Salut tout le monde. Je m'interresse au problème à 3 coprs, et je me demande par où commencé afin de mener à bien ce projet. Comment établir lés équations des trajectoires?? ( résolution aparement numérique).....Je ne trouve pas de sources traitant du sujet dans sa globalité, mais plutot des sources parlant de résultats généraux, sans vrément expliquer...(mon prof ma conseillé de mettre en place un code mathematica afin de résoudre les equations)
Bonjour,Envoyé par alexmuch
Je n'ai jamais trop creusé le problème et donc, je n'ai pas de ressources à indiquer (mais d'autres ici pourront sans doute en donner). Mais je peux t'indiquer une approche. (je n'utilise pas mathematica mais l'usage d'un tel outil est en effet une grande aide)
Pour les équations des trajectoires, oui, tu dois le faire numériquement. Ce n'est pas soluble analytiquement (sauf cas particuliers). Les solutions sont même chaotiques.
Ecrit la force de gravité entre chaque paire de masses F=Gm1m2/R² (ça te donnes deux forces en fait, opposées, agissant sur 1 et 2). Tu utilises la loi de Newton F=m1.a pour chaque corps et F = somme des forces sur ce corps.
Passe en notations coordonnées et attribue à chaque corps trois variables positions (x,y,z) et trois pour la vitesse. Choisit comme origine des coordonnées le centre de masse. Choisit un intervalle de temps Dt et tu calcules par itération, grâce à l'accélération la variation de vitesse, avec la vitesse la variation de position. Et voilà. Il reste à choisir des conditions initiales et à représenter graphiquement.
Tu vas certainement te heurter à des problèmes de convergence numérique, donc vérifie avec deux corps pour voir si ça donne bien des ellipses, etc... C'est important sinon comment savoir si les comportements chaotiques observés sont dû au calcul numérique ou à l'instabilité des 3 corps ?
Ca nécessite un peu de préparation mathématique (mettre en forme les équations) mais c'est rapide à mettre en œuvre et ça te donnera une idée de la technique et des difficultés. Si la méthode numérique diverge il faudra utiliser des méthodes plus sophistiquées.
Ca reste un problème globalement difficile (faire une résolution numérique dans un cas donné ça va, mais c'est l'analyse des différentes solutions qui est difficile, c'est très chaotique. Notamment le problème des "collisions" : un petit corps approche d'un système de deux gros corps en orbite et il peut être capturé ou éjecté, on fait lentement varier les paramètres et on obtient déjà une infinie variété de comportement dans ce cas pourtant assez restreint).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
la méthode donnée par Deedee81 est très bonne. Si tu veux plus de détails, tu peux regarder les méthodes leap-frog. Pour limiter les effets numériques, il faut utiliser un pas de temps très fin et éventuellement lissé le potentiel. Je ne sais pas si c'est vraiment justifié pour ton problème, mais pour des simulations N-Corps, c'est quasi-obligatoire ... je m'explique :
En général, un code N-corps n'utilise pas une force en 1/r^2 comme la gravitation Newtonienne. En fait, on utilise souvent ce qu'on appelle un lissage du potentiel. Les plus connus sont Plummer et Ferrers. Ca consiste a dire que le potentiel d'une particule (un corps) n'est pas infini à une distance nulle de ce corps mais bien lissé. Ca évite par exemple, qu'une autre particule qui serait proche de la première se fasse éjecter trop brutalement (relaxation à 2 corps).
Evidemment, tu vas me dire que changer la physique, c'est pas vraiment ton but ! Oui mais le problème, c'est que tu as un pas de temps discret et pas vraiment physique (que les adeptes de l'echelle de Planck me pardonnent, mon échelle à moi, c'est le mega parsec !). Donc, si au temps T, ta seconde particule s'approche de la première et, qu'au temps T+1, elle est dans le puit de potentiel, elle va se faire catapulter. Mais si ton pas de temps est plus fin (et, idéalement continu), alors elle va doucement infléchir sa trajectoire, être déviée certes, mais pas aussi violemment. C'est pour ca qu'on lisse le potentiel : loin de la source, le comportement est le même mais près d'elle, on introduit une correction aux effets numériques.
Ce qui serait rigolo, c'est d'étendre ton code de 3 à N corps. Théoriquement, il suffit de faire un boucle sur l'ensemble des corps. Dans la pratique, pour un N grand, le calcul sera très très long.
Pour te fixer les idées, j'ai fait des simulations de galaxies de 1.4 millions de corps (résolution de 10^5 masse solaire par particule, ce qui est quand même pas trop moche en 2008 !) sur un simple iMac G5. J'ai utilisé un algorithme assez compliqué qui fait une approxiamtion qui accélère énormément le calcul pour une erreur très faible. Temps de calcul : ~3 jours pour simuler 1 Gyr (milliard d'années). Sans ce code magique, je serai mort et décomposé bien avant la fin du calcul.
Mais rassures toi, pour 3 corps, c'est une question de millisecondes !
Bon courage
Merci beaucoup pour toute l'aide!! Je sais par ou commencé, et ce a quoi je dois faie attention. encore merci
Est-ce je dois nécessairement faire intervenir les points de lagrange?
Salut,
Pas avec la méthode évoquée.
Les points de Lagrange sont valables si le troisième corps est de masse négligeable par rapport aux deux autres (si je ne dis pas de bêtise).
Et même dans cette approximation, je vois mal comment "s'en servir".
Maintenant, si ton but est de redémontrer ces points de Lagrange, c'est une autre histoire.... (il faut dire que le nombre de chose qu'on peut étudier avec 3 corps est assez faramineuse, il est vrai qu'il faut se fixer un objectif clair). Je ne connais pas la démonstration.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bien le bonsoir,
A ce que je vois, je ne suis pas le seul à m'intéresser au problème à trois corps... Et cela me fait plaisir.
Du haut de ma petite Licence de Physique, j'ai prévu de passer une partie de mon été (ne pouvant pas travailler suite à une blessure au dos, mais ceci est une autre histoire) sur l'étude de ce problème.
Je viens tout juste de commencer le travail bibliographique nécessaire avant tout projet, et c'est comme cela que je suis tombé sur ce forum, et plus particulièrement ce topic.
Pour le moment, j'ai prévu :Pour le moment, j'ai prévu de faire la simulation en utilisant MatLab (ou SciLab, je ne sais pas encore) tout en essayant de créer moi-même les fonctions qui me permettront d'intégrer ces équations différentielles (schéma d'Euler, Runge-Kutta ordre 2 et 4 par exemple).
- Ecriture des équations du mouvement, et simplification au maximum (adimensionnement notamment)
- Etude de la stabilité du système (points fixes ? Stabilité de ces points ?)
- Et enfin une simulation numérique
Ceci mis à part, je sais que ca fait un peu branlette intellectuelle de passer une partie de son été là-dessus, mais moi ca me plaît
Bonjour,
je suis en fin de première année de prépa et je dois faire un TIPE. J'espérai pouvoir le faire sur le coté chaotique du système solaire seulement cela semble assez difficile a montrer rigoureusement. Est-ce que vous savez si cela des connaissances en maths et en physiques bien au-dessus de celles que je dois avoir ou si c'est encore abordable?
Sinon est-ce que je peux travailler avec une approche simplifiée du problème pour tout de meme arriver a mettre en evidence le coté chaotique?
merci
Tu peux déjà essayer le système Terre-Lune-Soleil et montrer la sensibilité aux conditions initiales du système. C'est assez caractéristique des systèmes chaotiques (même si c'est en fait une définition "faible" de ce type de système).
merci.
Pour montrer la sensibilité aux conditions initiales, la methode de resolution numerique proposée plus haut devrait marcher non?
Oui bien sûr.
