Métrique de la sphère de Poincaré

[invité576543]

Bonjour,

Je subis une petite crise de topologie, et dans ce cadre essaye de faire faire à ma culture personnelle quelques progrès dans le domaine des variétés fermées 3D.

Muni d'un joli modèle 3D du dodécaèdre (et grâce à des papiers gentiment indiqués par MartiniBird), je crois avoir compris les bases de ce qu'est la sphère de Poincaré, et je me suis posé la question des géodésiques dans un tel espace. L'espace étant de courbure positive, ce ne sont pas des droites 3D euclidiennes, mais ce qui me gêne c'est que ça tourne.

Les deux vecteurs perpendiculaires à la géodésique tournent autour de la tangente à la géodésique lorsqu'on la parcourt par transport parallèle, seul moyen (il me semble) que ça recolle correctement lors de la fermeture de la géodésique sur elle-même.

J'imagine que ça correspond à la torsion? Ca a un sens, une métrique avec torsion? Et si oui, qu'est-ce que ça veut dire? Y-a-t-il une autre métrique plus "propre"? Ou suis-je complètement à côté de la plaque? Comment JP Luminet et consorts abordent-ils la métrique dans cet espace?

(Je n'ai pas encore fait le calcul des géodésiques; pour l'instant j'imagine, au sens me faire des images. Comme idée pour les calculer, il me semble qu'il faut prendre les grands cercles sur S3, et prendre la sphère de Poincaré comme ayant 120 images dodécaèdriques sur S3, très précisément les 120 cellules de l'hyperdodécaèdre. Cela revient à prendre comme métrique celle dérivée de la métrique de R⁴, en passant par celle induite sur S3...)

Merci d'avance,

Cordialement,
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[invité576543]

Bon, j'ai progressé tout seul sur ma question

Je réalise que dans les textes il est toujours question de connexion sans torsion. J'en avais compris, bien trop vite, qu'on ne pouvait pas parler de connexion avec torsion avec une métrique.

Je pense maintenant que ça peut avoir un sens.

Comme réfléchir sur S3 n'est pas si facile, j'ai essayé de comprendre le cas de T3 (S1xS1xS1). Il me semble alors qu'on peut parler des connexions
étant un facteur quelconque. Une telle connexion (qui présente une torsion) reste (?) compatible avec la métrique nulle (i.e., ne change pas les géodésiques). Dans le cas T3, certaines valeurs de permettent de "recoller" correctement de manière à ce que le parcours d'un grand cercle n'introduise pas de changement d'orientation. Les valeurs sont quantifiées d'ailleurs.

Dans le cas de la sphère de Poincaré, il doit exister pareillement une connexion avec torsion sur S3 compatible avec la métrique usuelle et telle qu'un grand cercle recolle avec exactement un tour de rotation "autour" de la tangente. Cette connexion permet (il me semble) de recoller sans changement d'orientation les géodésiques sur la sphère de Poincaré.

Visuellement c'est plus naturel sur la sphère de Poincaré que la connexion sans torsion. Mais je n'ai aucune idée du sens physique d'une connexion avec torsion.

Cordialement,

[invitea29d1598]

salut,

pas le temps de te répondre (ni même de lire en détail ce que tu as écrit), mais puisque tu sembles avoir quelques pbs liés à des trucs légèrement au-delà de la géométrie riemannienne, je te conseille de jeter un oeil sur cet article qui replace divers trucs de géo diff (entre autres la torsion) dans le cadre de la physique des milieux cristallins avec défauts. En particulier l'appendice final donne une vue assez synthétique de choses souvent passées sous silence dans les intros à la GD.

[invité576543]

Merci!

Au cas où quelqu'un cherche à comprendre mes élucubrations, je que j'appelle "grands cercles" sont les géodésiques fermées. Sur T3 il y a des géodésiques non fermées. Mais il ne doit pas y en avoir (?)dans la sphère de Poincaré avec la métrique induite par R4, s'il n'y en a pas (?) dans S3.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteefca5e50]

Pourriez vous s'il vous plait 'indiquer un article où on explique en gros de quoi vous parler, je suis perdu. De préférence en français. La sphère de Poincarré ?
MERCI

[invité576543]

Pourriez vous s'il vous plait 'indiquer un article où on explique en gros de quoi vous parler, je suis perdu. De préférence en français. La sphère de Poincarré ?
MERCI

Plutôt que de rentrer dans les détails, un des intérêts de l'espace particulier à trois dimensions appelé sphère de Poincaré vient d'une hypothèse faite par JP Luminet et alter sur la forme de l'Univers. Voir par exemple cette page

Cordialement,

Edit : http://www.planetastronomy.com/speci...10juin2005.htm aussi. Avec des liens à la fin...

[invité576543]

L'article cité par Rincevent me permet de clarifier mon problème. C'est la recherche d'un champ de triade continu. Les tentatives "visuelles" d'en faire un pas trop loin du champ euclidien obligent à mettre une torsion pour garder la continuité au moment du passage d'une face à son opposée.

La question est donc sur l'existence d'une géométrie de Riemann-Cartan, avec une métrique qui serait celle dérivée de R4 via l'hyperdodécaèdre et permettant un champ continu de triades. J'ai l'impression qu'on ne peut pas le faire avec une torsion nulle.

Dans le texte on trouve

Thus, a vielbein may exist globally only on orientable manifolds. There are also other topological restrictions for the global existence of a vielbein that we do not discuss here.

Mais il n'y a pas de développement sur les restrictions mentionnées. Il n'est pas impossible qu'une torsion particulière soit nécessaire pour une géométrie ayant les propriétés indiquées.

un autre point qui m'intrigue est

In a Riemann–Cartan geometry, geodesics and extremals coincide if and only if the torsion tensor is antisymmetric in all three indices.

Ce serait joli si une torsion proportionnelle à avec le bon coefficient associée à la métrique dérivée de R4 donnait la géométrie permettant un champ continu de triade.

Je n'ai pas les outils techniques et mentaux pour approfondir, mais c'est intrigant...

Cordialement,

[inviteefca5e50]

Merci pour cette page, je vais m'y mettre, je vous donnerai des nouvelles.

[invite8915d466]

hum, je pense que je vais plus poser des questions qu'apporter des réponses. Il ne me semblait pas que la torsion soit nécessaire si on ne tient pas compte de quantités tensorielles découplées des tenseurs "spatiaux" (c'est à dire, on est obligé de l'introduire qu'avec du spin). Le fait que le transport parallèle "tourne" quand on revient dans la maille n'est-il pas simplement une conséquence de la courbure de la sphère de Poincaré , et donc pas directement relié à la torsion?

ensuite si tu veux construire un champ continu de vecteurs tu vas bien sûr etre contraint par la topologie de l'espace pour te "raccorder" correctement, ce qui va t'imposer des conditions globales au champ , mais ce n'est pas lié à la torsion : tu ne peux de toutes façons pas construire un champ continu de vecteurs par transport parallèle, justement à cause de la courbure...meme pas sur la Terre ! si tu définis un champ de vecteur "vers le nord" transportés parallèlement sur l'équateur, tu ne peux plus raccorder deux points antipodaux de l'équateur en circulant sur un méridien par exemple...

cdt

Gilles

[invité576543]

Le fait que le transport parallèle "tourne" quand on revient dans la maille n'est-il pas simplement une conséquence de la courbure de la sphère de Poincaré , et donc pas directement relié à la torsion?

Je me suis posé la question, et il me semble que la réponse est non. Le raisonnement est assez simple: si je prend S3 comme l'union de 120 copies de la sphère de Poincaré, une géodésique allant du centre d'une face à l'opposée est exactement une portion de grand cercle de S3. Et la torsion de chaque face traversée correspond à exactement une torsion d'un tour en fermant le grand cercle de S3. Et ça semble être la même valeur quand on va de sommet en sommet ou de milieu de côté à milieu de côté. Cette torsion de un tour n'est pas liée à la courbure de S3 (on peut l'enlever sur S3), et la courbure de la sphère de Poincaré est la courbure de S3.

ensuite si tu veux construire un champ continu de vecteurs tu vas bien sûr etre contraint par la topologie de l'espace pour te "raccorder" correctement, ce qui va t'imposer des conditions globales au champ , mais ce n'est pas lié à la torsion : tu ne peux de toutes façons pas construire un champ continu de vecteurs par transport parallèle, justement à cause de la courbure...meme pas sur la Terre ! si tu définis un champ de vecteur "vers le nord" transportés parallèlement sur l'équateur, tu ne peux plus raccorder deux points antipodaux de l'équateur en circulant sur un méridien par exemple...

Ce que tu décris est sur S2. Je ne sais pas si cela s'applique sur S3 et encore moins sur la sphère de Poincaré. (S1 est coiffable, S2 ne l'est pas, rien de général donc...) C'est possible que ce soit encore plus compliqué en 3D, en fait.

Mais sur S2 on peut faire une dyade continue sur un grand cercle; et sur S3 on peut faire une triade continue sans torsion sur un grand cercle, il me semble: rien qu'en se cantonnant à cela la sphère de Poincaré semble particulière.

Cordialement,

[invite8915d466]

Je me suis posé la question, et il me semble que la réponse est non. Le raisonnement est assez simple: si je prend S3 comme l'union de 120 copies de la sphère de Poincaré, une géodésique allant du centre d'une face à l'opposée est exactement une portion de grand cercle de S3. Et la torsion de chaque face traversée correspond à exactement une torsion d'un tour en fermant le grand cercle de S3. Et ça semble être la même valeur quand on va de sommet en sommet ou de milieu de côté à milieu de côté. Cette torsion de un tour n'est pas liée à la courbure de S3 (on peut l'enlever sur S3), et la courbure de la sphère de Poincaré est la courbure de S3.

OK, c'est lié à la courbure ET à la topologie de la sphère de Poincaré : la rotation globale étant bien entendu dépendante de la courbure et du chemin d'intégration. Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi tu en déduis la nécessité d'une torsion alors que cette rotation par transport parallèle n'est aucunement genante en soi il me semble? si ça fait un tour complet, ca reste continu sur le grand cercle?

cdt

Gilles

[invité576543]

OK, c'est lié à la courbure ET à la topologie de la sphère de Poincaré : la rotation globale étant bien entendu dépendante de la courbure et du chemin d'intégration. Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi tu en déduis la nécessité d'une torsion alors que cette rotation par transport parallèle n'est aucunement genante en soi il me semble? si ça fait un tour complet, ca reste continu sur le grand cercle?

Prenons S3, et une triade orthonormée (u, v, w) continue le long d'un grand cercle telle que u soit tangent au grand cercle. Alors je peux en fabriquer d'autres qui présentent n rotations des vecteurs v et w autour de u par tour de grand cercle, relativement à la triade de référence. Si j'indexe les points du grand cercle par x, avec x de 0 à 1 pour un tour de grand cercle, une triade de paramètre n est (n=0 correspond à la référence). A ce que j'en comprend au maximum une seule de ces triades est sans torsion d'ensemble.

Une autre manière de voir les choses est de prendre un tore centré sur le grand cercle: on entoure le cercle par un tube. En un point donné du grand cercle, le vecteur v correspond à un point du tore dans le plan perpendiculaire à u. Ce point parcourt une ligne qui se referme sur elle-même au bout d'un "grand tour" par hypothèse de continuité de la triade; topologiquement, cette ligne a une classe d'homotopie indexée par Z², et est classable comme (1, n), n étant le nombre de "petits tours". Seul n=0 correspond, il me semble, à l'absence de torsion d'ensemble.

Ce n n'a rien à voir avec la courbure de S3. C'est une propriété de la triade, on peut fabriquer des triades pour chaque valeur de n dans Z, et chaque n correspond à des classes topologiquement distinctes (correspondant à certaines classes d'homotopie du tore).

Sur cette base, il me semble qu'une triade continue sur la ligne joignant le centre du dodéca au centre d'une face puis réciproquement, sur la sphère de Poincaré n'est continue que si n/10 = 1/10 modulo 1, soit n=1 modulo 10 (ou -1, selon la chiralité de la sphère de Poincaré). Cela exclut n=0, le cas sans torsion.

En espérant que j'arrive à être plus clair!

Cordialement,

[invité576543]

Un petit point qui manque peut-être: la ligne en question sur la sphère de Poincaré donne automatiquement une ligne continue quand on pave S3 avec 120 sphère de Poincaré. Une triade continue sur la ligne dans SP donne ainsi automatiquement une triade continue sur la ligne correspondante de S3, et le n est question est celui de la ligne de S3.

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Au passage je réalise qu'on peut parler de tout cela sans géodésique, juste à partir de propriétés topologique des lacets et des triades continues sur ces lacets. Un espace multiconnexe est caractérisé par l'existence de plusieurs classes d'homotopie (il me semble), d'où la différence avec un espace comme R3.

Je comprend la courbure comme étant liée aux lacets de la classe d'homotopie triviale (le tenseur de Riemann correspond à la rotation d'un vielbein transporté parallèlement autour d'un lacet trivial que l'on fait tendre vers un point). Ce que je regarde est l'équivalent pour un lacet non trivial, plus exactement pour un cas particulier d'un tel lacet.

Je ne sais pas s'il y a une relation entre la torsion "locale" et ce que j'appelle intuitivement la torsion d'ensemble le long d'un lacet non trivial.

Dans l'article Wiki sur le modèle Einstein-Cartan la torsion est présentée comme en rapport avec les translations, la courbure étant en relation avec les rotations. Intuitivement, la rotation correspond à un lacet trivial infinitésimal, et un lacet non trivial en multi-connexe correspond assez bien à une translation. Il n'y qu'un pas de là pour penser que la torsion d'ensemble le long du lacet est une sorte d'intégrale de la torsion locale, intégré sur un tour du lacet.

Enfin, si cette vision est correcte, la torsion d'ensemble non nulle implique que la torsion ne peut pas être localement nulle partout. Vu comme ça la question que je pose est si on peut avoir une torsion partout nulle pour une connexion sur la sphère de Poincaré, et la réponse proposée est non parce que la torsion d'ensemble d'au moins un lacet non trivial n'est pas nulle.

Cordialement,

[invite8915d466]

Rebjr

A ce que j'en comprend au maximum une seule de ces triades est sans torsion d'ensemble.

hum je n'ai pas vraiment reflechi à tout ça, mais je pense qu'il faut etre prudent avec les propriétés topologiques avec des espaces un peu tordu . Par exemple comment définit-on une "torsion d'ensemble" de maniere intrinseque ? quand tu dis que la triade "fait un tour", c'est par rapport à quoi (ça suppose de la repérer par un point "fixe" sur le cercle mais comment définis tu ce point "fixe")?

cdt
Gilles

[invité576543]

hum je n'ai pas vraiment reflechi à tout ça, mais je pense qu'il faut etre prudent avec les propriétés topologiques avec des espaces un peu tordu .

Pour mon propos, je n'ai besoin que des propriétés topologiques de S3, qui est le recouvrement de la sphère de Poincaré. Je ne sais pas si S3 est "un peu tordu"

Par exemple comment définit-on une "torsion d'ensemble" de manière intrinsèque ? quand tu dis que la triade "fait un tour", c'est par rapport à quoi (ça suppose de la repérer par un point "fixe" sur le cercle mais comment définis tu ce point "fixe")?

Je vois bien le problème, c'est pour cela que j'ai pris une triade de référence. Il n'y a aucun problème à définir "faire un tour" par rapport à cette triade de référence.

Mais la courbure est intrinsèque, et le peu que je comprend du sujet donne la torsion locale comme tout autant intrinsèque. La torsion est un tenseur que j'interprète comme la rotation infinitésimale quand on avance dans la direction .

Intuitivement, on doit pouvoir intégrer la composante de la torsion locale dans la direction de la tangente du lacet sur un tour de lacet. C'est cela qui correspond à ce que j'appelle la torsion d'ensemble.

Cela devrait permettre de définir une triade sans torsion d'ensemble le long d'un lacet.

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Autre approche:

Topologiquement, la question d'une triade "intrinsèquement sans torsion d'ensemble" le long d'un lacet fermé de S3 semble revenir à l'existence ou non d'une classe d'homotopie intrinsèque (1,0) de lacets sur un tore plongé dans S3. Intuitivement ça doit être le cas, parce que le lacet simple correspondant à l'axe du tore "se démêle" d'un lacet (1, 0) sur le tore avec une et seule coupure, ce qui doit fournir un invariant topologique pour les lacets sur un tore plongé dans R3 (donc dans S3, par compacité du tore, en espérant que je ne dis pas trop de conneries...). Ca doit être la même chose que les classes d'homotopie dans R3 privé d'un lacet en noeud trivial.

Ca demanderait d'être mis en forme par un topologue, mais ça me semble tenir la route.

Si la notion de classe (p, q) d'homologie pour un lacet sur un tore plongé dans R3 est intrinsèque, alors un lacet de classe (1,0) peut être pris comme référence pour fabriquer une triade "sans torsion d'ensemble" le long d'un lacet de S3, et la notion de "faire n tours" pour une autre triade se définit par rapport à cette triade sans torsion d'ensemble, et correspond aux lacets (1, n) sur le tore.

Cordialement,

[invité576543]

Si la notion de classe (p, q) d'homologie pour un lacet sur un tore plongé dans R3 est intrinsèque

Au signe de pq près, ce qui doit être lié à un choix d'orientation de R3...

Cordialement,

[invite8915d466]

hum je pense que je commence à percevoir ce que tu veux dire , mais je n'ai pas l'impression d'aboutir aux memes conclusions : si je comprends bien ce que tu dis, la connexion sans torsion conduit à faire tourner "globalement" le lacet sur le tore et fournit un lacet de classe d'homotopie (1,1) sur le tore : si on veut un lacet de classe d'homotopie (1,0), (considéré comme "sans torsion globale") on doit alors utiliser une connexion avec torsion. La torsion "globale" (n≠ 0) n'est donc pas l'intégrale de la torsion "locale" puisque justement pour une torsion locale nulle on a une torsion globale? c'est la topologie d'ensemble de la sphère de Poincaré qui impose cette torsion globale et non l'existence de la torsion locale (que je visualise comme le fait qu'un transport parallèle d'un vecteur conduit à le faire tourner par rappotrt aux déplacements géodésiques infiniment voisins).

A mon avis le choix de prendre une connexion avec ou sans torsion est arbitraire, : evidemment la condition d'obtenir une triade continue sur une géodésique par transport parallèle impose des conditions sur cette torsion : mais si j'ai bien compris, tu dis qu'une torsion nulle conduirait à faire un "petit tour" complet au bout d'un grand tour, ce qui respecterait finalement la continuité de la triade..

cdt

Gilles

[invite79aadfd3]

Bonjour,
J'imagine que ça correspond à la torsion? Ca a un sens, une métrique avec torsion? Et si oui, qu'est-ce que ça veut dire? Y-a-t-il une autre métrique plus "propre"? Ou suis-je complètement à côté de la plaque? Comment JP Luminet et consorts abordent-ils la métrique dans cet espace?

Un metrique avec torsion cela existe, mais ca n'est pas de la relativite generale. Il n'y a pas de torsion dans l'espace de Poincare.

[invité576543]

mais si j'ai bien compris, tu dis qu'une torsion nulle conduirait à faire un "petit tour" complet au bout d'un grand tour, ce qui respecterait finalement la continuité de la triade..

Je ne dis pas cela parce que je ne vois pas ce que pourrait être une torsion nulle sur la sphère de Poincaré!

La première question est peut-être de comprendre si on peut avoir une connexion de torsion partout nulle sur S3, et si, dans ce cas, étant donnée une géodésique au sens de la connexion (dérivée covariante nulle du vecteur tangent dans sa direction), on peut avoir une triade

1) respectant la connexion (dérivée covariante nulle de la triade dans la direction du vecteur tangent),
2) dont un des trois vecteurs est le vecteur tangent
3) qui fait un "nombre de tours" arbitraire au sens du lacet dessiné par l'un des deux vecteurs perpendiculaires

Si la réponse est oui, alors effectivement, la manière dont j'aborde le problème est fondée sur une erreur.

Si la réponse est non, plus précisément si la torsion partout nulle implique que le nombre de tours est 0 pour le cas décrit, alors la question que je pose est pertinente. Pourquoi? Le raisonnement, plus ou moins déjà donné (mais qui se rigorise petit à petit...)(1), est le suivant:

Du lacet non trivial qui va du centre du dodéca au centre de face et de là au centre du dodéca en continuant dans le même sens, on peut construire un lacet continu sur S3. Et même chose pour une triade sur ce lacet.

D'une connexion sur SP on peut (?) induire une connexion sur S3.

Une fois dans S3 on peut appliquer ce qu'on a vu avant.

Or, en regardant sur l'hyperdodéca, il est clair que la rotation de 1/10ème de tour de face à face se fait toujours dans le même sens tout au long des 10 traversées de copies de SP dans S3, ce qui donne une rotation d'un tour au total dans S3. Si on ne peut pas faire cela avec une connexion de torsion partout nulle sur S3, je ne vois pas comment on peut le faire sur SP.

Tout cela exploite à fond l'idée que tout ce qu'on définit continument sur SP se remonte à S3 en quelque chose de continu obtenu en recollant 120 images de SP, recollement continu par hypothèse de continuité sur SP. Pour moi c'est pareil que lorsqu'on remonte les propriétés d'un tore à un pavage répétitif sur R2.

Cordialement,

(1) J'en profite pour remercier les intervenants et Gilles en particulier, pour ces interventions qui m'obligent à mieux penser ce qui n'est au début qu'une "vision"...

[invité576543]

Un métrique avec torsion cela existe

Maintenant que je comprends mieux, il me semble que ce n'est pas la métrique qui peut présenter une torsion, mais la connexion. Il n'y a qu'une connexion de torsion nulle compatible avec une métrique, mais il y a d'autres connexions compatibles avec une métrique que celle-ci.

, mais ça n'est pas de la relativité générale.

Non, ça n'est pas! Mais si j'ai bien compris, ça peut être la théorie Einstein-Cartan, et ça peut être considéré comme mieux, la RG Riemannienne étant alors une simplification de ça.

Il n'y a pas de torsion dans l'espace de Poincare.

Pourquoi? As-tu des références permettant d'appuyer cette phrase? Si oui, ça m'intéresse!

Cordialement,

[invite79aadfd3]

Pourquoi? As-tu des références permettant d'appuyer cette phrase? Si oui, ça m'intéresse!

Par définition, l'espace de Poincaré est construit en quotientant S3 par un groupe discret. Donc l'espace de Poincaré a la même métrique localement que S3 qui est son groupe de recouvrement universel, de la même façon qu'une bouteille de Klein a localement la même métrique que l'espace euclidien tridimensionnel.

[invité576543]

Par définition, l'espace de Poincaré est construit en quotientant S3 par un groupe discret. Donc l'espace de Poincaré a la même métrique localement que S3 qui est son groupe de recouvrement universel, de la même façon qu'une bouteille de Klein a localement la même métrique que l'espace euclidien tridimensionnel.

Il n'y a pas qu'une seule métrique pour un espace topologique donné. Je pense que tu parles de la métrique induite, d'abord de R⁴ muni de la métrique euclidienne à S3 plongé dans R⁴, puis de S3 à la sphère de Poincaré.

(Je ne comprend pas ce que tu écris sur la bouteille de Klein. Le seul parallèle que je vois serait avec la BK comme espace quotient de l'espace euclidien bidimensionnel, pas tridimensionnel. Mais peut-être est-ce ce que tu voulais dire.)

Et j'ai du mal à voir là une réponse à ma question, puisque la notion de torsion n'est pas liée directement à la métrique. Même si je ne vois pas exactement comment, j'ai cru comprendre qu'on pouvait avoir une connexion avec torsion qui soit compatible avec une métrique, et je n'ai vu nulle par que la métrique euclidienne, ou qu'une métrique induite par l'euclidienne, ait quelque chose de particulier dans le domaine. Mais si c'est le cas, ça m'intéresse.

Cordialement,

[invite79aadfd3]

Il n'y a pas qu'une seule métrique pour un espace topologique donné. Je pense que tu parles de la métrique induite, d'abord de R⁴ muni de la métrique euclidienne à S3 plongé dans R⁴, puis de S3 à la sphère de Poincaré.

(Je ne comprend pas ce que tu écris sur la bouteille de Klein. Le seul parallèle que je vois serait avec la BK comme espace quotient de l'espace euclidien bidimensionnel, pas tridimensionnel. Mais peut-être est-ce ce que tu voulais dire.)

Et j'ai du mal à voir là une réponse à ma question, puisque la notion de torsion n'est pas liée directement à la métrique. Même si je ne vois pas exactement comment, j'ai cru comprendre qu'on pouvait avoir une connexion avec torsion qui soit compatible avec une métrique, et je n'ai vu nulle par que la métrique euclidienne, ou qu'une métrique induite par l'euclidienne, ait quelque chose de particulier dans le domaine. Mais si c'est le cas, ça m'intéresse.

Cordialement,

Quand on parle de S3, il s'agit ici de l'espace a symetrie maximale dont l'element de longueur peut s'ecrire

dl^s = dr^2 + s_K^2(r) [d theta^2 + sin^2 theta d phi],

ou s_K (r) = sin(sqrt(K) r) / sqrt(K)

(la limite K tend vers 0 donne la metrique tridimensionnelle euclidienne)
Ce n'est donc pas juste l'espace topologique S^3 usuel (de meme que quand je parle de R^3, je le munis de sa metrique euclidienne usuelle)

Cet espace S3 est topologiquement simplement connexe, mais on peut le paver de differentes maniere par un volume appele domaine fondamental dont les images par une isometrie appelee groupe d'holonomie permettent de paver l'espace, de la meme facon que l'on peut paver l'espace tridimensionnel euclidien R^3 par les image d'un cube (ou d'un parallelepipede quelconque) sous l'action d'un groupe dont les generateurs sont les translations dont les vecteurs sont determines par les aretes du parallelepipede. L'espace ainsi obtenu se represente par un cube dont les face opposees sont identifiees 2 a 2 (comprendre : quand on sort par un cote, on reentre par l'autre).

Il est relativement intuitif de paver un espace tridimensionnel euclidien, et toutes les facons de le paver sons connues depuis belle lurette (cf les groupes de cristallographie). Evidemment pour definir une metrique non pathologique avec un tel quotientage, il faut s'assurer de certaines choses, en particulier que le groupe d'holonomie n'ait pas de points fixes (pourquoi ?). C'est plus difficile a se representer cela pour S3, car un humain normal n'a aucune chance sans entrainement de visualiser correctement ce qu'est un S3, sans meme parler de ses quotients. Ceci dit, avec quelques efforts, on finit par y arriver, mais meme dans ce cas, l'espace de Poincare n'est certainement pas le plus intuitif (mieux vaut commencer par les espaces prismes et les espaces lentilles).

Pour le reste : la bouteille de Klein existe a 2 et a 3 dimensions (comme le tore). La representation que vous avez manifestement en tete est un plongement (pathologique) de K^2 dans R^3, qui n'est de fait pas muni d'une metrique localement euclidienne, tout comme le tore T^2 a deux dimensions represent\'e sous forme de beignet n'est pas muni d'une metrique euclidienne, alors qu'un T^2 muni d'une metrique euclidienne existe bien sur (mais n'est pas representable dans R^3 ; pourquoi ?)

Pour une representation intuitives de differentes topologies multiconnexes de R^3, vous pouvez jeter un oeil sur http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0312312 . Pour celles de S^3, vous pouvez toujours tenter le simulateur de vol de Jeff Weeks, quoique je doute que cela vous paraisse immediatement intuitif (cf plus haut, mais avec de l'entrainement...) http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html

Sinon, oui, il est possible sur une variete de rajouter une torsion en sus de la metrique, neanmoins cela ne se fait pas en RG. La raison en est que si l'on varie independamment la torsion et la metrique (la fameuse variation de Palatini), on trouve que la torsion est trivialement nulle (quoique le calcul ne soit pas immediatement trivial ; exercice, le faire).

[invite8915d466]

Je ne dis pas cela parce que je ne vois pas ce que pourrait être une torsion nulle sur la sphère de Poincaré!

ben.. simplement dont la connexion est donnée par les Christoffels associés à la métrique (celle de S3 donc...).

La première question est peut-être de comprendre si on peut avoir une connexion de torsion partout nulle sur S3, et si, dans ce cas,

bien sur que oui (celle de la RG)

étant donnée une géodésique au sens de la connexion (dérivée covariante nulle du vecteur tangent dans sa direction), on peut avoir une triade

1) respectant la connexion (dérivée covariante nulle de la triade dans la direction du vecteur tangent),
2) dont un des trois vecteurs est le vecteur tangent
3) qui fait un "nombre de tours" arbitraire au sens du lacet dessiné par l'un des deux vecteurs perpendiculaires

Si la réponse est oui, alors effectivement, la manière dont j'aborde le problème est fondée sur une erreur.

si la torsion (locale) est nulle, ça impose la connexion de manière unique (celle de la RG), et le "nombre de tours" autour du tore n'est pas arbitraire : il est nul pour S3, et peut etre ,si je te crois, 1 pour la sphère de Poincaré

Si la réponse est non, plus précisément si la torsion partout nulle implique que le nombre de tours est 0 pour le cas décrit

pas nécessairement !

Or, en regardant sur l'hyperdodéca, il est clair que la rotation de 1/10ème de tour de face à face se fait toujours dans le même sens tout au long des 10 traversées de copies de SP dans S3, ce qui donne une rotation d'un tour au total dans S3. Si on ne peut pas faire cela avec une connexion de torsion partout nulle sur S3, je ne vois pas comment on peut le faire sur SP.

je ne pense pas que ce soit impossible qu'il y ait zero tour dans S3 et un dans SP : si tu decoupes S3 en 120 dodecagones , en quelque sorte, ce sont les dodecagones qui tournent par rapport à la géodesique de S3 et c'est cette maille qui fait un tour complet "sur elle meme" quand tu reviens au point de départ. Vu dans l'espace quotient SP, c'est effectivement la triade qui aura semblé tourner d'un tour. Mais la connexion locale sera toujours restée sans torsion.

C'est a dire que ce que tu appelles la "torsion globale" n'est pas l'integrale de la torsion locale, parce qu'elle dépend aussi de la topologie globale de ton espace.

Cdt

Gilles

[invite79aadfd3]

Pour une representation intuitives de differentes topologies multiconnexes de R^3, vous pouvez jeter un oeil sur http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0312312 .

Correctif, il s'agit en fait de http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0311314 , pages 3 a 5.

[invité576543]

ben.. simplement dont la connexion est donnée par les Christoffels associés à la métrique (celle de S3 donc...).

C'est la continuité qui me trouble. Passer de quelque chose de continu sur SP à quelque chose de continu sur S3, OK. Mais dans l'autre sens, cela demande quelque chose de plus.

Si tu prend un tore comme quotient du plan, on voit bien qu'il n'est pas vrai qu'un champ continu quelconque sur le plan donne quelque chose sur le tore.

Maintenant, la métrique usuelle de S3 est homogène et isotrope, donc se répète parfaitement sur tout pavage régulier.

je ne pense pas que ce soit impossible qu'il y ait zéro tour dans S3 et un dans SP :

C'est possible, mais alors c'est ça que je n'arrive pas à comprendre!

(Mais je ne comprend pas ce que tu entends pas "un tour dans SP".)

si tu découpes S3 en 120 dodécaèdres , en quelque sorte, ce sont les dodécaèdres qui tournent par rapport à la géodésique de S3 et c'est cette maille qui fait un tour complet "sur elle même" quand tu reviens au point de départ.

Ca c'est clair!

Le problème est que SP n'est pas isotrope. Il y a des directions spéciales, et quand la maille "tourne" ces directions spéciales tournent aussi.

Vu dans l'espace quotient SP, c'est effectivement la triade qui aura semblé tourner d'un tour. Mais la connexion locale sera toujours restée sans torsion.

Si on part d'une triade à zéro tour dans S3, ce sont les directions spéciales qui ont (et non pas semblent avoir) tourné d'un tour dans SP.

Cela pose un problème de continuité, il me semble. Parce que le long du tour sur S3, on aura fait 10 tours (dans le cas centre/centre face) dans SP, dont rencontré 10 fois le point. Par hypothèse de continuité à chaque passage, les directions spéciales sont dans les mêmes positions relatives par rapport à la triade. Et je ne vois pas comment c'est possible avec en moyenne 1/10ème de tour de ces directions par rapport à la triade.

C'est a dire que ce que tu appelles la "torsion globale" n'est pas l'intégrale de la torsion locale, parce qu'elle dépend aussi de la topologie globale de ton espace.

Là encore c'est possible, mais c'est ce que je n'arrive pas à comprendre.

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Je vais prendre une position de repli, et poser la question en revenant plus près de la base:

Je m'intéresse aux géodésiques fermées, et aux parcours d'un point M de cette géodésique au même point M sans rebrousser chemin (en "allant tout droit") et sans rencontrer M le long du chemin autrement qu'à la fin du parcours.

Sur un tel parcours, je m'intéresse au transport parallèle d'une triade.

Prenons la métrique usuelle, et la connexion sans torsion qui correspond.

Sur S3, un tel parcours ramène alors la triade sur elle-même, sans rotation.

Mais un tel transport parallèle d'une triade sur une certaine géodésique fermée sur SP la ramène en M avec une rotation d'1/10ème de tour par rapport à elle-même au départ en M. Cette rotation n'est pas illusoire, elle est détectable à cause des directions spéciales liées à la non isotropie de SP.

Qu'est-ce que ça veut dire? J'ai dans un cas (S3) un transport parallèle qui amène la triade sur elle-même, et dans l'autre (SP) un transport parallèle qui amène la triade avec une rotation par rapport à elle-même.

J'ai du mal à penser que cette différence ne change rien, n'a aucune importance. Une hypothèse de ma part était que cela avait un rapport avec une torsion. Tu proposes que non. Mais alors, comment se prend en compte cette différence?

Cordialement,

[invité576543]

La representation que vous avez manifestement en tete est un plongement (pathologique) de K^2 dans R^3

Le "manisfestement" est 1) fort impoli, 2) faux. Je réagissais à "qu'une bouteille de Klein a localement la même métrique que l'espace euclidien tridimensionnel"; or la "Bouteille de Klein" est un espace bidimensionnel, quoi que vous en disiez, et ne peut pas avoir localement une métrique 3D.

En général, vous ne répondez pas au niveau qui m'intéresse. Mais ça intéresse sûrement d'autres lecteurs.

Cordialement,

[invite79aadfd3]

Le "manisfestement" est 1) fort impoli, 2) faux. Je réagissais à "qu'une bouteille de Klein a localement la même métrique que l'espace euclidien tridimensionnel"; or la "Bouteille de Klein" est un espace bidimensionnel, quoi que vous en disiez, et ne peut pas avoir localement une métrique 3D.

En général, vous ne répondez pas au niveau qui m'intéresse. Mais ça intéresse sûrement d'autres lecteurs.

Cordialement,

Attention a ne pas faire de confusion. Le tore que l'on represente le plus souvent est le tore bidimensionnel, avec sa fameuse forme de beignet. Cependant, un tore peut etre defini dans un nombre arbitraire de dimension, la generalisation d'une dimension a l'autre etant triviale. Il en est de meme pour une bouteille de Klein. Il existe des bouteilles de Klein 2D (celles que l'on represente par plongement dans R^3, tout comme T^2 en forme de beignet est represente dans R^3), mais aussi 3D. Une representation de la bouteille de Klein 3D sous forme de polyedre dont les faces sont identifiees 2 a 2 (le domaine fondamental) est disponible a l'article dont je vous ai donne l'URL (message court de cette nuit). Peut-etre cette terminologie est-elle atypique (je veux bien croire que des gens tiennent a l'idee que le terme de bouteille de Klein fasse exclusivement reference a l'objet trouve par F. Klein en 18..), mais c'est celle utilisee par J.-P. Luminet et consort dans l'article que je vous ai donne en reference !

[invité576543]

(je veux bien croire que des gens tiennent a l'idee que le terme de bouteille de Klein fasse exclusivement reference a l'objet trouve par F. Klein en 18..), mais c'est celle utilisee par J.-P. Luminet et consort dans l'article que je vous ai donne en reference !

Ce n'est pas ce que je lis dans l'article, mais c'est vraiment un problème mineur, et très à côté du sujet du fil ("Klein bottle" est utilisé uniquement en 2D dans l'article, il me semble, et "Klein space" pour d'autres dimensions; une terminologie usuelle).

Cordialement,

[invite8915d466]

C'est la continuité qui me trouble. Passer de quelque chose de continu sur SP à quelque chose de continu sur S3, OK. Mais dans l'autre sens, cela demande quelque chose de plus.

Si tu prend un tore comme quotient du plan, on voit bien qu'il n'est pas vrai qu'un champ continu quelconque sur le plan donne quelque chose sur le tore.

mais il me semble que tu mélanges deux problemes bien distincts : la définition d'un champ continu sur une variété (probleme global) et la définition du transport parallèle (probleme local). Tu ne peux de toute façon pas obtenir un champ continu sur une variété courbe par transport parallèle, sur aucun espace ! et il n'y a aucune raison non plus que le transport parallèle sur une géodésique fermée te redonne le même vecteur a la fin, et donc permette de construire un N-iade continue sur la géodésique : c'est probablement vrai pour des raisons d'isotropie sur Sn, mais sur un espace possédant des directions privilégiées (comme SP justement) il est tout à fait possible que le transport parallèle sans torsion fasse tourner le vecteur au bout d'un tour. Donc la condition de continuité impose des conditions (pas triviales sur un espace multiconnexe) mais en général incompatibles avec le transport parallèle.

Cela pose un problème de continuité, il me semble. Parce que le long du tour sur S3, on aura fait 10 tours (dans le cas centre/centre face) dans SP, dont rencontré 10 fois le point. Par hypothèse de continuité à chaque passage, les directions spéciales sont dans les mêmes positions relatives par rapport à la triade. Et je ne vois pas comment c'est possible avec en moyenne 1/10ème de tour de ces directions par rapport à la triade.

euh, en fait c'est ça que je ne vois pas bien, et le probleme est peut etre la a la base. C'est quoi ta "rotation"? les directions ne tournent pas lors du transport parallèle sans torsion : lors du passage d'une face à une autre, elles sont permutées justement par le groupe d'homotopie qui les laissent globalement invariantes non? en "recollant" une face pentagonale sur une autre, toutes les autres faces et donc les directions du reseau sont invariantes, il n'y a aucune rotation.

Cdt
Gilles