à diverses lectures plus ou moins bien assimilées.

, mais jamais une obligation.

Avec ce langage, ma question est si certaines topologies globales (SP, espace quart de tour ou demi-tour, etc.), associées avec une hypothèse d'homogénéité, peuvent imposer une torsion. Je comprend ton "jamais" comme la réponse "non" à la question, mais j'ai du mal à intégrer cela avec le reste.

Cordialement,

Michel

[invité576543]

Par ailleurs je ne suis pas sûr que tu puisses adjoindre une torsion qui évite la rotation pour toutes les géodésiques , a moins que tu n'aies trouvé une solution??

J'aimerais bien être à un niveau me permettant d'aborder une telle recherche Sur S3 la courbure me complique trop la vie. Mais la torsion indiquée sur T3 pour l'espace quart ou demi tour (dans un message précédent) pourrait être solution pour ces deux espaces "tordus".

Cordialement,

[alain_r]

Oui, mais sur SP on n'en traverse qu'un, parce qu'on referme sur exactement le même point et exactement la même direction. Certaines lignes doivent traverser SP pas mal de fois avant de se fermer proprement, mais la ligne centre de cellule/centre de face traverse une seule fois. (Ou une infinité, mais il n'y a pas de nombre significatif entre les deux.) C'est pour cela que je parle principalement de celle-là.

Gilles pose la question si c'est le seul type. Il me semble que oui, mais je n'en suis pas sûr. J'ai "décrypté" la ligne centre cellule/sommet, elle passe le long d'une arête avant de plonger dans la cellule finale (avec 1/6 tour de rotation, et exactement 1 tour sur S3); et la ligne centre cellule/centre arête, qui passe dans le plan de deux faces avant de plonger dans la cellules finales (avec 1/4 tour de rotation, et exactement 1 tour sur S3). Les nombres 10, 6 et 4 sont en relation directe avec les symétries du dodéca.

(Je fais joujou avec un système d'assemblage appelé Zometool, qui est parfait pour ces petits jeux, on peut faire des modèles de portions d'hyperdodéca avec...)

Cordialement,

Encore une fois, le problème que vous avez se pose à l'identique dans un espace quart de tour, qui a l'avantage d'être largement plus aisé à visualiser Si dans l'espace quart de tour vous vous dirigez vers la direction du générateur qui n'est pas une translation en étant situé au centre du domaine fondamental (ces conditions sont indispensables ici pour s'assurer de revenir à son point de départ en une traversée ; elles n'existent pas pour Poincaré car c'est un espace homogène), à l'issue de votre première traversée, vous reviendrez à votre point de départ mais vous verrez le décor qui vous entourait au départ de votre voyage tourné d'un quart de tour (suivant un axe parallèle à votre déplacement). Ce n'est pas vous qui aurez tourné lors de votre traversée en raison d'une torsion (comme vous semblez l'imaginer), mais c'est dû au fait que c'est la copie du domaine fondamental vu depuis l'espace de recouvrement est elle-même tournée par rapport au domaine fondamental de départ.

Pour SP, c'est cela qui se produit : vous avez certainement remarqué que les pentagones opposés d'un dodécaèdre ne peuvent se déduire l'un de l'autre par une simple translation, car s'ils sont parallèles, leurs sommets ne pointent par dans la même direction. Si vous voulez empiler deux dodécaèdres de façon à ce que leur face commune soient collées l'une à l'autre, le dodécaèdre du dessus ne peut être le simple translaté du dodécaèdre du dessous, mais doit subir une rotation d'angle pi / 5 (ou (1 + 2 n) pi / 5). La rotation de pi / 5 au bout d'une traversée du domaine fondamental vient de là.

[invité576543]

Encore une fois, le problème que vous avez se pose à l'identique dans un espace quart de tour

Certes. J'ai même déjà répondu sur le sujet, non?

(comme vous semblez l'imaginer)

Vous semblez imaginer ce qui se passe dans ma tête. Je parle de triades continues, pas de "vous qui aurez tourné".

Cordialement,

[alain_r]

1) Certes. J'ai même déjà répondu sur le sujet, non?



2) Vous semblez imaginer ce qui se passe dans ma tête. Je parle de triades continues, pas de "vous qui aurez tourné".

Cordialement,

1) Si vos avez compris l'un (l'espace quart de tour), alors vous avez l'autre (Poincare)

2) C'est la meme chose, sauf que vous utilisez un terme vaguement plus technique, mais qui n'est d'aucun interet ici.

[invité576543]

2) C'est la meme chose, sauf que vous utilisez un terme vaguement plus technique, mais qui n'est d'aucun interet ici.

Heureux de connaître votre sentiment sur le sujet.

Cordialement,

[GillesH38a]

Pourquoi pas. Mais je me pose la question si la métrique ou la connexion est première, et Rincevent a fait plusieurs fois, il me semble, une allusion à l'idée que c'est un sujet de débat.

dans la mesure ou les connexions sont "plus riches" que la métrique, puisqu'il existe plusieurs connexions pour une même métrique, on peut effectivement considérer que la connexion est plus fondamentale....

Les coordonnées ne sont pas nécessaires pour définir les géodésiques il me semble. Ensuite, un système de coordonnées définit un vielbein et donc (?) la connexion s'est déjà introduite subrepticement via les coordonnées, non?

non bien sur les géodésiques sont définies intrinsèquement par la métrique, sans coordonnées. C'etait deux choses parallèles qu'on pouvait faire indépendamment. Le système de coordonnées introduit un vielbein "naturel" (les vecteurs de base sont les dérivées par rapport aux coordonnées), mais justement l'interêt des vielbein est de pouvoir utiliser des bases non liées aux coordonnées (par exemple des composantes polaires en coordonnées cylindriques Ar(x,y) et Atheta(x,y). Après la connexion est encore autre chose parce qu'elle définit la dérivée covariante (et donc le transport parallèle). La aussi il y en a une "naturelle" (celle sans torsion) et une infinité d'autres possibles (avec torsion).

Avec ce langage, ma question est si certaines topologies globales (SP, espace quart de tour ou demi-tour, etc.), associées avec une hypothèse d'homogénéité, peuvent imposer une torsion. Je comprend ton "jamais" comme la réponse "non" à la question, mais j'ai du mal à intégrer cela avec le reste.
l

Imposer au sens que l'espace ne serait pas homogène sinon, non certainement pas ! encore une fois la SP munie de la métrique et de la connexion sans torsion de S3 (tout comme est parfaitement définie, différentiable partout , et elle est homogène. Le fait que comme tu l'as remarqué une triade tourne sur certaines boucles géodésiques n'est pas contradictoire avec ça.

Le fait de ne pas pouvoir avoir de vielbein continu partout doit etre la conséquence d'une caractéristique d'Euler Poincaré non nulle, sauf erreur..quelle est celle de la SP ?

Cdt

Gilles



Cordialement

Gilles

[invité576543]

OK, et ça ne fait pas intervenir la torsion (je pense que l'influence de la torsion s'annule sur une courbe fermée). Je pense d'ailleurs que ce résultat est valable sur n'importe quel lacet de classe nulle (réductible a un point), un genre de formule de STokes généralisée.

Cette référence à la formule de Stokes me tourne dans la tête. Ca me me pose divers problèmes.

- En 3D. Je vois bien Stokes dans une variété de dimension n comme l'égalité d'une intégrale sur un sous-ensemble de dimension n et une intégrale sur son bord de dimension n-1. Mais en 3D, un lacet est de dimension n-2. La notion de surface délimitée par un lacet est ambigüe. Le passage à la limite sous-jacent au tenseur de courbure inclut, il me semble, la "planéification" de la surface délimitée (d'où problème aux points singulier, d'ailleurs), non? Sur un lacet quelconque, quelle surface peut-on prendre? Si c'est n'importe laquelle, il faudrait que "l'intégrale" du tenseur de Riemann sur une surface quelconque de classe nulle (réductible à un point) soit nulle, est-ce le cas? Mais d'abord a-ce un sens?

- Qu'est-ce qu'on "intègre"? Je vois le tenseur de Riemann général comme associant à un élément infinitésimal de surface un élément infinitésimal du groupe linéaire de l'espace tangent. Intégrer un ensemble de vecteurs en différents points est déjà un problème (faut faire intervenir un transport, non?), mais l'intégration d'une rotation sur une surface n'est pas claire pour moi. Il y a peut-être un problème de non commutativité à partir de la 3D par exemple.

Si on revient à un lacet fermé, la notion d'intégration est vaguement plus claire. Sur un lacet fermé une opération intéressante est "l'intégration" du vecteur tangent (à définir, ce n'est pas si clair que ça) : on peut le ramener à l'espace tangent en un point par transport parallèle le long du lacet. Dans le cas d'un lacet plan infinitésimal, le vecteur tangent fait un beau cercle dans un plan, ça doit pouvoir se traduire par une intégration nulle. Au contraire, sur un grand cercle de S3, le vecteur tangent est constant, et son "intégration" sera certainement non nulle. D'où l'idée qu'il y a une relation entre l'influence de la torsion et cette "intégration" du vecteur tangent le long du lacet (et ceci quelle que soit la classe du lacet). Vu comme ça, c'est la "planéification" du lacet à la limite qui supprime l'influence de la torsion sur le tenseur de Riemann.

En fait, on est au coeur du problème à mon sens, qui est si on peut passer d'un ou plusieurs champs (courbure, torsion, autre?) au transport parallèle d'un vielbein le long d'un lacet fermé. Le tenseur de Riemann apparaît comme le cas limite d'un lacet plan infinitésimal. Quid d'un lacet quelconque?

Cordialement,

[invité576543]

Le fait de ne pas pouvoir avoir de vielbein continu partout doit etre la conséquence d'une caractéristique d'Euler Poincaré non nulle, sauf erreur..quelle est celle de la SP ?

Bonne question. Je m'étais déjà fait cette réflexion, mais je n'ai pas trouvé la réponse. Pour S3, c'est 0, comme tout Sn, n impair, sauf erreur. Mais pour qu'un vielbein continu sur S3 soit continu sur SP, il faut qu'il soit invariant par le groupe discret de quotient.

Cordialement,

[GillesH38a]

Cette référence à la formule de Stokes me tourne dans la tête. Ca me me pose divers problèmes.

- En 3D. Je vois bien Stokes dans une variété de dimension n comme l'égalité d'une intégrale sur un sous-ensemble de dimension n et une intégrale sur son bord de dimension n-1. Mais en 3D, un lacet est de dimension n-2.

euh, comment ça? un lacet est toujours une courbe de dimension 1 non? et c'est donc le bord d'une 2-variété , une vraie surface quoi. Effectivement il faut que l'intégration ne dépende pas de cette surface, c'est assuré pour la formule de Stokes en 3D par le fait que le rotationnel est une dérivée extérieure et que sa divergence est nulle. Je suppose qu'il en est de même lors de l'integration du tenseur de courbure contracté avec le vecteur sur la 2-surface.. (donc en tout cas la différence entre le vecteur initial et celui obtenu après un tour complet au meme point EST indéniablement un vrai vecteur ! et il me semble qu'on peut toujours considérer le même raisonnement physique que pour Stokes : le parcours complet peut toujours etre subdivisé en petites boucles qui se compensent mutuellement sauf au bord, a condition d'avoir un lacet de classe nulle (pas de trou au milieu). Ce qui n'est pas le cas bien sur des geodesiques de la SP qui traversent des mailles....

Cdt

Gilles

[invité576543]

euh, comment ça? un lacet est toujours une courbe de dimension 1 non?

Ben oui! Si n=3, n-2=1

Cordialement,

[invité576543]

lors de l'integration du tenseur de courbure contracté avec le vecteur sur la 2-surface..

Quid des questions que je pose sur la notion même d'intégration d'un tenseur (1, 1) sur une surface?

(donc en tout cas la différence entre le vecteur initial et celui obtenu après un tour complet au meme point EST indéniablement un vrai vecteur ! et il me semble qu'on peut toujours considérer le même raisonnement physique que pour Stokes : le parcours complet peut toujours etre subdivisé en petites boucles qui se compensent mutuellement sauf au bord, a condition d'avoir un lacet de classe nulle (pas de trou au milieu).

C'est peut-être la définition de l'intégrale en question. Mais il me semble que c'est très différent de la notion d'intégration par addition, telle qu'applicable à un champ scalaire par exemple, ou à un champ de vecteurs en espace plat.

Mais à mon sens ça ne marche pas, parce que sur S3 il n'y a que des lacets de classe nulle (?), et qu'on peut imaginer une connexion qui fait un tour de torsion sur un grand cercle: je ne vois pas comment l'intégration du tenseur de courbure pourra donner ce tour complet (et en plus si on ne regarde que l'angle final, on perd l'information sur les tours complets...).

Je continue à me demander si l'intégrale non nulle du vecteur tangent le long du lacet intervient dans le calcul de la rotation par transport parallèle le long du lacet, en conjonction avec la torsion.

Cordialement,

[invité576543]

caractéristique d'Euler Poincaré non nulle, sauf erreur..quelle est celle de la SP ?

Par MP, homotopie indique que la caractéristique pour SP est nulle.

Cordialement,

[GillesH38a]

Ben oui! Si n=3, n-2=1

Cordialement,

ok je n'avais pas vu le "en 3D" !

sinon ce qu'on integre n'est pas vraiment un vecteur en fait, peut etre que la référence à Stokes est abusif Si tu veux calculer la variation du vecteur au bout d'un tour, tu intègres la variation des coordonnées lors d'un transport parallèle, qui n'est autre que la contraction de la connexion avec le vecteur :la connexion n'etant pas un tenseur, ce n'est pas un tenseur. Néanmoins bizarrement le résultat final est un vecteur, la partie "non-tensorielle" s'éliminant par le fait qu'on revient au point de départ. Et quelque part ca ressemble à Stokes parce que le tenseur de Riemann ressemble au rotationnel de la connexion... bon je t'avoue que je n'ai pas vraiment creusé ça, c'est un peu intuitif !

A part ça je me demande si la torsion "locale" intervient réellement dans ce calcul : est ce que son effet (qui est dans la partie antisymétrique de la connexion) ne s'annule pas justement sur tout lacet , et seul le tenseur de courbure intervient? ce qui voudrait dire alors que dans le cas de la sphère de SP la rotation de 2Pi/10 est absolument incontournable et ne pourrait etre annulée par une torsion (qui doit aussi respecter la continuité à la traversée de la surface ! )
bon j'ai pas le courage de regarder ça dans les équations ce soir...

Cdt

Gilles

[invite35452583]

Bonjour,
mmy m'avait contacté par MP. Je me suis d'abord déclaré incompétent car je ne maîtrise plus les notions de connexion, de torsion, et qu'intuitivement celles de transport parallèle. Dans un 2ème temps, je me suis rendu compte qu'il y avait quand même une grosse dose de topologie dans la question soulevée et j'ai pu apporter un début de réponse.
Je le réécrie un peu autrement : ce que je lui ai amené comme réflexion est que la géodésique de SP "tournant d'1/10 de tour" correspond dans S3 non à la géodésique en entier mais en 1/10 de celle-ci, c'est à dire un chemin (géodésique ici) ne seferme pas nécessairement. Or dans un revêtement universel comme Sl(2;F5)->S3->>SP (S3 est simplement connexe) un lacet de la base (SP, ici)) n'est homotopiquement trivial que si il se relève en un lacet dans l'espace complet (S, ici). Et, l'ordre du lacet=nombre de copies du lacet de la base nécessaire pour que ce nouveau lacet se relève en un lacet dans l'espace complet=ordre de l'élément g de la fibre (SL(2;F5) ici, ceci ne considère que la structure de groupe à iso près je suppose qu'il est nommé autrement dans l'utilisation ici) qui envoie l'origine du chemin dans S3 se projetant sur le lacet de SP sur l'extrémité de ce chemin. Si on note n cet ordre, le relevè des n copies de c (lacet de SP)=c'+gc'+g²c'+...+g^(n-1)c' où c' est le relevé (si on a fixé l'origine) ou un relevé sinon.
Les raisonnements aboutissant à une triade doit faire un nombre entier de tours (contraction d'un lacet vers le lacet trivial, ou l'utilisation d'"une formukle de Stockes" qui nécessite l'existence d'une surface homé à un disque se bordant sur le lacet fournit un lieu pour justifier que ce lacet est homotiopiquement trivial). Cet argument "fonctionne", resterait à bien le fonder, pour tout lacet de S3 un tant soi peu régulier (classe C1) mais ne fonctionne pas pour SP sauf à le compléter : rien d'anormal, a priori, de "tourner de k/n° de tour" pour un lacet dont la classe d'homotopie est d'ordre n dans le groupe fondamental.
Je crois que des explications précédentes ont tourné aussi autour de cela mais sans expliciter.
Ensuite j'ai fait un parallèle avec Z/2Z->S2->RP² (RP²=plan projectif réel ou surface de Boy). Si on prend un grand cercle de S2, l'origine sera identfié avec son point I diamétralement opposé (dans Rp²) qui est sur ce grand cercle. Maintenant on peut transporter parallèlement un vecteur perpendiculaire au vecteur tangent au cercle à l'origine, si celui--ci est dirigé vers le "pôle nord", il sera drigé vers le même pôle en M mais l'action de Z/2Z sur les espaces tangents envoie ce vecteur vers celui orienté vers le "pôle sud", il y a 1/2 tour (à 2pi près) dans RP², le lacet de RP² image du 1/2 grand cercle de S2 est d'ordre 2, quand on en "aura fait deux fois le tour" le vecteur perpendiculaire sera "revenu en place" (ou aura fait k tours c'est impossible d'affirmer l'un ou l'autre). On a bien une situation similaire avec un exemple plus simple mais moins complet car on ne peut pas suivre une rotation continue du vecteur perpendiculaire. Mais cette situation permet, d'après moi, de voir que le point de vue "les vecteurs ont tourné" n'est pas forcément le meilleur, ici il ne peut pas tourner, et il est hors de question de torsionner localement l'espace pour supprimer ce 1/2 tour. Cette rotation est bien celle du recollement.
A partir de maintenant, cela n'a plus fait partie de discussions entre mmy et moi même. Je vais essayer de faire un peu de géométrie.
Dans S3, après avoir laissé tomber le comment on calcule la rotation d'une triade que dans une autre situation que la comparaison entre position à l'origine du lacet, position à l'extrémité. Pour moi, je pensais que c'était le transport parallèle qui permettait de déplacer "sans rotation" les vecteurs alors je ne comprennais pas cette notion d'une "triade qui tourne lors d'un transport parallèle", "tourne" mais rapport à quoi ? la référence pour comparer n'est-elle pas justement le transport parallèle ? Bon maintenant je viens de voir dans le dernier post qu'il est question de "variation des coordonnées lors d'un transport parallèle, qui n'est autre que la contraction de la connexion avec le vecteur" notion que j'ai du mal à comprendre. Mais ce n'est pas grave car après tout l'espace homogène S3 a cette gentillesse d'accepter l'action libre et transitive d'un groupe de Lie : S3 groupe. Ainsi l'outil utilisé pour parler de "rotation" dans l'exemple de S2 et RP² est pour cet espace généralisable en tout point.
Aparté : cette opération indique qu'il existe une forme volume invariante pour S3 et donc pour le sous-groupe H d'ordre 120 et donc il existe une forme volume partout non nulle sur SP donc Sp est orientée et H3(SP,R)=R. Le groupe fondamental de SP est iso à H du fait du revêtement universel H->S3->SP. H1(SP,Z) est iso à l'abélianisé de H donc égal à {0}. H1(SP,R)={0}. Maintenant comme Sp es orienté, la dualité de Poincaré indique que H1(SP,R) et H2(Sp,R) sont isomorphes donc H2(Sp,R)={0}. La caractéristique d'Euler-Poincaré de SP=dim(H0)-dim(H1)+dim(H2)-dim(H3)=1-0+0-1=0.(Chassez le topologue, il revient au galop)
Comparons la triade obtenue par déplacement parallèle à partir d'une triade en un point M jusqu'à un point N en suivant une géodésique et la triade obtenue par la dérivée de l'opération produit par l'élément de S3 envoyant M sur N. Plutôt qu'un gros calcul (dont je ne suis plus capable) un raisonnement devrait faire l'affaire :
les éléments de S3 dont les deux images coïncident, soit un point M' on peut utiliser le produit par l'élément envoyant M sur M' pour transporter un une géodésique* allant de M à N et le déplacement parallèle vers un chemin allant de M' à N' avec le déplacement parallèle dérivé pour se rendre compte que c'est alors vrai pour tous les points M'. (* : on se simplifie la vie en remarquant que grand cercle, lieu des géodésiques et orbite des sousgroupes de S3 à un paramètre coïncident). Il est alors assez évident que c'est stable par produit, opération inverse, et que c'est stable par conjugaison interne. Bref, ces éléments forment un sous-groupe distingué. Or, ils ne sont pas légions dans S3 : {1}, {1;-1} et S3 lui-même si je me rappelle bien.
Or, cet élément -1 est bien pratique car on peut se restreindre à regarder seulement le vecteur tangent et le deuxième vecteur, puis considérer la sphère S2 tangente à ces deux vecteurs (quitte à plonger S3 dans R4 temporairement). On revient à la situation vue précédemment avec S² et RP² (sauf que le troisième vecteur tournant aussi on a bien globalement conservation de l'orientation). Donc pour -1 correspond un nombre semi-entier de tour. Seule, l'identité a deux images qui coïncident.
Maintenant le long d'un grand cercle qui passe obligatoirement en le point diamétralement opposé à M, l'opération de groupe fait que la rotation (désormais on sait qu'elle a lieu) se fait de manière uniforme (en particulier continue) et donc ce nombre semi-entier ne peut être qu'égal à 1/2 sinon pour un point donné les deux images des triades coïncideraient.
On a donc bien relativement par ces deux opétrations (transport parallèle et dérivée du produit) une rotation d'angle x pour un angle x de géodésique (1/10 de tour relativement pour 1/10 de géodésique).
Maintenant qui tourne ? quitte à contredire mmy (il me pardonnera peut-être) je pense qu'il faut comme alain considérer qu'en quelque sorte l'espace tourne lui-même mais c'est déjà le cas dans S3 (ceci de manière continue avec le déplacement). Si dans S3 la triade revient finalement sur elle-même la géométrie de l'espace a elle fait un tour complet indétectable dans S3 elle-même mais détectable dans ses quotients (SO(3) : un 1/2 tour à chaque tour de géodésique, ça a l'élégance d'être uniforme, 1/2,1/4,1/6 ou 1/10 dans SP selon la géodésique empruntée, toujours pair car le relevé dans S3 d'une géodésique de SP passe toujours par le point diamétralement opposé). Il n'y pas de discontinuité réelle aux passages de 1/2 vers une autre valuer de portion de tour (toujours isolée car en nombre fini). En effet, pour voir cela plaçons-nous dans S3 et choississons un point quelconque. 120 points lui seront identifiés. Les 1/2 géodésiques de S3 se projètent sur un lacet géodésique d'ordre 2 (par rapport au groupe fondamental de SP et de l'inverse du "nombre de tour d'une triade") et dans le cas général sans point double car ne passe que par le point diamétralement opposé des 119 autres points. Pour quelques directions, la géodésique dans SP est un multiple d'un même lacet. Mais si on passe continuement d'un chemin du cas général à un cas particulier la géodésique vient s'enrouler continuement en plusieurs tours sur un même lacet.
Voilà comment je "sens" les choses. J'aimerais bien savoir quand même si la torsion locale peut modifier ces "rotations intrinsèques" (AMTHA, non).

[invité576543]

Bonsoir,

@homotopie

Merci pour toutes les infos! Je suis loin d'avoir tout intégré. Certains points m'amènent des questions latérales. En voilà une:

Tu dis à un moment qu'un lacet sur SP n'est trivial que s'il se relève en un lacet sur S3.

Question peut-être stupide: SP n'est pas simplement connexe, si? Je pensais justement que les lignes genre centre de face à centre de face étaient des exemples de lacet non triviaux. Du coup je ne sais plus trop à quoi ressemble un lacet non trivial sur SP, ou même s'il y en a!

Cordialement,

Michel

[invitebe47a762]

Muni d'un joli modèle 3D du dodécaèdre (et grâce à des papiers gentiment indiqués par MartiniBird), je crois avoir compris les bases de ce qu'est la sphère de Poincaré, et je me suis posé la question des géodésiques dans un tel espace. L'espace étant de courbure positive, ce ne sont pas des droites 3D euclidiennes, mais ce qui me gêne c'est que ça tourne.

Bonjour, j'ai quelques questions sur cet problème ci, sûrement à cause de ma propre ignorance de topologie.

D'abord, je ne voit pas pourquoi il doit être une relation entre géodésiques et la topologie de la sphère de Poincaré excepté la courbure. Au moins, on devrait être capable d'analiser géodésiques (la géométrie differentiel dans un seul voisinage) sans regarder la topologie de toute la variété, me trompe-je?

Deux, quand tu dis,

Les deux vecteurs perpendiculaires à la géodésique tournent autour de la tangente à la géodésique

Qu'est-ce que tu veux dire? Comment sais-tu que les vecteurs tournent? La seul faiçon à comparer deux vecteurs dans positions différentes de ta variété que tu as, c'est par la connexion. Ta connexion te dit que ces deux vecteurs sont parallels. Pourquoi dis-tu qu'ils tournent?

Il me semble que tu transfères ton idée de transport parallèle dans l'euclidienne à cette cas. Ce n'est pas mal mais on doit être soigneux. Parce que afin de faire cela, on doit s'imaginer la variété en question enfoncée dans l'espace euclidien, transporter parallement là, et après réaliser une sorte de projection sur ta variété en tenant compte de la courbure, je pense. Si par example, tu fais cela dans une courbe de, pas une géodésique, mais une parallèle, tu peux comprendre pourquoi un vecteur perpendiculaire tourne. Néanmoins, je peux pas m'imaginer

La torsion sûrement joue un rôle. Tu sais que la conexion peut être défini par des 'frames' (je ne connais pas le mot français) partout. Donc

Alors tu peux comprendre mieux le sens de la torsion si tu sais que c'est une application sur deux vecteurs qui en rends un et défini par

quand et commute.

De plus, fais attention au fait que je n'ai pas parlé sur la métrique. N'a rien a faire avec transport parallèle.

Corrige-moi si je me trompe. Chao


Ursula